Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất hay về dao động điều hoà, giúp các em củng cố kiến thức về phương trình dao động và cách xác định thời điểm vật đi qua một vị trí cụ thể.

Một vật dao động điều hoà với biên độ A = 24 cm và chu kì T = 4 s. Tại thời điểm t = 0, vật có li độ là -A. Xác định thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li độ x = 24 cm.

• Biên độ: \(A = 24 \, \text{cm}\)
• Chu kì: \(T = 4 \, \text{s}\)
• Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), li độ của vật: \(x_0 = -A = -24 \, \text{cm}\)
• Yêu cầu: Xác định thời điểm \(t_1\) đầu tiên vật qua vị trí có li độ \(x = 24 \, \text{cm}\).

Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về phương trình dao động điều hoà:

1. Phương trình dao động điều hoà:
   Li độ của vật dao động điều hoà được biểu diễn bằng phương trình dạng:

   \(x = A \cos(\omega t + \varphi)\)

   Trong đó:

   • \(x\): li độ của vật tại thời điểm \(t\).
   • \(A\): biên độ dao động (độ lớn cực đại của li độ).
   • \(\omega\): tần số góc của dao động, đơn vị radian trên giây (\(\text{rad/s}\)).
   • \(t\): thời điểm đang xét, đơn vị giây (\(\text{s}\)).
   • \(\varphi\): pha ban đầu của dao động, đơn vị radian (\(\text{rad}\)). Pha ban đầu xác định trạng thái dao động của vật tại \(t=0\).
2. Mối liên hệ giữa tần số góc và chu kì:
   Tần số góc \(\omega\) và chu kì \(T\) liên hệ với nhau qua công thức:

   \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

Chúng ta sẽ đi qua từng bước một để tìm ra đáp án.

Từ công thức liên hệ giữa tần số góc và chu kì:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

Thay số vào, ta có:

\(\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, \text{rad/s}\)

Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), vật có li độ \(x_0 = -A\). Chúng ta sẽ thay các giá trị này vào phương trình dao động tổng quát:

\(x_0 = A \cos(\omega \cdot 0 + \varphi)\)

\(-A = A \cos(\varphi)\)

Chia cả hai vế cho \(A\) (vì \(A \neq 0\)), ta được:

\(\cos(\varphi) = -1\)

Giá trị \(\varphi\) thỏa mãn điều kiện này là \(\varphi = \pi \, \text{rad}\) (chúng ta thường chọn giá trị trong khoảng \((-\pi, \pi]\) hoặc \([0, 2\pi)\)).

Vậy, phương trình dao động của vật là:

\(x = 24 \cos\left(\frac{\pi}{2}t + \pi\right) \, \text{cm}\)

Chúng ta cần tìm thời điểm \(t\) đầu tiên mà \(x = 24 \, \text{cm}\). Thay \(x = 24\) vào phương trình dao động vừa tìm được:

\(24 = 24 \cos\left(\frac{\pi}{2}t + \pi\right)\)

Chia cả hai vế cho 24 (vì \(24 \neq 0\)), ta có:

\(1 = \cos\left(\frac{\pi}{2}t + \pi\right)\)

Để \(\cos(\alpha) = 1\), thì góc \(\alpha\) phải là bội số chẵn của \(\pi\). Tức là \(\alpha = 2k\pi\), với \(k\) là số nguyên (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Vậy, chúng ta có:

\(\frac{\pi}{2}t + \pi = 2k\pi\)

Để tìm \(t\), ta chuyển \(\pi\) sang vế phải:

\(\frac{\pi}{2}t = 2k\pi – \pi\)

\(\frac{\pi}{2}t = (2k – 1)\pi\)

Chia cả hai vế cho \(\pi\):

\(\frac{1}{2}t = 2k – 1\)

Nhân cả hai vế với 2:

\(t = 2(2k – 1)\)

\(t = 4k – 2\)

Chúng ta cần tìm thời điểm đầu tiên vật qua vị trí này, tức là giá trị \(t\) dương nhỏ nhất. Ta xét các giá trị nguyên của \(k\):

• Với \(k = 0\): \(t = 4(0) – 2 = -2 \, \text{s}\) (Thời điểm âm, không phải là thời điểm sau \(t=0\)).
• Với \(k = 1\): \(t = 4(1) – 2 = 2 \, \text{s}\) (Đây là thời điểm dương đầu tiên).
• Với \(k = 2\): \(t = 4(2) – 2 = 6 \, \text{s}\) (Thời điểm dương thứ hai).

Vậy, thời điểm đầu tiên vật qua vị trí \(x = 24 \, \text{cm}\) là \(t = 2 \, \text{s}\).

Vật dao động điều hoà có chu kì \(T = 4 \, \text{s}\). Điều này có nghĩa là sau mỗi 4 giây, vật sẽ lặp lại trạng thái dao động ban đầu (vị trí và vận tốc).

• Tại \(t = 0\), vật đang ở li độ cực tiểu \(x = -A\). Đây là một biên của dao động (biên âm).
• Vị trí \(x = 24 \, \text{cm}\) chính là \(x = +A\), là biên còn lại (biên dương).
• Để đi từ biên âm (\(-A\)) sang biên dương (\(+A\)), vật cần đi hết nửa chu kì.

Thời gian để vật đi từ biên này sang biên kia (ví dụ từ \(-A\) đến \(+A\)) là đúng nửa chu kì, tức là:

\(t = \frac{T}{2}\)

Thay \(T = 4 \, \text{s}\) vào, ta được:

\(t = \frac{4}{2} = 2 \, \text{s}\)

Kết quả này hoàn toàn khớp với việc giải phương trình lượng giác, cho thấy sự nhất quán giữa toán học và vật lí.

Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li độ \(x = 24 \, \text{cm}\) là \(t = 2 \, \text{s}\).

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về dao động điều hoà. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!