Đề bài: Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp có:

• Điện trở thuần: \( \text{R} = 10 \, \Omega \)
• Độ tự cảm: \( \text{L} = \frac{1}{5\pi} \, (\text{H}) \)
• Điện dung: \( \text{C} = \frac{1}{0,5\pi} \cdot 10^{-3} \, (\text{F}) \)

Dòng điện chạy qua mạch có biểu thức:

\( i = 2 \cdot 5\sqrt{2}\sin(100\pi t + \frac{\pi}{4}) \, (\text{A}) \)

Yêu cầu:

a) Viết biểu thức điện áp \( u_{\text{R}}\), \( u_{\text{L}}\), \( u_{\text{C}}\), \( u\).

b) Tính công suất của mạch: \( \text{P}\), \( \text{Q}\), \( \text{S}\).

—

Phân tích đề bài:

Từ biểu thức dòng điện \( i = 10\sqrt{2}\sin(100\pi t + \frac{\pi}{4}) \, (\text{A}) \), ta có thể xác định được:

• Cường độ dòng điện cực đại: \( \text{I}_0 = 10\sqrt{2} \, (\text{A}) \)
• Tần số góc: \( \omega = 100\pi \, (\text{rad/s}) \)
• Pha ban đầu của dòng điện: \( \varphi_i = \frac{\pi}{4} \, (\text{rad}) \)

Cường độ dòng điện hiệu dụng là: \( \text{I} = \frac{\text{I}_0}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \, (\text{A}) \).

Bước 1: Tính các đại lượng đặc trưng của mạch.

1. Cảm kháng của cuộn cảm \( \text{Z}_{\text{L}} \):

\( \text{Z}_{\text{L}} = \omega \text{L} = 100\pi \cdot \frac{1}{5\pi} = 20 \, (\Omega) \)

2. Dung kháng của tụ điện \( \text{Z}_{\text{C}} \):

Trước hết, tính lại giá trị của C: \( \text{C} = \frac{1}{0,5\pi} \cdot 10^{-3} = \frac{2}{\pi} \cdot 10^{-3} \, (\text{F}) \)

\( \text{Z}_{\text{C}} = \frac{1}{\omega \text{C}} = \frac{1}{100\pi \cdot \frac{2}{\pi} \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{200 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{0,2} = 5 \, (\Omega) \)

3. Tổng trở của toàn mạch \( \text{Z} \):

\( \text{Z} = \sqrt{\text{R}^2 + (\text{Z}_{\text{L}} – \text{Z}_{\text{C}})^2} \)
\( \text{Z} = \sqrt{10^2 + (20 – 5)^2} = \sqrt{10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13} \, (\Omega) \)

—

a) Viết biểu thức điện áp \( u_{\text{R}}\), \( u_{\text{L}}\), \( u_{\text{C}}\), \( u\).

1. Biểu thức điện áp trên điện trở thuần \( u_{\text{R}} \):

• Điện áp trên điện trở thuần cùng pha với dòng điện.
• Giá trị cực đại: \( \text{U}_{0\text{R}} = \text{I}_0 \cdot \text{R} = 10\sqrt{2} \cdot 10 = 100\sqrt{2} \, (\text{V}) \)
• Pha ban đầu: \( \varphi_{u\text{R}} = \varphi_i = \frac{\pi}{4} \, (\text{rad}) \)

Vậy, biểu thức điện áp trên điện trở là:
\( u_{\text{R}} = 100\sqrt{2}\sin(100\pi t + \frac{\pi}{4}) \, (\text{V}) \)

2. Biểu thức điện áp trên cuộn cảm \( u_{\text{L}} \):

• Điện áp trên cuộn cảm sớm pha \( \frac{\pi}{2} \) so với dòng điện.
• Giá trị cực đại: \( \text{U}_{0\text{L}} = \text{I}_0 \cdot \text{Z}_{\text{L}} = 10\sqrt{2} \cdot 20 = 200\sqrt{2} \, (\text{V}) \)
• Pha ban đầu: \( \varphi_{u\text{L}} = \varphi_i + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} \, (\text{rad}) \)

Vậy, biểu thức điện áp trên cuộn cảm là:
\( u_{\text{L}} = 200\sqrt{2}\sin(100\pi t + \frac{3\pi}{4}) \, (\text{V}) \)

3. Biểu thức điện áp trên tụ điện \( u_{\text{C}} \):

• Điện áp trên tụ điện trễ pha \( \frac{\pi}{2} \) so với dòng điện.
• Giá trị cực đại: \( \text{U}_{0\text{C}} = \text{I}_0 \cdot \text{Z}_{\text{C}} = 10\sqrt{2} \cdot 5 = 50\sqrt{2} \, (\text{V}) \)
• Pha ban đầu: \( \varphi_{u\text{C}} = \varphi_i – \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} \, (\text{rad}) \)

Vậy, biểu thức điện áp trên tụ điện là:
\( u_{\text{C}} = 50\sqrt{2}\sin(100\pi t – \frac{\pi}{4}) \, (\text{V}) \)

4. Biểu thức điện áp trên toàn mạch \( u \):

• Giá trị cực đại của điện áp toàn mạch: \( \text{U}_0 = \text{I}_0 \cdot \text{Z} = 10\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{13} = 50\sqrt{26} \, (\text{V}) \)
• Độ lệch pha giữa điện áp và dòng điện: \( \tan\varphi = \frac{\text{Z}_{\text{L}} – \text{Z}_{\text{C}}}{\text{R}} = \frac{20 – 5}{10} = \frac{15}{10} = 1,5 \)
• Vì \( \tan\varphi > 0 \), mạch có tính cảm kháng, điện áp sớm pha hơn dòng điện một góc \( \varphi \).
• Pha ban đầu của điện áp toàn mạch: \( \varphi_u = \varphi_i + \varphi = \frac{\pi}{4} + \arctan(1,5) \, (\text{rad}) \)

Vậy, biểu thức điện áp trên toàn mạch là:
\( u = 50\sqrt{26}\sin(100\pi t + \frac{\pi}{4} + \arctan(1,5)) \, (\text{V}) \)
(Nếu tính xấp xỉ \( \arctan(1,5) \approx 0,9828 \, \text{rad} \), thì \( \varphi_u \approx 0,7854 + 0,9828 = 1,7682 \, \text{rad} \))
\( u \approx 50\sqrt{26}\sin(100\pi t + 1,7682) \, (\text{V}) \)

—

b) Tính công suất của mạch: \( \text{P}\), \( \text{Q}\), \( \text{S}\).

1. Công suất tiêu thụ (công suất tác dụng) \( \text{P} \):

Công suất tiêu thụ chỉ xảy ra trên điện trở thuần.

\( \text{P} = \text{I}^2 \cdot \text{R} = 10^2 \cdot 10 = 100 \cdot 10 = 1000 \, (\text{W}) \)

Hoặc có thể tính bằng công thức \( \text{P} = \text{U} \cdot \text{I} \cdot \cos\varphi \).

Điện áp hiệu dụng toàn mạch: \( \text{U} = \text{I} \cdot \text{Z} = 10 \cdot 5\sqrt{13} = 50\sqrt{13} \, (\text{V}) \)

Hệ số công suất: \( \cos\varphi = \frac{\text{R}}{\text{Z}} = \frac{10}{5\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \)

\( \text{P} = 50\sqrt{13} \cdot 10 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = 500 \cdot 2 = 1000 \, (\text{W}) \). Kết quả trùng khớp.

2. Công suất phản kháng \( \text{Q} \):

\( \text{Q} = \text{I}^2 \cdot (\text{Z}_{\text{L}} – \text{Z}_{\text{C}}) = 10^2 \cdot (20 – 5) = 100 \cdot 15 = 1500 \, (\text{VAR}) \)

Hoặc có thể tính bằng công thức \( \text{Q} = \text{U} \cdot \text{I} \cdot \sin\varphi \).

\( \sin\varphi = \frac{\text{Z}_{\text{L}} – \text{Z}_{\text{C}}}{\text{Z}} = \frac{15}{5\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \)

\( \text{Q} = 50\sqrt{13} \cdot 10 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 500 \cdot 3 = 1500 \, (\text{VAR}) \). Kết quả trùng khớp.

3. Công suất biểu kiến \( \text{S} \):

\( \text{S} = \text{U} \cdot \text{I} = 50\sqrt{13} \cdot 10 = 500\sqrt{13} \, (\text{VA}) \)

Hoặc có thể tính bằng công thức \( \text{S} = \sqrt{\text{P}^2 + \text{Q}^2} \).

\( \text{S} = \sqrt{1000^2 + 1500^2} = \sqrt{1000000 + 2250000} = \sqrt{3250000} \)
\( \text{S} = \sqrt{25 \cdot 13 \cdot 10000} = 5 \cdot 100 \cdot \sqrt{13} = 500\sqrt{13} \, (\text{VA}) \). Kết quả trùng khớp.

—

Tóm tắt kết quả:

a) Các biểu thức điện áp:

• \( u_{\text{R}} = 100\sqrt{2}\sin(100\pi t + \frac{\pi}{4}) \, (\text{V}) \)
• \( u_{\text{L}} = 200\sqrt{2}\sin(100\pi t + \frac{3\pi}{4}) \, (\text{V}) \)
• \( u_{\text{C}} = 50\sqrt{2}\sin(100\pi t – \frac{\pi}{4}) \, (\text{V}) \)
• \( u = 50\sqrt{26}\sin(100\pi t + \frac{\pi}{4} + \arctan(1,5)) \, (\text{V}) \)

b) Các loại công suất:

• Công suất tiêu thụ (tác dụng): \( \text{P} = 1000 \, (\text{W}) \)
• Công suất phản kháng: \( \text{Q} = 1500 \, (\text{VAR}) \)
• Công suất biểu kiến: \( \text{S} = 500\sqrt{13} \, (\text{VA}) \)

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập mạch RLC nối tiếp. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!