Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về sóng cơ, đặc biệt là mối quan hệ pha giữa các điểm trên phương truyền sóng. Đây là một dạng bài rất hay gặp và yêu cầu chúng ta nắm vững kiến thức cơ bản về bước sóng và độ lệch pha.

Chúng ta có bài toán như sau:

Một nguồn dao động với tần số 2Hz phát sóng với tốc độ truyền sóng là 30cm/s. Biết M cách O 20cm, N cách O 60cm. Số điểm giữa M và N dao động vuông pha với M là bao nhiêu?

Để giải quyết bài này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính toán bước sóng (\(\lambda\)) của sóng.

Chúng ta biết công thức liên hệ giữa tốc độ truyền sóng (\(v\)), tần số (\(f\)) và bước sóng (\(\lambda\)) là:

\(v = \lambda \cdot f\)

Từ đó, ta có thể suy ra bước sóng:

\(\lambda = \frac{v}{f}\)

Thay số vào, với \(v = 30 \text{ cm/s}\) và \(f = 2 \text{ Hz}\):

\(\lambda = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}\)

Bước 2: Xác định điều kiện để hai điểm dao động vuông pha.

Hai điểm trên phương truyền sóng dao động vuông pha với nhau khi độ lệch pha giữa chúng là một số bán nguyên lần của \(\pi\), tức là \(\Delta\phi = (k + \frac{1}{2})\pi\), với \(k\) là một số nguyên (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Độ lệch pha giữa hai điểm bất kỳ cách nguồn một khoảng \(d_1\) và \(d_2\) được tính bằng công thức:

\(\Delta\phi = \frac{2\pi |d_2 – d_1|}{\lambda}\)

Trong bài toán này, chúng ta cần tìm các điểm P nằm giữa M và N mà dao động vuông pha với M. Gọi \(d_P\) là khoảng cách từ nguồn O đến điểm P, và \(d_M\) là khoảng cách từ O đến M.

Theo đề bài, \(d_M = 20 \text{ cm}\) và \(d_N = 60 \text{ cm}\).

Vì điểm P nằm “giữa M và N”, điều này có nghĩa là khoảng cách từ O đến P phải lớn hơn khoảng cách từ O đến M và nhỏ hơn khoảng cách từ O đến N. Tức là:

\(d_M < d_P < d_N\)

\(20 \text{ cm} < d_P < 60 \text{ cm}\)

Do \(d_P > d_M\), nên \(d_P – d_M > 0\). Khi đó, độ lệch pha giữa P và M là:

\(\Delta\phi_{PM} = \frac{2\pi (d_P – d_M)}{\lambda}\)

Để P dao động vuông pha với M, ta có:

\(\frac{2\pi (d_P – d_M)}{\lambda} = (k + \frac{1}{2})\pi\)

Chia cả hai vế cho \(\pi\):

\(\frac{2(d_P – d_M)}{\lambda} = k + \frac{1}{2}\)

\(d_P – d_M = (k + \frac{1}{2})\frac{\lambda}{2}\)

Thay các giá trị đã biết vào: \(d_M = 20 \text{ cm}\), \(\lambda = 15 \text{ cm}\).

\(d_P – 20 = (k + 0.5)\frac{15}{2}\)

\(d_P – 20 = (k + 0.5) \times 7.5\)

\(d_P = 20 + 7.5(k + 0.5)\)

\(d_P = 20 + 7.5k + 3.75\)

\(d_P = 23.75 + 7.5k\)

Vì \(\Delta\phi_{PM}\) là độ lệch pha về giá trị tuyệt đối, \(k\) trong công thức \((k + \frac{1}{2})\pi\) thường được chọn là số nguyên không âm để biểu diễn các trường hợp lệch pha cơ bản. Hoặc hiểu đơn giản là \(k\) bắt đầu từ 0 cho các điểm xa nguồn hơn.

Bước 3: Xác định các giá trị nguyên của \(k\) thỏa mãn điều kiện vị trí.

Chúng ta có điều kiện cho \(d_P\):

\(20 < d_P < 60\)

Thay biểu thức của \(d_P\) theo \(k\) vào bất đẳng thức này:

\(20 < 23.75 + 7.5k < 60\)

Giải bất đẳng thức kép này thành hai phần:

Phần 1: \(20 < 23.75 + 7.5k\)

\(20 – 23.75 < 7.5k\)

\(-3.75 < 7.5k\)

\(k > \frac{-3.75}{7.5}\)

\(k > -0.5\)

Phần 2: \(23.75 + 7.5k < 60\)

\(7.5k < 60 - 23.75\)

\(7.5k < 36.25\)

\(k < \frac{36.25}{7.5}\)

\(k < 4.833...\)

Kết hợp cả hai điều kiện, ta có:

\(-0.5 < k < 4.833...\)

Vì \(k\) phải là một số nguyên, các giá trị nguyên của \(k\) thỏa mãn là:

\(k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\)

Bước 4: Kết luận số điểm.

Mỗi giá trị nguyên của \(k\) tương ứng với một điểm P khác nhau dao động vuông pha với M và nằm giữa M và N.

Với các giá trị \(k\) này, ta có các vị trí \(d_P\) cụ thể:

• Với \(k = 0\): \(d_P = 23.75 + 7.5(0) = 23.75 \text{ cm}\)
• Với \(k = 1\): \(d_P = 23.75 + 7.5(1) = 31.25 \text{ cm}\)
• Với \(k = 2\): \(d_P = 23.75 + 7.5(2) = 38.75 \text{ cm}\)
• Với \(k = 3\): \(d_P = 23.75 + 7.5(3) = 46.25 \text{ cm}\)
• Với \(k = 4\): \(d_P = 23.75 + 7.5(4) = 53.75 \text{ cm}\)

Tất cả các điểm này đều nằm trong khoảng từ 20cm đến 60cm.

Vậy, có 5 điểm dao động vuông pha với M nằm giữa M và N.

Chúc các em học tốt!