Câu 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = 6cos(4pi*t + pi/6) cm. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t = 10s bằng bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân)

Lời giải chi tiết:

Để tìm tọa độ của chất điểm tại thời điểm \(t = 10s\), chúng ta chỉ cần thay giá trị của \(t\) vào phương trình dao động điều hoà đã cho.

Phương trình dao động: \(x = 6\cos(4\pi t + \frac{\pi}{6})\) (cm)

Thay \(t = 10s\) vào phương trình, ta có:

\(x = 6\cos(4\pi \times 10 + \frac{\pi}{6})\)

\(x = 6\cos(40\pi + \frac{\pi}{6})\)

Chúng ta biết rằng hàm cosin có chu kỳ là \(2\pi\). Do đó, \(\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos(\alpha)\) với \(k\) là số nguyên. Ở đây, \(40\pi = 20 \times 2\pi\), nên \(40\pi\) là một bội số nguyên của \(2\pi\).

Vậy, \(\cos(40\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})\)

Giá trị của \(\cos(\frac{\pi}{6})\) là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Do đó:

\(x = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x = 3\sqrt{3}\)

Bây giờ, chúng ta tính giá trị xấp xỉ và làm tròn đến 2 chữ số thập phân:

\(\sqrt{3} \approx 1.73205\)

\(x = 3 \times 1.73205 \approx 5.19615\)

Làm tròn đến 2 chữ số thập phân, ta được:

\(x \approx 5.20\) cm

Đáp án: 5.20 cm

Câu 2: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = 5cos(pi*t). Pha ban đầu của dao động bằng bao nhiêu rad?

Lời giải chi tiết:

Phương trình tổng quát của dao động điều hoà có dạng:

\(x = A\cos(\omega t + \varphi)\)

Trong đó:

• \(A\) là biên độ dao động.
• \(\omega\) là tần số góc.
• \(\varphi\) là pha ban đầu (hay pha tại thời điểm \(t = 0\)).

Phương trình dao động đã cho là:

\(x = 5\cos(\pi t)\)

Để tìm pha ban đầu, chúng ta so sánh phương trình này với dạng tổng quát. Ta có thể viết lại phương trình đã cho dưới dạng:

\(x = 5\cos(\pi t + 0)\)

So sánh với dạng tổng quát \(x = A\cos(\omega t + \varphi)\), ta thấy:

• \(A = 5\) cm
• \(\omega = \pi\) rad/s
• \(\varphi = 0\) rad

Vậy, pha ban đầu của dao động là 0 rad.

Đáp án: 0 rad

Câu 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ 6 cm. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi vật có động năng bằng 0,75 lần cơ năng thì vật cách vị trí cân bằng một đoạn bao nhiêu cm?

Lời giải chi tiết:

Chúng ta có các thông tin sau:

• Biên độ dao động: \(A = 6\) cm.
• Mốc thế năng ở vị trí cân bằng.
• Động năng \(K\) bằng 0,75 lần cơ năng \(W\): \(K = 0.75W\).

Chúng ta cần tìm khoảng cách của vật đến vị trí cân bằng, tức là tìm \(|x|\).

Theo định luật bảo toàn cơ năng, tổng động năng và thế năng của vật luôn không đổi và bằng cơ năng toàn phần:

\(W = K + U\)

Trong đó:

• \(W\) là cơ năng toàn phần.
• \(K\) là động năng.
• \(U\) là thế năng.

Theo đề bài, \(K = 0.75W\). Thay vào phương trình bảo toàn cơ năng:

\(W = 0.75W + U\)

Từ đó, ta suy ra thế năng \(U\):

\(U = W – 0.75W\)

\(U = 0.25W\)

Bây giờ, chúng ta sử dụng các công thức tính thế năng và cơ năng trong dao động điều hoà:

• Thế năng: \(U = \frac{1}{2}kx^2\)
• Cơ năng: \(W = \frac{1}{2}kA^2\)

Với \(k\) là độ cứng của lò xo (hoặc một hằng số đối với hệ dao động điều hòa) và \(x\) là li độ của vật.

Thay các biểu thức của \(U\) và \(W\) vào mối quan hệ \(U = 0.25W\):

\(\frac{1}{2}kx^2 = 0.25 \times \frac{1}{2}kA^2\)

Chúng ta có thể rút gọn \(\frac{1}{2}k\) ở cả hai vế:

\(x^2 = 0.25A^2\)

Để tìm \(|x|\), ta lấy căn bậc hai hai vế:

\(|x| = \sqrt{0.25A^2}\)

\(|x| = \sqrt{0.25} \times \sqrt{A^2}\)

\(|x| = 0.5A\)

Đề bài cho biên độ \(A = 6\) cm. Thay giá trị này vào:

\(|x| = 0.5 \times 6\)

\(|x| = 3\) cm

Vậy, khi động năng bằng 0,75 lần cơ năng, vật cách vị trí cân bằng một đoạn 3 cm.

Đáp án: 3 cm

Các em có thắc mắc gì thêm không? Nếu có, đừng ngần ngại hỏi nhé!