Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài tập thú vị về sóng cơ học trên dây. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các khái niệm về phương trình sóng, độ lệch pha và điều kiện dao động của một điểm trên dây. Đặc biệt, chúng ta cần lưu ý đến thời gian sóng truyền đến điểm cần xét.

Đề bài:

Lúc \(t=0\) đầu O của dây cao su căng thẳng nằm ngang bắt đầu dao động đi lên biên độ \(a\), chu kì \(T=1s\). Hai điểm gần nhau nhất trên dây dao động ngược pha cách nhau \(3cm\). Thời điểm đầu tiên để M cách O \(12cm\) đang đi xuống qua vị trí cân bằng là:

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải bài toán này theo từng bước một nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định tần số góc (\(\omega\)).

Chúng ta được cho chu kì dao động của nguồn là \(T = 1s\).

Tần số góc \(\omega\) được tính bằng công thức:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

Thay số vào, ta có:

\(\omega = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ rad/s}\)

Bước 2: Xác định bước sóng (\(\lambda\)).

Đề bài cho biết hai điểm gần nhau nhất trên dây dao động ngược pha cách nhau \(3cm\).

Hai điểm dao động ngược pha có độ lệch pha là \(\Delta\varphi = (2n+1)\pi\). Vì là hai điểm gần nhau nhất dao động ngược pha, nên ta chọn \(n=0\), tức là \(\Delta\varphi = \pi\).

Mặt khác, độ lệch pha giữa hai điểm trên phương truyền sóng cách nhau một khoảng \(\Delta x\) là:

\(\Delta\varphi = \frac{2\pi\Delta x}{\lambda}\)

Áp dụng vào trường hợp này, với \(\Delta x = 3cm\) và \(\Delta\varphi = \pi\), ta có:

\(\pi = \frac{2\pi \times 3}{\lambda}\)

Từ đó, ta tìm được bước sóng \(\lambda\):

\(\lambda = \frac{2\pi \times 3}{\pi} = 6 \text{ cm}\)

Bước 3: Xác định vận tốc truyền sóng (\(v\)) và số sóng (\(k\)).

Vận tốc truyền sóng \(v\) được tính bằng công thức:

\(v = \frac{\lambda}{T}\)

Thay số vào:

\(v = \frac{6 \text{ cm}}{1 \text{ s}} = 6 \text{ cm/s}\)

Số sóng \(k\) được tính bằng công thức:

\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)

Thay \(\lambda = 6cm\) vào, ta có:

\(k = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \text{ rad/cm}\)

Bước 4: Viết phương trình dao động của nguồn O.

Đầu O bắt đầu dao động tại \(t=0\), đi lên từ vị trí cân bằng.

Điều này có nghĩa là tại \(t=0\), li độ \(u_O = 0\) và vận tốc \(v_O > 0\).

Phương trình dao động điều hòa tổng quát có dạng \(u = A \cos(\omega t + \varphi)\).

• Tại \(t=0\), \(u_O(0) = a \cos(\varphi_O) = 0 \Rightarrow \cos(\varphi_O) = 0\). Suy ra \(\varphi_O = \pm \frac{\pi}{2}\).
• Vận tốc \(v_O(t) = u_O'(t) = -a\omega \sin(\omega t + \varphi_O)\).
• Tại \(t=0\), \(v_O(0) = -a\omega \sin(\varphi_O) > 0\).

Để \( -a\omega \sin(\varphi_O) > 0 \), vì \(a>0\) và \(\omega>0\), nên \(\sin(\varphi_O) < 0\).

Với \(\cos(\varphi_O) = 0\) và \(\sin(\varphi_O) < 0\), ta chọn pha ban đầu \(\varphi_O = -\frac{\pi}{2}\).

Vậy phương trình dao động của nguồn O là:

\(u_O = a \cos\left(2\pi t – \frac{\pi}{2}\right)\) hoặc có thể viết gọn là \(u_O = a \sin(2\pi t)\).

Bước 5: Viết phương trình sóng tại điểm M và xác định thời gian sóng truyền đến M.

Sóng truyền từ O theo chiều dương của trục x. Phương trình sóng tại điểm M cách O một khoảng \(x\) là:

\(u_M(x,t) = a \cos\left(\omega t – kx + \varphi_O\right)\)

Thay các giá trị đã tìm được:

\(u_M(x,t) = a \cos\left(2\pi t – \frac{\pi}{3}x – \frac{\pi}{2}\right)\)

Điểm M cách O một khoảng \(x_M = 12cm\).

Thời gian sóng truyền từ O đến M là \(\Delta t_{OM} = \frac{x_M}{v}\).

Thay số:

\(\Delta t_{OM} = \frac{12 \text{ cm}}{6 \text{ cm/s}} = 2 \text{ s}\).

Điều này có nghĩa là điểm M chỉ bắt đầu dao động tại thời điểm \(t \ge 2s\). Trước thời điểm này, M vẫn đứng yên.

Bây giờ, chúng ta xét phương trình dao động của điểm M tại \(x_M = 12cm\) cho \(t \ge 2s\):

\(u_M(t) = a \cos\left(2\pi t – \frac{\pi}{3} \times 12 – \frac{\pi}{2}\right)\)

\(u_M(t) = a \cos\left(2\pi t – 4\pi – \frac{\pi}{2}\right)\)

Vì hàm \(\cos\) có tính tuần hoàn với chu kì \(2\pi\), nên \(\cos(\theta – 4\pi) = \cos(\theta)\). Do đó:

\(u_M(t) = a \cos\left(2\pi t – \frac{\pi}{2}\right)\)

Hoặc có thể viết gọn hơn là \(u_M(t) = a \sin(2\pi t)\). (Đây là phương trình dao động của M, có hiệu lực khi \(t \ge 2s\)).

Bước 6: Xác định thời điểm đầu tiên M đang đi xuống qua vị trí cân bằng.

Điểm M đang đi xuống qua vị trí cân bằng có nghĩa là:

• Li độ \(u_M(t) = 0\).
• Vận tốc \(v_M(t) < 0\).
• Và thời điểm \(t\) phải thỏa mãn \(t \ge 2s\) (vì sóng phải truyền tới M đã).

Từ phương trình \(u_M(t) = a \sin(2\pi t)\), điều kiện \(u_M(t) = 0\) xảy ra khi:

\(\sin(2\pi t) = 0\)

\(2\pi t = n\pi\), với \(n\) là số nguyên.

\(t = \frac{n}{2}\)

Tiếp theo, chúng ta xét điều kiện vận tốc \(v_M(t) < 0\).

Vận tốc của điểm M là đạo hàm của li độ theo thời gian:

\(v_M(t) = \frac{d u_M(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (a \sin(2\pi t)) = a (2\pi) \cos(2\pi t)\)

Để \(v_M(t) < 0\), ta cần \(\cos(2\pi t) < 0\) (vì \(2\pi a > 0\)).

Kết hợp điều kiện \(\sin(2\pi t) = 0\) và \(\cos(2\pi t) < 0\), ta thấy rằng giá trị của góc \(2\pi t\) phải là các số lẻ lần của \(\pi\) (ví dụ: \(\pi, 3\pi, 5\pi, ...\)). Hay nói cách khác, \(n\) trong biểu thức \(t = n/2\) phải là một số lẻ dương.

Các giá trị của \(t\) thỏa mãn hai điều kiện trên là:

• Với \(n=1\), \(t = \frac{1}{2} = 0.5s\).
• Với \(n=3\), \(t = \frac{3}{2} = 1.5s\).
• Với \(n=5\), \(t = \frac{5}{2} = 2.5s\).
• …

Bây giờ, chúng ta áp dụng điều kiện thứ ba: thời điểm \(t\) phải lớn hơn hoặc bằng thời gian sóng truyền đến M, tức là \(t \ge 2s\).

Trong các giá trị \(0.5s, 1.5s, 2.5s, …\), giá trị nhỏ nhất thỏa mãn \(t \ge 2s\) là \(t = 2.5s\).

Kết luận:

Vậy, thời điểm đầu tiên để điểm M cách O \(12cm\) đang đi xuống qua vị trí cân bằng là \(2.5s\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ hơn cách giải các bài toán về sóng cơ. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!