Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài tập thú vị về hiện tượng giao thoa ánh sáng, cụ thể là bài toán sử dụng thí nghiệm giao thoa với hai khe Young.

Đề bài:

Câu 54: Thí nghiệm giao thoa ánh sáng với hai khe Young. Nguồn sáng gồm hai ánh sáng đơn sắc có bước sóng \(\lambda_1 = 0,51 \text{ mm}\) và \(\lambda_2\). Khi đó ta thấy tại vân sáng bậc 4 của bức xạ \(\lambda_1\) trùng với một vân sáng của \(\lambda_2\). Tính \(\lambda_2\). Biết \(\lambda_2\) có giá trị từ 0,60 mm đến 0,70 mm.

Phân tích đề bài và phương pháp giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm bước sóng \(\lambda_2\) của một bức xạ đơn sắc, biết rằng vân sáng bậc 4 của bức xạ có bước sóng \(\lambda_1\) trùng với một vân sáng nào đó của bức xạ \(\lambda_2\). Chúng ta cũng có một khoảng giới hạn cho giá trị của \(\lambda_2\).

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại công thức xác định vị trí vân sáng trong thí nghiệm giao thoa với hai khe Young:

Vị trí của vân sáng bậc k của một bức xạ có bước sóng \(\lambda\) được tính bằng công thức:

\(x_{s,k} = \frac{k \cdot \lambda \cdot D}{a}\)

trong đó:

• \(x_{s,k}\) là tọa độ của vân sáng bậc k so với vân sáng trung tâm.
• \(k\) là bậc của vân sáng (với vân sáng trung tâm có \(k=0\)).
• \(\lambda\) là bước sóng của ánh sáng.
• \(D\) là khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát.
• \(a\) là khoảng cách giữa hai khe Young.

Giải chi tiết:

Theo đề bài, ta có:

• Bước sóng của bức xạ thứ nhất: \(\lambda_1 = 0,51 \text{ mm}\).
• Vân sáng bậc 4 của bức xạ \(\lambda_1\) trùng với một vân sáng của bức xạ \(\lambda_2\).

Ta xét vị trí của vân sáng bậc 4 của bức xạ \(\lambda_1\). Gọi vị trí này là \(x_{s1,4}\). Theo công thức, ta có:

\(x_{s1,4} = \frac{4 \cdot \lambda_1 \cdot D}{a}\)

\(x_{s1,4} = \frac{4 \cdot 0,51 \cdot D}{a}\)

\(x_{s1,4} = \frac{2,04 \cdot D}{a}\)

Đề bài cho biết tại vị trí này \((x_{s1,4})\) cũng là một vân sáng của bức xạ có bước sóng \(\lambda_2\). Giả sử vân sáng này có bậc là \(k_2\). Khi đó, vị trí của vân sáng bậc \(k_2\) của bức xạ \(\lambda_2\) được cho bởi công thức:

\(x_{s2,k_2} = \frac{k_2 \cdot \lambda_2 \cdot D}{a}\)

Vì hai vị trí này trùng nhau, ta có:

\(x_{s1,4} = x_{s2,k_2}\)

\(\frac{4 \cdot \lambda_1 \cdot D}{a} = \frac{k_2 \cdot \lambda_2 \cdot D}{a}\)

Ta có thể rút gọn \(D\) và \(a\) ở cả hai vế (vì \(D > 0\) và \(a > 0\)):

\(4 \cdot \lambda_1 = k_2 \cdot \lambda_2\)

Thay giá trị \(\lambda_1 = 0,51 \text{ mm}\) vào phương trình:

\(4 \cdot 0,51 = k_2 \cdot \lambda_2\)

\(2,04 = k_2 \cdot \lambda_2\)

Từ đây, ta có thể biểu diễn \(\lambda_2\) theo \(k_2\):

\(\lambda_2 = \frac{2,04}{k_2}\)

Bây giờ, chúng ta sử dụng điều kiện giới hạn cho \(\lambda_2\): \(0,60 \text{ mm} \leq \lambda_2 \leq 0,70 \text{ mm}\).

Thay biểu thức của \(\lambda_2\) vào bất đẳng thức:

\(0,60 \leq \frac{2,04}{k_2} \leq 0,70\)

Ta sẽ giải bất đẳng thức này để tìm giá trị nguyên của \(k_2\).

Xét vế trái:

\(0,60 \leq \frac{2,04}{k_2}\)

Vì \(k_2\) là bậc của vân sáng nên \(k_2\) là một số nguyên dương. Do đó, ta có thể nhân cả hai vế với \(k_2\) mà không đổi chiều bất đẳng thức:

\(0,60 \cdot k_2 \leq 2,04\)

\(k_2 \leq \frac{2,04}{0,60}\)

\(k_2 \leq 3,4\)

Xét vế phải:

\(\frac{2,04}{k_2} \leq 0,70\)

Tương tự, nhân cả hai vế với \(k_2\):

\(2,04 \leq 0,70 \cdot k_2\)

\(k_2 \geq \frac{2,04}{0,70}\)

\(k_2 \geq 2,914…\)

Kết hợp cả hai kết quả, ta có:

\(2,914… \leq k_2 \leq 3,4\)

Vì \(k_2\) phải là một số nguyên, giá trị duy nhất có thể của \(k_2\) trong khoảng này là \(k_2 = 3\).

Bây giờ, ta thay giá trị \(k_2 = 3\) vào công thức tính \(\lambda_2\):

\(\lambda_2 = \frac{2,04}{k_2} = \frac{2,04}{3}\)

\(\lambda_2 = 0,68 \text{ mm}\)

Kiểm tra lại điều kiện: \(0,60 \text{ mm} \leq 0,68 \text{ mm} \leq 0,70 \text{ mm}\). Điều kiện này được thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, bước sóng \(\lambda_2\) của bức xạ cần tìm là \(\lambda_2 = 0,68 \text{ mm}\).

Các em có thắc mắc gì về cách giải này không? Hãy cứ mạnh dạn đặt câu hỏi nhé!