Ở chính giữa một ống thuỷ tinh nằm ngang, kín cả hai đầu có một cột thuỷ ngân dà…
Bài toán: Ở chính giữa một ống thuỷ tinh nằm ngang, kín cả hai đầu có một cột thuỷ ngân dài h = 19,6 mm. Nếu đặt ống nghiêng một góc 30° so với phương nằm ngang thì cột thuỷ ngân dịch chuyển một đoạn \( \Delta l_1 = 20 \) mm. Nếu đặt ống thẳng đứng thì cột thuỷ ngân dịch chuyển một đoạn \( \Delta l_2 = 30 \) mm. Xác định áp suất của không khí trong ống khi ống nằm ngang. Coi nhiệt độ không đổi.
Phân tích bài toán:
Chúng ta có một ống thuỷ tinh kín hai đầu chứa một cột thuỷ ngân ở giữa. Cột thuỷ ngân này chia không khí trong ống thành hai phần. Tuy nhiên, đề bài cho biết “ở chính giữa… có một cột thuỷ ngân”. Điều này có nghĩa là cột thuỷ ngân này là một khối thuỷ ngân, chứ không phải là vách ngăn để chia không khí.
Khi ống nằm ngang, cột thuỷ ngân chiếm một phần của ống. Hai phần không khí hai bên cột thuỷ ngân này có áp suất bằng nhau. Chúng ta sẽ quy ước áp suất này là \( P_0 \).
Khi ống nghiêng hoặc thẳng đứng, trọng lực của cột thuỷ ngân sẽ tác dụng lên phần không khí.
Vì nhiệt độ không đổi, chúng ta áp dụng định luật Boyle-Mariotte: \( PV = \text{hằng số} \).
Gọi các đại lượng:
- \( P_0 \): Áp suất của không khí trong ống khi ống nằm ngang (Pa). Đây là đại lượng chúng ta cần tìm.
- \( S \): Tiết diện ngang của ống thuỷ tinh (m2).
- \( L \): Chiều dài của cột không khí mỗi bên khi ống nằm ngang (m).
- \( l \): Chiều dài của cột thuỷ ngân (m). Đề bài cho \( l = 19.6 \) mm = \( 19.6 \times 10^{-3} \) m.
- \( \rho \): Khối lượng riêng của thuỷ ngân (kg/m3).
- \( g \): Gia tốc trọng trường (m/s2).
- \( \alpha \): Góc nghiêng của ống so với phương ngang.
- \( \Delta l_1 = 20 \) mm = \( 20 \times 10^{-3} \) m.
- \( \Delta l_2 = 30 \) mm = \( 30 \times 10^{-3} \) m.
Trường hợp 1: Ống nằm ngang
Khi ống nằm ngang, cột thuỷ ngân ở chính giữa. Giả sử tổng chiều dài ống là \( L_{ống} \). Cột thuỷ ngân có chiều dài \( l \). Hai phần không khí hai bên có chiều dài bằng nhau. Chiều dài mỗi phần không khí là \( L \).
Vì cột thuỷ ngân ở chính giữa, nên chiều dài của nó chiếm một phần trong tổng chiều dài ống. Chiều dài không khí mỗi bên sẽ phụ thuộc vào kích thước ống.
Tuy nhiên, cách diễn đạt “ở chính giữa một ống thuỷ tinh … có một cột thuỷ ngân” có thể hiểu là cột thuỷ ngân này nằm gọn trong ống, và nó ngăn cách hai phần không khí.
Nếu hiểu cột thuỷ ngân này là một khối chiếm một phần chiều dài ống, và hai phần không khí nằm ở hai bên, thì khi ống nằm ngang, áp suất của hai phần không khí này phải bằng nhau vì chúng thông nhau qua hai đầu ống (nếu ống không kín hai đầu, nhưng đề bài cho là kín hai đầu).
Cách hiểu hợp lý hơn cho bài toán này là: Cột thuỷ ngân nằm giữa ống, và nó là một khối thuỷ ngân chiếm một đoạn chiều dài ống. Hai bên của cột thuỷ ngân là không khí. Khi ống nằm ngang, áp suất của hai khối không khí này là như nhau, và bằng \( P_0 \).
Khi ống nằm ngang, cột thuỷ ngân chiếm một đoạn chiều dài \( l \). Hai phần không khí nằm ở hai bên. Tuy nhiên, để áp dụng định luật Boyle-Mariotte, chúng ta cần biết thể tích ban đầu của không khí. Nếu cột thuỷ ngân này là vách ngăn, thì nó chia không khí thành hai phần. Nếu nó là một khối chất lỏng, thì nó chiếm một thể tích.
Đề bài cho “cột thuỷ ngân dài h = 19,6 mm”. Đây là chiều dài của cột thuỷ ngân.
Chúng ta hãy giả định rằng, khi ống nằm ngang, cột thuỷ ngân chiếm một đoạn chiều dài \( l \), và nó chia không khí thành hai phần có thể tích bằng nhau. Gọi áp suất của không khí là \( P_0 \). Thể tích của một phần không khí là \( V_0 = S \times L \).
Áp suất của không khí trong ống khi ống nằm ngang là \( P_0 \). Tổng thể tích của không khí là \( V_{khí} = 2 \times S \times L \).
Tuy nhiên, đề bài có vẻ ngụ ý là cột thuỷ ngân này di chuyển bên trong ống. Nghĩa là, nó là một khối thuỷ ngân tự do di chuyển.
Chúng ta hãy xem xét áp suất tác dụng lên hai mặt của cột thuỷ ngân.
Khi ống nằm ngang, cột thuỷ ngân ở chính giữa. Điều này có nghĩa là áp suất hai bên tác dụng lên cột thuỷ ngân là bằng nhau. Giả sử không khí hai bên có áp suất \( P_0 \).
Thực ra, cách diễn đạt “ở chính giữa một ống thuỷ tinh … có một cột thuỷ ngân” có thể hiểu là cột thuỷ ngân này là một vách ngăn cố định. Nhưng “dịch chuyển” lại cho thấy nó là một khối chất lỏng tự do.
Chúng ta sẽ giải theo hướng là cột thuỷ ngân là một khối chất lỏng tự do di chuyển, và nó ngăn cách hai khối khí.
Trường hợp 1: Ống nằm ngang
Khi ống nằm ngang, cột thuỷ ngân ở chính giữa. Hai phần không khí hai bên có cùng áp suất \( P_0 \).
Gọi \( L \) là chiều dài của mỗi phần không khí. Thể tích của mỗi phần không khí là \( V_0 = S \times L \).
Trường hợp 2: Ống nghiêng một góc \( \alpha = 30^\circ \)
Khi ống nghiêng, cột thuỷ ngân dịch chuyển một đoạn \( \Delta l_1 = 20 \) mm.
Giả sử cột thuỷ ngân dịch sang phải một đoạn \( \Delta l_1 \).
Phần không khí bên trái sẽ có chiều dài mới là \( L + \Delta l_1 \). Thể tích mới là \( V_1 = S \times (L + \Delta l_1) \).
Phần không khí bên phải sẽ có chiều dài mới là \( L – \Delta l_1 \). Thể tích mới là \( V’_1 = S \times (L – \Delta l_1) \).
Áp suất tác dụng lên cột thuỷ ngân:
Bên trái: Áp suất là \( P_0 \).
Bên phải: Áp suất là áp suất của không khí cộng với áp suất thủy tĩnh do cột thuỷ ngân gây ra. Tuy nhiên, đây là sai lầm. Cột thuỷ ngân di chuyển, nó là vách ngăn.
Chúng ta cần xem xét áp suất tác dụng lên hai mặt của cột thuỷ ngân.
Khi ống nghiêng, cột thuỷ ngân dịch chuyển \( \Delta l_1 \). Giả sử nó dịch về phía đầu thấp hơn của ống.
Phần không khí bên “trên” (phía ống cao hơn) sẽ bị nén lại. Phần không khí bên “dưới” (phía ống thấp hơn) sẽ giãn ra.
Gọi \( P_{khí\_trên} \) là áp suất của không khí phía trên, và \( P_{khí\_dưới} \) là áp suất của không khí phía dưới.
Áp suất tác dụng lên mặt trên của cột thuỷ ngân là \( P_{khí\_trên} \).
Áp suất tác dụng lên mặt dưới của cột thuỷ ngân là \( P_{khí\_dưới} \).
Khi ống nghiêng, ta có phương trình cân bằng áp suất trên mặt phân cách của cột thuỷ ngân:
Giả sử cột thuỷ ngân dịch về phía cuối ống. Phần không khí bị nén lại, phần kia bị giãn ra.
Khi ống nằm ngang, áp suất của không khí hai bên cột thuỷ ngân là \( P_0 \). Thể tích của mỗi bên là \( V_0 = S \times L \).
Khi ống nghiêng \( 30^\circ \), cột thuỷ ngân dịch chuyển \( \Delta l_1 \).
Phần không khí bên phía cao hơn (bị nén) có áp suất \( P_1 \). Chiều dài của cột không khí này sẽ là \( L – \Delta l_1 \). Thể tích là \( V_1 = S \times (L – \Delta l_1) \).
Phần không khí bên phía thấp hơn (bị giãn) có áp suất \( P’_1 \). Chiều dài của cột không khí này sẽ là \( L + \Delta l_1 \). Thể tích là \( V’_1 = S \times (L + \Delta l_1) \).
Quan hệ giữa áp suất và thể tích:
Áp suất tác dụng lên hai mặt của cột thuỷ ngân phải cân bằng với nhau, có tính đến áp suất thủy tĩnh theo phương dọc theo ống.
Giả sử cột thuỷ ngân dịch chuyển sang bên phải một đoạn \( \Delta l_1 \).
Áp suất của không khí bên trái (phía cao hơn) là \( P_1 \). Thể tích là \( V_1 = S(L – \Delta l_1) \).
Áp suất của không khí bên phải (phía thấp hơn) là \( P’_1 \). Thể tích là \( V’_1 = S(L + \Delta l_1) \).
Áp suất của chất lỏng cột thuỷ ngân theo phương nghiêng là \( \rho g l \sin \alpha \).
Phương trình cân bằng áp suất lên hai mặt của cột thuỷ ngân (theo phương dọc ống):
\( P_1 + \rho g l \sin \alpha = P’_1 \) (Nếu cột thuỷ ngân dịch sang phải, áp suất ở bên phải lớn hơn, có nghĩa là cột thuỷ ngân dịch về phía áp suất thấp hơn. Điều này không đúng).
Nếu cột thuỷ ngân dịch chuyển \( \Delta l_1 \), thì chiều dài của hai phần không khí thay đổi.
Hãy xem xét áp suất tại cùng một mức ngang trong lòng chất lỏng. Tuy nhiên, ở đây chúng ta có hai khối khí và một cột thuỷ ngân.
Áp suất của không khí bên phía cao hơn là \( P_1 \). Áp suất của không khí bên phía thấp hơn là \( P’_1 \).
Trọng lượng của cột thuỷ ngân có thành phần tác dụng theo phương dọc ống.
Phương trình cân bằng áp suất:
\( P_1 + \rho g l \sin \alpha = P’_1 \)
Áp dụng định luật Boyle-Mariotte:
\( P_0 L = P_1 (L – \Delta l_1) \)
\( P_0 L = P’_1 (L + \Delta l_1) \)
Từ đó: \( P_1 = \frac{P_0 L}{L – \Delta l_1} \) và \( P’_1 = \frac{P_0 L}{L + \Delta l_1} \)
Thay vào phương trình cân bằng áp suất:
\( \frac{P_0 L}{L – \Delta l_1} + \rho g l \sin \alpha = \frac{P_0 L}{L + \Delta l_1} \)
\( \rho g l \sin \alpha = P_0 L \left( \frac{1}{L + \Delta l_1} – \frac{1}{L – \Delta l_1} \right) \)
\( \rho g l \sin \alpha = P_0 L \left( \frac{(L – \Delta l_1) – (L + \Delta l_1)}{(L + \Delta l_1)(L – \Delta l_1)} \right) \)
\( \rho g l \sin \alpha = P_0 L \left( \frac{-2 \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \right) \)
Ở đây, chúng ta gặp vấn đề về dấu. Nếu cột thuỷ ngân dịch chuyển về phía thấp hơn, thì áp suất ở phía thấp hơn phải lớn hơn.
Hãy xét lại sự dịch chuyển. Nếu cột thuỷ ngân dịch chuyển một đoạn \( \Delta l_1 \), thì chiều dài của không khí thay đổi.
Khi ống nghiêng, trọng lực của cột thuỷ ngân có thành phần theo phương dọc ống.
Giả sử cột thuỷ ngân dịch sang bên phải một đoạn \( \Delta l_1 \).
Phần không khí bên trái có áp suất \( P_1 \), chiều dài \( L + \Delta l_1 \).
Phần không khí bên phải có áp suất \( P’_1 \), chiều dài \( L – \Delta l_1 \).
Áp suất cân bằng:
\( P_1 = P’_1 + \rho g l \sin \alpha \)
\( P_0 L = P_1 (L + \Delta l_1) \) \( \Rightarrow P_1 = \frac{P_0 L}{L + \Delta l_1} \)
\( P_0 L = P’_1 (L – \Delta l_1) \) \( \Rightarrow P’_1 = \frac{P_0 L}{L – \Delta l_1} \)
Thay vào phương trình cân bằng áp suất:
\( \frac{P_0 L}{L + \Delta l_1} = \frac{P_0 L}{L – \Delta l_1} + \rho g l \sin \alpha \)
\( \rho g l \sin \alpha = P_0 L \left( \frac{1}{L + \Delta l_1} – \frac{1}{L – \Delta l_1} \right) \)
\( \rho g l \sin \alpha = P_0 L \left( \frac{(L – \Delta l_1) – (L + \Delta l_1)}{(L + \Delta l_1)(L – \Delta l_1)} \right) \)
\( \rho g l \sin \alpha = P_0 L \left( \frac{-2 \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \right) \)
Lần này, chúng ta thấy dấu âm. Điều này chỉ ra rằng cách thiết lập \( P_1 \) và \( P’_1 \) với \( \Delta l_1 \) là sai.
Khi ống nghiêng, cột thuỷ ngân dịch chuyển về phía thấp hơn.
Giả sử cột thuỷ ngân dịch chuyển \( \Delta l_1 \) về phía đầu thấp hơn.
Phần không khí bên phía cao hơn bị nén, có áp suất \( P_1 \). Chiều dài là \( L – \Delta l_1 \).
Phần không khí bên phía thấp hơn bị giãn, có áp suất \( P’_1 \). Chiều dài là \( L + \Delta l_1 \).
Áp suất cân bằng tại hai mặt của cột thuỷ ngân:
\( P_1 = P’_1 + \rho g l \sin \alpha \)
Áp dụng định luật Boyle-Mariotte:
\( P_0 L = P_1 (L – \Delta l_1) \Rightarrow P_1 = \frac{P_0 L}{L – \Delta l_1} \)
\( P_0 L = P’_1 (L + \Delta l_1) \Rightarrow P’_1 = \frac{P_0 L}{L + \Delta l_1} \)
Thay vào phương trình cân bằng áp suất:
\( \frac{P_0 L}{L – \Delta l_1} = \frac{P_0 L}{L + \Delta l_1} + \rho g l \sin \alpha \)
\( \rho g l \sin \alpha = P_0 L \left( \frac{1}{L – \Delta l_1} – \frac{1}{L + \Delta l_1} \right) \)
\( \rho g l \sin \alpha = P_0 L \left( \frac{(L + \Delta l_1) – (L – \Delta l_1)}{(L – \Delta l_1)(L + \Delta l_1)} \right) \)
\( \rho g l \sin \alpha = P_0 L \left( \frac{2 \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \right) \)
Phương trình 1: \( \rho g l \sin \alpha = P_0 \frac{2 L \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \)
Trường hợp 3: Ống thẳng đứng
Khi ống thẳng đứng, cột thuỷ ngân dịch chuyển \( \Delta l_2 = 30 \) mm.
Giả sử cột thuỷ ngân dịch chuyển xuống dưới một đoạn \( \Delta l_2 \).
Phần không khí phía trên bị nén, có áp suất \( P_2 \). Chiều dài là \( L – \Delta l_2 \).
Phần không khí phía dưới bị giãn, có áp suất \( P’_2 \). Chiều dài là \( L + \Delta l_2 \).
Áp suất cân bằng tại hai mặt của cột thuỷ ngân (theo phương thẳng đứng):
\( P_2 = P’_2 + \rho g l \)
Áp dụng định luật Boyle-Mariotte:
\( P_0 L = P_2 (L – \Delta l_2) \Rightarrow P_2 = \frac{P_0 L}{L – \Delta l_2} \)
\( P_0 L = P’_2 (L + \Delta l_2) \Rightarrow P’_2 = \frac{P_0 L}{L + \Delta l_2} \)
Thay vào phương trình cân bằng áp suất:
\( \frac{P_0 L}{L – \Delta l_2} = \frac{P_0 L}{L + \Delta l_2} + \rho g l \)
\( \rho g l = P_0 L \left( \frac{1}{L – \Delta l_2} – \frac{1}{L + \Delta l_2} \right) \)
\( \rho g l = P_0 L \left( \frac{(L + \Delta l_2) – (L – \Delta l_2)}{(L – \Delta l_2)(L + \Delta l_2)} \right) \)
\( \rho g l = P_0 L \left( \frac{2 \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \right) \)
Phương trình 2: \( \rho g l = P_0 \frac{2 L \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \)
Giải hệ phương trình:
Ta có hai phương trình:
1. \( \rho g l \sin \alpha = P_0 \frac{2 L \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \)
2. \( \rho g l = P_0 \frac{2 L \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \)
Chia phương trình 1 cho phương trình 2:
\( \frac{\rho g l \sin \alpha}{\rho g l} = \frac{P_0 \frac{2 L \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2}}{P_0 \frac{2 L \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2}} \)
\( \sin \alpha = \frac{\Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \times \frac{L^2 – (\Delta l_2)^2}{\Delta l_2} \)
\( \sin \alpha = \frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} \frac{L^2 – (\Delta l_2)^2}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \)
Ta cần tìm \( P_0 \). Từ phương trình 2, ta có:
\( P_0 = \frac{\rho g l (L^2 – (\Delta l_2)^2)}{2 L \Delta l_2} \)
Để tính \( P_0 \), chúng ta cần biết \( L \), \( \rho \), \( g \). Tuy nhiên, \( \rho \) và \( g \) là các hằng số có thể tra cứu, nhưng \( L \) là chiều dài ban đầu của cột khí.
Chúng ta cần tìm \( L \) trước. Thay \( \sin \alpha = 30^\circ \), \( \Delta l_1 = 20 \times 10^{-3} \) m, \( \Delta l_2 = 30 \times 10^{-3} \) m.
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{20 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-3}} \frac{L^2 – (30 \times 10^{-3})^2}{L^2 – (20 \times 10^{-3})^2} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \frac{L^2 – 900 \times 10^{-6}}{L^2 – 400 \times 10^{-6}} \)
\( \frac{3}{4} = \frac{L^2 – 900 \times 10^{-6}}{L^2 – 400 \times 10^{-6}} \)
\( 3(L^2 – 400 \times 10^{-6}) = 4(L^2 – 900 \times 10^{-6}) \)
\( 3L^2 – 1200 \times 10^{-6} = 4L^2 – 3600 \times 10^{-6} \)
\( L^2 = 3600 \times 10^{-6} – 1200 \times 10^{-6} \)
\( L^2 = 2400 \times 10^{-6} \) m2
\( L = \sqrt{2400 \times 10^{-6}} = \sqrt{24 \times 10^{-4}} = 10^{-2} \sqrt{24} = 10^{-2} \times 2\sqrt{6} \approx 0.04899 \) m = \( 48.99 \) mm
Bây giờ, chúng ta cần giá trị \( \rho g \). Áp suất khí quyển là khoảng \( 101325 \) Pa. Áp suất này tương đương với một cột thuỷ ngân cao khoảng 760 mm.
\( P_{atm} = \rho g h_{atm} \)
Ta có \( h = 19.6 \) mm.
Xem xét phương trình 2: \( \rho g l = P_0 \frac{2 L \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \)
Từ \( \rho g l = P_{khí\_thủy\_tĩnh} \), ta có thể liên hệ với áp suất khí quyển.
Giả sử áp suất khí quyển là \( P_{atm} \).
Khi ống thẳng đứng, áp suất của không khí bên dưới \( P’_2 \) sẽ bằng áp suất khí quyển nếu không có áp suất cột thuỷ ngân tác dụng lên nó.
Tuy nhiên, đề bài không cho thông tin về áp suất khí quyển.
Chúng ta cần tìm \( \rho g \).
Từ phương trình 2: \( \rho g = \frac{P_0}{l} \frac{2 L \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \)
Ta có thể thay \( \rho g l \) bằng áp suất của một cột thuỷ ngân có chiều dài \( l \).
Có lẽ chúng ta có thể tìm \( P_0 \) bằng cách biểu diễn \( \rho g l \) theo \( P_0 \) và \( L \) từ một trong hai phương trình, rồi thay vào phương trình kia.
Ta có \( P_0 = \frac{\rho g l (L^2 – (\Delta l_2)^2)}{2 L \Delta l_2} \).
Thay \( L^2 = 2400 \times 10^{-6} \), \( \Delta l_2 = 30 \times 10^{-3} \), \( L \approx 48.99 \times 10^{-3} \).
\( L^2 – (\Delta l_2)^2 = 2400 \times 10^{-6} – (30 \times 10^{-3})^2 = 2400 \times 10^{-6} – 900 \times 10^{-6} = 1500 \times 10^{-6} \)
\( 2 L \Delta l_2 = 2 \times (48.99 \times 10^{-3}) \times (30 \times 10^{-3}) = 2939.4 \times 10^{-6} \)
\( P_0 = \frac{\rho g l (1500 \times 10^{-6})}{2939.4 \times 10^{-6}} = \rho g l \frac{1500}{2939.4} \approx \rho g l \times 0.5103 \)
Chúng ta thiếu một thông tin để tính \( \rho g \).
Thường thì bài toán loại này sẽ cho biết áp suất khí quyển hoặc mối liên hệ với áp suất khí quyển.
Xem lại đề bài: “Xác định áp suất của không khí trong ống khi ống nằm ngang.”
Giả sử rằng khi ống thẳng đứng, áp suất của không khí bên dưới \( P’_2 \) có thể được xem là áp suất khí quyển nếu đầu dưới của ống thông với khí quyển. Nhưng ống kín hai đầu.
Ta có thể thử viết lại \( \rho g l \) từ phương trình 2.
\( \rho g l = P_0 \frac{2 L \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \)
Thay vào phương trình 1:
\( P_0 \frac{2 L \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \sin \alpha = P_0 \frac{2 L \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \)
\( \frac{\Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \sin \alpha = \frac{\Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \)
\( \sin \alpha = \frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} \frac{L^2 – (\Delta l_2)^2}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \)
Phương trình này đã được sử dụng để tìm \( L \).
Nếu không có giá trị \( \rho \) và \( g \), hoặc mối liên hệ với áp suất khí quyển, thì không thể tìm được \( P_0 \).
Có thể chúng ta cần dùng tỉ lệ áp suất.
Đặt \( P_0 L = K \) (hằng số).
Khi ống nghiêng: \( P_1 = K / (L – \Delta l_1) \), \( P’_1 = K / (L + \Delta l_1) \).
\( P_1 = P’_1 + \rho g l \sin \alpha \Rightarrow \frac{K}{L – \Delta l_1} = \frac{K}{L + \Delta l_1} + \rho g l \sin \alpha \)
\( \rho g l \sin \alpha = K \left( \frac{1}{L – \Delta l_1} – \frac{1}{L + \Delta l_1} \right) = K \frac{2 \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \)
Khi ống thẳng đứng: \( P_2 = K / (L – \Delta l_2) \), \( P’_2 = K / (L + \Delta l_2) \).
\( P_2 = P’_2 + \rho g l \Rightarrow \rho g l = K \left( \frac{1}{L – \Delta l_2} – \frac{1}{L + \Delta l_2} \right) = K \frac{2 \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \)
Chia hai phương trình:
\( \frac{\rho g l \sin \alpha}{\rho g l} = \frac{K \frac{2 \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2}}{K \frac{2 \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2}} \)
\( \sin \alpha = \frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} \frac{L^2 – (\Delta l_2)^2}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \)
Đây là phương trình để tìm \( L \).
Bây giờ, ta cần tìm \( P_0 = K/L \).
Ta có: \( \rho g l = \frac{P_0 L \times 2 \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \)
Nếu \( \rho g l \) không được cho dưới dạng số cụ thể, thì không thể tìm được \( P_0 \).
Tuy nhiên, \( l \) là chiều dài cột thuỷ ngân. \( \rho g l \) là áp suất của cột thuỷ ngân đó.
Thông thường, áp suất sẽ được biểu diễn bằng đơn vị mmHg hoặc Pa.
Giả sử rằng áp suất khí quyển là \( P_{atm} \). Và áp suất cột thuỷ ngân có chiều dài \( h \) là \( P_h = \rho g h \).
Có thể đề bài cho \( l = 19.6 \) mm là một thông tin quan trọng để tính \( \rho g \).
Nếu coi \( P_{atm} \approx 101325 \) Pa và \( 1 \) atm \( = 760 \) mmHg.
\( P_{atm} = \rho g \times 760 \times 10^{-3} \) m.
\( \rho g = \frac{101325}{760 \times 10^{-3}} \approx 133322 \) Pa/m.
Vậy \( \rho g l = 133322 \times (19.6 \times 10^{-3}) \approx 2613 \) Pa.
Bây giờ ta có thể tính \( P_0 \) từ phương trình 2:
\( P_0 = \frac{\rho g l (L^2 – (\Delta l_2)^2)}{2 L \Delta l_2} \)
\( P_0 = \frac{2613 \times (1500 \times 10^{-6})}{2939.4 \times 10^{-6}} \approx \frac{2613 \times 1500}{2939.4} \approx 1332 \) Pa.
Tuy nhiên, việc giả định áp suất khí quyển là không có cơ sở từ đề bài.
Hãy xem xét lại bài toán. Nếu không có \( \rho g \), thì không thể tính ra \( P_0 \) bằng Pa.
Có thể đề bài yêu cầu kết quả theo đơn vị mm hay cm của cột thuỷ ngân.
Hãy sử dụng đơn vị mm cho tất cả các độ dài và áp suất theo đơn vị mm thuỷ ngân.
Đặt \( P_0 \) là áp suất của không khí khi ống nằm ngang, đơn vị mm thuỷ ngân.
\( l = 19.6 \) mm.
\( \Delta l_1 = 20 \) mm, \( \Delta l_2 = 30 \) mm.
\( \sin \alpha = \sin 30^\circ = 0.5 \).
Phương trình 1: \( \rho g l \sin \alpha \) là áp suất của cột thuỷ ngân \( l \) với thành phần theo phương nghiêng.
Áp suất cột thuỷ ngân \( l \) theo phương thẳng đứng là \( \rho g l \).
Khi ống nghiêng, thành phần theo phương dọc ống là \( \rho g l \sin \alpha \).
Hãy sử dụng đơn vị mm thuỷ ngân.
Áp suất cột thuỷ ngân dài \( l \) là \( l \) mmHg.
Khi ống nghiêng \( 30^\circ \), áp suất theo phương dọc ống là \( l \sin \alpha \) mmHg.
Khi ống thẳng đứng, áp suất là \( l \) mmHg.
Phương trình 1 (đơn vị mmHg): \( l \sin \alpha = P_0 \frac{2 L \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} \)
Phương trình 2 (đơn vị mmHg): \( l = P_0 \frac{2 L \Delta l_2}{L^2 – (\Delta l_2)^2} \)
Chúng ta đã tìm được \( L^2 = 2400 \times 10^{-6} \) m2.
\( \Delta l_1 = 20 \times 10^{-3} \) m, \( \Delta l_2 = 30 \times 10^{-3} \) m.
\( L \approx 48.99 \times 10^{-3} \) m.
Từ phương trình 2: \( P_0 = \frac{l (L^2 – (\Delta l_2)^2)}{2 L \Delta l_2} \)
\( L^2 – (\Delta l_2)^2 = 2400 \times 10^{-6} – 900 \times 10^{-6} = 1500 \times 10^{-6} \) m2.
\( 2 L \Delta l_2 = 2 \times (48.99 \times 10^{-3}) \times (30 \times 10^{-3}) \approx 2939.4 \times 10^{-6} \) m2.
\( P_0 = \frac{19.6 \text{ mm} \times (1500 \times 10^{-6})}{2939.4 \times 10^{-6}} \approx \frac{19.6 \times 1500}{2939.4} \approx 9.96 \) mmHg.
Chúng ta kiểm tra lại với phương trình 1:
\( l \sin \alpha = 19.6 \times 0.5 = 9.8 \) mmHg.
\( P_0 \frac{2 L \Delta l_1}{L^2 – (\Delta l_1)^2} = 9.96 \times \frac{2 \times (48.99 \times 10^{-3}) \times (20 \times 10^{-3})}{(2400 \times 10^{-6}) – (400 \times 10^{-6})} \)
\( = 9.96 \times \frac{1959.6 \times 10^{-6}}{2000 \times 10^{-6}} = 9.96 \times \frac{1959.6}{2000} \approx 9.96 \times 0.9798 \approx 9.75 \).
Sai số nhỏ do làm tròn.
Vậy áp suất của không khí trong ống khi ống nằm ngang là khoảng 9.96 mmHg.
Nếu muốn đổi sang Pa: \( 9.96 \) mmHg \( \approx 9.96 \times 1333.22 \) Pa \( \approx 13280 \) Pa.
Tuy nhiên, bài toán yêu cầu xác định áp suất, không nói rõ đơn vị. Đơn vị mm thuỷ ngân là hợp lý khi đề bài cho áp suất bằng đơn vị mm thuỷ ngân.
Kết luận:
Chúng ta đã thiết lập được hệ phương trình dựa trên định luật Boyle-Mariotte và nguyên lý cân bằng áp suất.
Đầu tiên, chúng ta tìm được chiều dài ban đầu của cột khí \( L \).
Sau đó, sử dụng một trong hai phương trình để tính áp suất \( P_0 \).
Các bước giải chi tiết:
1. Thiết lập các phương trình áp suất và thể tích cho từng trường hợp.
2. Sử dụng tỉ lệ của hai phương trình để tìm chiều dài ban đầu của cột khí \( L \).
3. Thay \( L \) vào một trong các phương trình để tính áp suất \( P_0 \).
Đáp số: Áp suất của không khí trong ống khi ống nằm ngang là \( P_0 \approx 9.96 \) mmHg.
Nếu yêu cầu tính bằng Pa, ta có thể sử dụng \( 1 \) mmHg \( \approx 133.322 \) Pa.
\( P_0 \approx 9.96 \times 133.322 \approx 1328 \) Pa.
Nếu bài toán không cho thêm thông tin về áp suất khí quyển hoặc tỉ lệ với áp suất khí quyển, thì việc biểu diễn áp suất theo đơn vị mmHg là phù hợp.
Ghi chú: Có thể có cách tiếp cận khác, ví dụ như quy ước một cột áp suất chuẩn. Tuy nhiên, cách trên là chặt chẽ nhất.
Kiểm tra lại:
\( L \approx 48.99 \) mm.
\( P_0 \approx 9.96 \) mmHg.
Trường hợp nghiêng: \( l \sin \alpha = 19.6 \times 0.5 = 9.8 \) mmHg.
\( P_1 = \frac{9.96 \times 48.99}{48.99 – 20} = \frac{9.96 \times 48.99}{28.99} \approx 16.86 \) mmHg.
\( P’_1 = \frac{9.96 \times 48.99}{48.99 + 20} = \frac{9.96 \times 48.99}{68.99} \approx 7.05 \) mmHg.
\( P_1 = P’_1 + l \sin \alpha \Rightarrow 16.86 \approx 7.05 + 9.8 = 16.85 \). Khớp.
Trường hợp đứng: \( l = 19.6 \) mmHg.
\( P_2 = \frac{9.96 \times 48.99}{48.99 – 30} = \frac{9.96 \times 48.99}{18.99} \approx 25.69 \) mmHg.
\( P’_2 = \frac{9.96 \times 48.99}{48.99 + 30} = \frac{9.96 \times 48.99}{78.99} \approx 6.15 \) mmHg.
\( P_2 = P’_2 + l \Rightarrow 25.69 \approx 6.15 + 19.6 = 25.75 \). Khớp.
Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài tập này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, hãy đặt câu hỏi nhé.
\[ \Delta p_1 = \rho g h \sin 30^\circ \] \[ (p_0 + \tfrac{\Delta p_1}{2})(l + \Delta l_1) = (p_0 – \tfrac{\Delta p_1}{2})(l – \Delta l_1) \] \[ p_0 = \dfrac{\Delta p_1\, l}{2\Delta l_1} \] \[ \Delta p_2 = \rho g h \] \[ p_0 = \dfrac{\Delta p_2\, l}{2\Delta l_2} \] \[ p_0 = 13\,600 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}0196 \approx 2{,}6\times 10^4\,\text{Pa} \]
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment