Bài toán: Hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 16 cm đang cùng dao động vuông góc với mặt nước theo phương trình: \( u = a\cos(50\pi t) \) (cm). Xét một điểm C trên mặt nước thuộc đường cực tiểu, giữa C và trung trực của AB có một đường cực đại. Biết AC = 17,2 cm và BC = 13,6 cm. Số đường cực đại đi qua khoảng AC là bao nhiêu?

Phân tích bài toán:

• Hai nguồn sóng A và B cách nhau một khoảng \( d = AB = 16 \) cm.
• Phương trình dao động của hai nguồn giống hệt nhau (cùng pha).
• Điểm C thuộc đường cực tiểu.
• Giữa C và trung trực của AB có một đường cực đại.
• AC = 17,2 cm, BC = 13,6 cm.
• Yêu cầu tính số đường cực đại đi qua khoảng AC.

Các bước giải:

Bước 1: Xác định bước sóng \( \lambda \).

Từ phương trình dao động \( u = a\cos(50\pi t) \), ta có tần số góc \( \omega = 50\pi \) rad/s.

Tần số \( f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{50\pi}{2\pi} = 25 \) Hz.

Để xác định bước sóng, chúng ta cần biết vận tốc truyền sóng \( v \). Tuy nhiên, bài toán không cho trực tiếp vận tốc truyền sóng. Chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa hiệu đường đi và vị trí vân giao thoa.

Bước 2: Xác định vị trí của điểm C.

Điểm C thuộc đường cực tiểu giao thoa. Điều kiện để một điểm M nằm trên đường cực tiểu giao thoa khi hai nguồn dao động cùng pha là:

\( |d_1 – d_2| = (k + \frac{1}{2})\lambda \), với \( k \) là số nguyên.

Ở đây, \( d_1 = AC = 17,2 \) cm và \( d_2 = BC = 13,6 \) cm.

Ta có: \( AC – BC = 17,2 – 13,6 = 3,6 \) cm.

Do AC > BC, nên \( AC – BC = 3,6 \) cm.

Vì C thuộc đường cực tiểu, ta có: \( AC – BC = (k_C + \frac{1}{2})\lambda \).

Hay: \( 3,6 = (k_C + \frac{1}{2})\lambda \).

Bước 3: Xác định số vân cực đại giữa C và trung trực của AB.

Trung trực của AB là đường tập hợp các điểm có hiệu đường đi bằng 0 (\( d_1 = d_2 \)). Đây là đường cực đại bậc 0.

Giữa C và trung trực của AB có một đường cực đại. Điều này có nghĩa là có một đường cực đại ứng với một bậc nào đó, và đường cực đại bậc 0 (trung trực AB) nằm ở phía bên kia.

Điều kiện để một điểm M nằm trên đường cực đại giao thoa khi hai nguồn dao động cùng pha là:

\( |d_1 – d_2| = k’\lambda \), với \( k’ \) là số nguyên.

Ta biết trung trực của AB là đường cực đại bậc 0 (\( k’=0 \)).

Điểm C có \( AC – BC = 3,6 = (k_C + \frac{1}{2})\lambda \).

Giữa C và trung trực của AB có một đường cực đại. Điều này có nghĩa là có một đường cực đại ứng với \( k’ = 1 \) hoặc \( k’ = -1 \), tùy thuộc vào việc C nằm ở phía nào của trung trực.

Xét tỉ lệ hiệu đường đi: \( \frac{AC – BC}{AB} = \frac{3.6}{16} = 0.225 \). Điều này cho thấy C không nằm quá xa hai nguồn.

Ta cần xác định \( k_C \) và \( \lambda \).

Giả sử đường cực đại nằm giữa C và trung trực là đường cực đại bậc \( k’ \). Do C nằm trên đường cực tiểu, hiệu đường đi của nó là \( (k_C + \frac{1}{2})\lambda \). Đường cực đại gần nhất với C (nhưng không phải là trung trực) sẽ có hiệu đường đi là \( k_{max}\lambda \).

Nếu đường cực đại nằm giữa C và trung trực là đường cực đại bậc 1, thì hiệu đường đi của nó là \( 1\lambda \). Điều này có nghĩa là \( 0 < AC - BC < 1\lambda \). Tuy nhiên, chúng ta lại có \( AC - BC = (k_C + \frac{1}{2})\lambda \).

Thông tin “giữa C và trung trực của AB có một đường cực đại” cho ta biết về vị trí tương đối của C và các vân giao thoa.

Đường trung trực là đường cực đại bậc 0, có \( d_1 – d_2 = 0 \).

Điểm C có \( d_1 – d_2 = 3,6 \) cm.

Giữa C và trung trực có một đường cực đại. Điều này có nghĩa là có một vân cực đại \( k’_{max} \) sao cho \( 0 < k'_{max}\lambda < 3,6 \).

Và C nằm trên đường cực tiểu, nên \( (k_C + \frac{1}{2})\lambda = 3,6 \).

Nếu có một đường cực đại \( k’_{max} \lambda \) nằm giữa 0 và 3.6, thì ta có thể suy ra mối liên hệ.

Vân cực đại có hiệu đường đi là \( k’\lambda \). Vân cực tiểu có hiệu đường đi là \( (k + \frac{1}{2})\lambda \).

Trên đoạn từ trung trực (hiệu đường đi = 0) đến C (hiệu đường đi = 3.6), có một đường cực đại. Điều này có nghĩa là có một giá trị nguyên \( k’ \) sao cho \( k’\lambda \) nằm giữa 0 và 3.6.

Và C là đường cực tiểu, tức là \( (k_C + \frac{1}{2})\lambda = 3,6 \).

Nếu đường cực đại đó là bậc 1, thì \( \lambda < 3.6 \).

Nếu đường cực đại đó là bậc 2, thì \( 2\lambda < 3.6 \).

Xét các vân giao thoa theo hiệu đường đi tăng dần từ trung trực:

Vân cực đại bậc 0: \( d_1 – d_2 = 0 \) (trung trực)

Vân cực đại bậc 1: \( d_1 – d_2 = \lambda \)

Vân cực đại bậc 2: \( d_1 – d_2 = 2\lambda \)

…

Vân cực tiểu bậc 0: \( d_1 – d_2 = \frac{1}{2}\lambda \)

Vân cực tiểu bậc 1: \( d_1 – d_2 = \frac{3}{2}\lambda \)

Vân cực tiểu bậc 2: \( d_1 – d_2 = \frac{5}{2}\lambda \)

…

Ta có \( AC – BC = 3,6 \). Điểm C thuộc đường cực tiểu, tức là \( 3,6 = (k_C + \frac{1}{2})\lambda \).

Giữa C và trung trực có một đường cực đại. Điều này có nghĩa là có một vân cực đại \( k’_{max} \) mà hiệu đường đi của nó nằm giữa 0 và 3.6, và ngay sau vân cực đại đó là vân cực tiểu mà C đang nằm trên đó.

Nếu đường cực đại đó là bậc 1, thì \( \lambda \) nằm giữa 0 và 3.6. Và sau đó là đường cực tiểu ứng với \( k_C \).

Nếu đường cực đại là bậc \( k’_{max} \), thì \( k’_{max}\lambda < 3,6 \). Và sau đó là vân cực tiểu \( (k_C + \frac{1}{2})\lambda = 3,6 \).

Từ thông tin “giữa C và trung trực của AB có một đường cực đại”, ta có thể suy ra rằng đường cực đại này có bậc là 1. Bởi vì nếu nó là bậc 2 trở lên, thì hiệu đường đi của nó sẽ lớn hơn \( \lambda \), và có thể vượt quá 3.6 hoặc có nhiều hơn một đường cực đại.

Nếu đường cực đại đó là bậc 1, thì hiệu đường đi của nó là \( \lambda \). Vậy \( \lambda < 3,6 \).

Và C là đường cực tiểu, tức là \( AC – BC = (k_C + \frac{1}{2})\lambda = 3,6 \).

Nếu đường cực đại đó có bậc 1, thì nó nằm giữa trung trực (bậc 0) và đường cực tiểu \( k_C \).

Điều này ngụ ý rằng, hiệu đường đi tăng từ 0, đến \( \lambda \) (cực đại bậc 1), rồi đến \( \frac{3}{2}\lambda \) (cực tiểu bậc 1), rồi đến \( 2\lambda \) (cực đại bậc 2), …

Nếu giữa C và trung trực chỉ có một đường cực đại, thì ta có chuỗi sau:

Trung trực (cực đại bậc 0, hiệu đường đi = 0)

Đường cực đại bậc 1 (hiệu đường đi = \( \lambda \))

Đường cực tiểu (chính là C, hiệu đường đi = \( (k_C + \frac{1}{2})\lambda \))

Điều này có nghĩa là \( \lambda < 3,6 \) và \( \frac{3}{2}\lambda \) là vân cực tiểu tiếp theo sau vân cực tiểu tại C.

Nếu giữa C và trung trực có một đường cực đại, và C là đường cực tiểu, thì ta có:

Hiệu đường đi của C: \( AC – BC = 3,6 = (k_C + \frac{1}{2})\lambda \).

Đường cực đại nằm giữa C và trung trực phải có bậc \( k’_{max} \). Nghĩa là \( k’_{max}\lambda < 3,6 \).

Và do có duy nhất một đường cực đại, nên ta có thể suy ra rằng đường cực đại này là bậc 1. Tức là \( \lambda < 3,6 \).

Nếu \( \lambda < 3,6 \), thì \( k_C + \frac{1}{2} = \frac{3,6}{\lambda} > \frac{3,6}{3,6} = 1 \).

Nếu \( k_C + \frac{1}{2} = 1.5 = \frac{3}{2} \), thì \( \lambda = \frac{3,6}{1.5} = 2,4 \) cm.

Khi đó, \( AC – BC = 1.5\lambda = 3,6 \) cm. Đây là đường cực tiểu bậc 1.

Và đường cực đại giữa trung trực (bậc 0) và đường cực tiểu bậc 1 (tức là giữa hiệu đường đi 0 và 1.5\( \lambda \)) là đường cực đại bậc 1 (hiệu đường đi \( \lambda \)).

Vậy, \( \lambda = 2,4 \) cm. Và C là đường cực tiểu bậc 1.

Bước 4: Tính số đường cực đại đi qua khoảng AC.

Ta cần đếm số đường cực đại trên đoạn AC. Một điểm M trên đoạn AC được coi là nằm trên đường cực đại nếu hiệu đường đi của nó thỏa mãn:

\( k’\lambda \le AM – BM \le AC – BC \)

Hoặc

\( AC – BC \le AM – BM \le k’\lambda \)

Ở đây, chúng ta đang xét đường đi từ A đến C.

Ta biết:

• Tại A, \( AM – BM = AA – BA = 0 – 16 = -16 \) (nếu coi A là nguồn 1).
• Tại C, \( AC – BC = 17,2 – 13,6 = 3,6 \).

Chúng ta cần xác định khoảng biến thiên của hiệu đường đi \( AM – BM \) khi M di chuyển trên đoạn AC.

Xét một điểm M bất kỳ trên đoạn AC. Gọi \( AM = x \). Do M nằm trên đoạn AC, ta có \( 0 \le x \le 17,2 \).

Khoảng cách từ M đến B sẽ phụ thuộc vào vị trí của M trên đoạn AC và góc tạo bởi AB và AC. Tuy nhiên, bài toán giao thoa sóng thường xét hiệu đường đi \( d_1 – d_2 \).

Khi M di chuyển trên đoạn AC, hiệu đường đi \( AM – BM \) sẽ biến thiên.

Tại A (là một nguồn), hiệu đường đi là \( AA – AB = 0 – 16 = -16 \) cm.

Tại C, hiệu đường đi là \( AC – BC = 17,2 – 13,6 = 3,6 \) cm.

Vậy, khi M di chuyển trên đoạn AC, hiệu đường đi \( AM – BM \) biến thiên trong khoảng từ -16 cm đến 3,6 cm.

Số đường cực đại đi qua đoạn AC là số giá trị nguyên \( k’ \) sao cho có điểm M trên đoạn AC thỏa mãn \( AM – BM = k’\lambda \).

Ta có \( \lambda = 2,4 \) cm.

Ta cần tìm số nguyên \( k’ \) sao cho tồn tại một điểm M trên đoạn AC với \( AM – BM = k’ \times 2,4 \).

Vì hiệu đường đi thay đổi từ -16 đến 3.6, chúng ta cần đếm số các giá trị \( k’ \times 2,4 \) nằm trong khoảng này.

Ta có:

\( -16 \le k’\lambda \le 3,6 \)

\( -16 \le k’ \times 2,4 \le 3,6 \)

Chia cho 2,4:

\( \frac{-16}{2,4} \le k’ \le \frac{3,6}{2,4} \)

\( -6,66… \le k’ \le 1,5 \)

Các giá trị nguyên của \( k’ \) trong khoảng này là: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.

Số lượng các giá trị nguyên này là 8.

Tuy nhiên, chúng ta cần cẩn thận với cách xét hiệu đường đi. Thông thường, khi xét các điểm trên một đường thẳng đi qua một nguồn, hiệu đường đi sẽ biến thiên.

Xét các điểm trên đoạn AC. Khi M di chuyển từ A đến C:

• Tại A, hiệu đường đi là \( |AA – AB| = |0 – 16| = 16 \) (nếu xét khoảng cách tuyệt đối) hoặc \( 0 – 16 = -16 \) (nếu xét hiệu có hướng). Trong giao thoa, hiệu đường đi là \( d_1 – d_2 \).
• Tại C, hiệu đường đi là \( AC – BC = 17,2 – 13,6 = 3,6 \).

Vậy, hiệu đường đi \( AM – BM \) biến thiên trong khoảng từ -16 đến 3.6.

Ta cần đếm số đường cực đại \( k’\lambda \) nằm trong khoảng này.

\( -16 \le k’ \times 2,4 \le 3,6 \)

\( -6,66… \le k’ \le 1,5 \)

Các giá trị nguyên của \( k’ \) là: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.

Có tất cả 8 giá trị của \( k’ \).

Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét xem mỗi giá trị \( k’\lambda \) có thực sự cắt đoạn AC hay không.

Tại A, hiệu đường đi là -16. Tại C, hiệu đường đi là 3.6.

Các đường cực đại ứng với các giá trị \( k’\lambda \):

• \( k’ = 1 \): \( 1 \times 2,4 = 2,4 \). Hiệu đường đi 2,4 nằm giữa -16 và 3.6.
• \( k’ = 0 \): \( 0 \times 2,4 = 0 \). Hiệu đường đi 0 nằm giữa -16 và 3.6.
• \( k’ = -1 \): \( -1 \times 2,4 = -2,4 \). Hiệu đường đi -2,4 nằm giữa -16 và 3.6.
• \( k’ = -2 \): \( -2 \times 2,4 = -4,8 \). Hiệu đường đi -4,8 nằm giữa -16 và 3.6.
• \( k’ = -3 \): \( -3 \times 2,4 = -7,2 \). Hiệu đường đi -7,2 nằm giữa -16 và 3.6.
• \( k’ = -4 \): \( -4 \times 2,4 = -9,6 \). Hiệu đường đi -9,6 nằm giữa -16 và 3.6.
• \( k’ = -5 \): \( -5 \times 2,4 = -12 \). Hiệu đường đi -12 nằm giữa -16 và 3.6.
• \( k’ = -6 \): \( -6 \times 2,4 = -14,4 \). Hiệu đường đi -14,4 nằm giữa -16 và 3.6.

Tất cả các giá trị \( k’\lambda \) này đều nằm trong khoảng biến thiên của hiệu đường đi từ -16 đến 3.6. Do đó, sẽ có 8 đường cực đại đi qua đoạn AC.

Kiểm tra lại thông tin về C:

C thuộc đường cực tiểu, giữa C và trung trực có một đường cực đại.

Ta tìm được \( \lambda = 2,4 \) cm. C có \( AC – BC = 3,6 = 1,5 \times 2,4 = \frac{3}{2}\lambda \). Đây là đường cực tiểu bậc 1.

Trung trực AB là đường cực đại bậc 0, hiệu đường đi = 0.

Đường cực đại bậc 1 có hiệu đường đi là \( \lambda = 2,4 \).

Đường cực tiểu bậc 1 có hiệu đường đi là \( \frac{3}{2}\lambda = 3,6 \).

Như vậy, giữa trung trực (hiệu đường đi 0) và điểm C (hiệu đường đi 3,6) có đường cực đại bậc 1 với hiệu đường đi là 2,4. Thông tin này hoàn toàn khớp.

Kết luận:

Số đường cực đại đi qua khoảng AC là 8.