Phân tích đề bài và tóm tắt các đại lượng đã cho:

Chúng ta có một quả bóng thám không chứa khí hydro. Quả bóng này bay lên cao cho đến khi thể tích của nó tăng đủ lớn và bị vỡ. Chúng ta cần tìm độ cao mà bóng bị vỡ.

• Thể tích ban đầu của bóng: \(V_0 = 20 m^3\).
• Khối lượng quả bóng và thiết bị đo (ký hiệu là \(m_b\)): \(m_b = 5 kg\).
• Bóng bị vỡ khi thể tích tăng gấp 25 lần thể tích ban đầu.
• Áp suất khí quyển giảm theo độ cao theo quy luật: \(p_k = p_0 e^{{M_kgh}/{RT}}\).
  
  Lưu ý quan trọng: Công thức áp suất khí quyển giảm theo độ cao thường có dấu âm trong số mũ (ví dụ: \(p_k = p_0 e^{-{M_kgh}/{RT}}\)) vì áp suất giảm khi độ cao tăng. Để kết quả hợp lý với các tùy chọn, chúng ta sẽ giả định công thức trong đề bài bị thiếu dấu âm và sử dụng \(p_k = p_0 e^{-{M_kgh}/{RT}}\). Nếu sử dụng đúng công thức đã cho mà không thêm dấu âm, độ cao tính được sẽ là số âm, không phù hợp với thực tế.
• Áp suất khí quyển tại mặt đất: \(p_0 = 10^5 \text{ Pa}\).
• Khối lượng mol của không khí: \(M_k = 29 \text{ g/mol} = 0.029 \text{ kg/mol}\).
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \text{ m/s}^2\).
• Hằng số khí: \(R = 8.31 \text{ J/(mol}\cdot\text{K)}\).
• Nhiệt độ ở độ cao mà bóng bị nổ: \(T_{vỡ} = 218 \text{ K}\).
• Bỏ qua áp suất phụ do vật liệu làm vỏ bóng gây ra.

Kế hoạch giải:

1. Xác định thể tích của quả bóng khi nó bị vỡ.
2. Xác định khối lượng tổng cộng của hệ thống (quả bóng, thiết bị và khí hydro).
   
   Lưu ý quan trọng: Đề bài ghi “tổng khối lượng (khối lượng quả bóng và thiết bị đo) là \(m_b = 5kg\)”. Cách diễn đạt này có thể gây hiểu lầm rằng khối lượng hydro bên trong chưa được tính. Tuy nhiên, để có kết quả khớp với các đáp án, chúng ta sẽ giả định \(m_b = 5kg\) là tổng khối lượng của toàn bộ hệ thống (quả bóng, thiết bị đo và khí hydro bên trong) khi nó bay lên. Nếu không, khối lượng hydro cần tính riêng sẽ làm tổng khối lượng lớn hơn 5kg, dẫn đến độ cao khác.
3. Áp dụng điều kiện cân bằng lực tại thời điểm bóng bị vỡ (lực đẩy Ác-si-mét cân bằng với trọng lực tổng cộng) để tìm khối lượng riêng của không khí tại độ cao đó.
4. Từ khối lượng riêng của không khí và nhiệt độ tại độ cao đó, sử dụng phương trình khí lí tưởng để tìm áp suất khí quyển tại độ cao bóng vỡ.
5. Sử dụng công thức biến thiên áp suất theo độ cao để tìm độ cao h.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Tính thể tích của quả bóng khi bị vỡ

Thể tích ban đầu của bóng là \(V_0 = 20 m^3\).
Bóng bị vỡ khi thể tích tăng gấp 25 lần thể tích ban đầu.
Vậy, thể tích của bóng khi bị vỡ là:
\(V_{vỡ} = 25 \times V_0 = 25 \times 20 m^3 = 500 m^3\).

Bước 2: Xác định tổng khối lượng của hệ thống

Theo giả định được thống nhất để khớp với đáp án, tổng khối lượng của hệ thống (gồm bóng, thiết bị và khí hydro bên trong) là:
\(M_{tổng} = 5 kg\).

Bước 3: Tính khối lượng riêng của không khí tại độ cao bóng vỡ

Tại thời điểm bóng bị vỡ, chúng ta có thể coi hệ thống đang ở trạng thái cân bằng lực (hoặc chuẩn bị mất cân bằng). Khi đó, lực đẩy Ác-si-mét tác dụng lên quả bóng cân bằng với tổng trọng lực của hệ thống.
Lực đẩy Ác-si-mét: \(F_A = \rho_{kk,vỡ} \times g \times V_{vỡ}\)
Trọng lực tổng cộng: \(W = M_{tổng} \times g\)
Khi cân bằng: \(F_A = W\)
\(\rho_{kk,vỡ} \times g \times V_{vỡ} = M_{tổng} \times g\)
\(\rho_{kk,vỡ} = \frac{M_{tổng}}{V_{vỡ}}\)
Thay số: \(\rho_{kk,vỡ} = \frac{5 \text{ kg}}{500 \text{ m}^3} = 0.01 \text{ kg/m}^3\).
Vậy, khối lượng riêng của không khí tại độ cao bóng vỡ là \(0.01 \text{ kg/m}^3\).

Bước 4: Tính áp suất khí quyển tại độ cao bóng vỡ

Ta sử dụng phương trình khí lí tưởng cho không khí ở dạng liên hệ giữa áp suất, khối lượng riêng và nhiệt độ:
\(p_k = \frac{\rho_{kk} R T}{M_k}\)
Tại độ cao bóng vỡ, áp suất là \(p_{k,vỡ}\), khối lượng riêng là \(\rho_{kk,vỡ}\) và nhiệt độ là \(T_{vỡ}\).
\(p_{k,vỡ} = \frac{\rho_{kk,vỡ} \times R \times T_{vỡ}}{M_k}\)
Thay số: \(p_{k,vỡ} = \frac{0.01 \text{ kg/m}^3 \times 8.31 \text{ J/(mol}\cdot\text{K)} \times 218 \text{ K}}{0.029 \text{ kg/mol}}\)
\(p_{k,vỡ} \approx \frac{18.1158}{0.029} \approx 624.68 \text{ Pa}\).
Vậy, áp suất khí quyển tại độ cao bóng vỡ là khoảng \(624.68 \text{ Pa}\).

Bước 5: Tính độ cao h của quả bóng khi bị vỡ

Chúng ta sử dụng công thức biến thiên áp suất theo độ cao (đã điều chỉnh dấu âm):
\(p_k = p_0 e^{-{M_kgh}/{RT}}\)
Trong đó \(p_k = p_{k,vỡ}\) và \(T = T_{vỡ}\).
\(624.68 = 10^5 \times e^{- \frac{0.029 \times 10 \times h}{8.31 \times 218}}\)
\(\frac{624.68}{10^5} = e^{- \frac{0.29 h}{1811.58}}\)
\(0.0062468 = e^{- \frac{0.29 h}{1811.58}}\)
Lấy logarit tự nhiên (ln) cả hai vế:
\(\ln(0.0062468) = – \frac{0.29 h}{1811.58}\)
\(-5.0746 \approx – \frac{0.29 h}{1811.58}\)
\(h = \frac{5.0746 \times 1811.58}{0.29}\)
\(h \approx \frac{9191.8}{0.29}\)
\(h \approx 31700 \text{ m}\)
Đổi sang kilômét: \(h \approx 31.7 \text{ km}\).

So sánh với các đáp án:

Kết quả tính toán \(h \approx 31.7 \text{ km}\) rất gần với đáp án A.

Kết luận:

Độ cao của quả bóng khí khi bị vỡ gần giá trị 31.7 km.

Đáp án chính xác là A. 31,7 km.