Cho một chất điểm dao dộng điều hòa với biên độ 5 cm chu kỳ bằng 2s. trong mỗi c…
Đề bài: Cho một chất điểm dao động điều hòa với biên độ \(A = 5\) cm, chu kỳ \(T = 2\) s. Trong mỗi chu kỳ, hãy tính quãng thời gian mà vận tốc chuyển động của vật có độ lớn lớn hơn \(2.5\pi\) cm/s.
Để giải bài này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất, chúng ta sẽ đi theo các bước sau đây nhé!
PHÂN TÍCH ĐỀ BÀI VÀ TÓM TẮT DỮ KIỆN:
Chúng ta có các thông tin sau:
- Biên độ: \(A = 5\) cm
- Chu kỳ: \(T = 2\) s
- Điều kiện cần tìm thời gian: \(|v| > 2.5\pi\) cm/s
CÁC BƯỚC GIẢI CHI TIẾT:
Bước 1: Tính tần số góc (\(\omega\)) của dao động.
Tần số góc \(\omega\) là đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến thiên của pha dao động. Nó được tính bằng công thức liên hệ với chu kỳ \(T\):
\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)
Thay số vào, ta có:
\(\omega = \frac{2\pi}{2} = \pi\) rad/s
Bước 2: Tính vận tốc cực đại (\(v_{max}\)) của vật.
Vận tốc của vật dao động điều hòa đạt giá trị cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng. Độ lớn vận tốc cực đại được tính bằng công thức:
\(v_{max} = A\omega\)
Thay các giá trị \(A\) và \(\omega\) đã biết vào:
\(v_{max} = 5 \text{ cm} \cdot \pi \text{ rad/s} = 5\pi\) cm/s
(Lưu ý: Giá trị vận tốc \(2.5\pi\) cm/s trong đề bài chính bằng một nửa vận tốc cực đại \(v_{max}/2\), điều này thường gợi ý các góc “đẹp” trên vòng tròn lượng giác).
Bước 3: Thiết lập điều kiện về vận tốc và biểu diễn qua hàm sin.
Phương trình vận tốc của vật dao động điều hòa có dạng:
\(v = -A\omega \sin(\omega t + \phi)\)
Hoặc, thay \(A\omega = v_{max}\) và \(\omega t + \phi = \alpha\) (pha dao động):
\(v = -v_{max} \sin(\alpha)\)
Thay \(v_{max} = 5\pi\), ta có:
\(v = -5\pi \sin(\alpha)\)
Điều kiện đề bài cho là \(|v| > 2.5\pi\). Thay biểu thức của \(v\) vào:
\(|-5\pi \sin(\alpha)| > 2.5\pi\)
\(5\pi |\sin(\alpha)| > 2.5\pi\)
Chia cả hai vế cho \(5\pi\) (là một số dương nên không đổi chiều bất đẳng thức):
\(|\sin(\alpha)| > \frac{2.5\pi}{5\pi}\)
\(|\sin(\alpha)| > \frac{1}{2}\)
Điều này có nghĩa là:
\( \sin(\alpha) > \frac{1}{2} \) HOẶC \( \sin(\alpha) < -\frac{1}{2} \)
Bước 4: Sử dụng vòng tròn lượng giác (hoặc biểu diễn pha) để tìm các khoảng pha thỏa mãn điều kiện.
Chúng ta sẽ xét trong một chu kỳ, tương ứng với pha dao động \(\alpha\) chạy từ \(0\) đến \(2\pi\).
Trường hợp 1: \(\sin(\alpha) > \frac{1}{2}\)
Trên vòng tròn lượng giác, giá trị \(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\) tại các góc \(\alpha = \frac{\pi}{6}\) và \(\alpha = \frac{5\pi}{6}\).
Khoảng các góc mà \(\sin(\alpha) > \frac{1}{2}\) là từ \(\frac{\pi}{6}\) đến \(\frac{5\pi}{6}\).
Độ dài cung pha tương ứng là: \(\Delta\alpha_1 = \frac{5\pi}{6} – \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\)
(Hình ảnh minh họa vòng tròn lượng giác. Hãy hình dung trục sin là trục tung.)
Trường hợp 2: \(\sin(\alpha) < -\frac{1}{2}\)
Trên vòng tròn lượng giác, giá trị \(\sin(\alpha) = -\frac{1}{2}\) tại các góc \(\alpha = \frac{7\pi}{6}\) và \(\alpha = \frac{11\pi}{6}\).
Khoảng các góc mà \(\sin(\alpha) < -\frac{1}{2}\) là từ \(\frac{7\pi}{6}\) đến \(\frac{11\pi}{6}\).
Độ dài cung pha tương ứng là: \(\Delta\alpha_2 = \frac{11\pi}{6} – \frac{7\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\)
Bước 5: Tính tổng thời gian trong một chu kỳ.
Tổng độ dài cung pha trong một chu kỳ mà vận tốc thỏa mãn điều kiện là:
\(\Delta\alpha_{tổng} = \Delta\alpha_1 + \Delta\alpha_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}\)
Chúng ta biết rằng, một chu kỳ \(T\) tương ứng với một vòng tròn đầy đủ, tức là \(2\pi\) radian pha. Do đó, thời gian \(\Delta t\) tương ứng với một độ dài cung pha \(\Delta\alpha\) được tính bằng công thức tỉ lệ:
\(\frac{\Delta t}{T} = \frac{\Delta\alpha_{tổng}}{2\pi}\)
Suy ra:
\(\Delta t = \frac{\Delta\alpha_{tổng}}{2\pi} \cdot T\)
Thay số vào:
\(\Delta t = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2\pi} \cdot 2 \text{ s}\)
\(\Delta t = \frac{4\pi}{3 \cdot 2\pi} \cdot 2 \text{ s}\)
\(\Delta t = \frac{2}{3} \cdot 2 \text{ s}\)
\(\Delta t = \frac{4}{3}\) s
KẾT LUẬN:
Vậy, trong mỗi chu kỳ, quãng thời gian mà vận tốc chuyển động của vật có độ lớn lớn hơn \(2.5\pi\) cm/s là \(\frac{4}{3}\) giây.
Các em nhớ rằng, việc sử dụng vòng tròn lượng giác rất hữu ích trong việc hình dung và giải quyết các bài toán về thời gian trong dao động điều hòa nhé. Cứ luyện tập nhiều là sẽ thành thạo thôi!
Chúc các em học tốt!
\(\NukePhysics\)
Tần số góc và vận tốc cực đại:
\(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\text{ (rad/s)}\)
\(v_{\max} = \omega \cdot A = \pi \cdot 5 = 5\pi\text{ (cm/s)}\)
Để vận tốc \(v \ge 2,5\pi\text{ cm/s}\):
\(v \ge \frac{v_{\max}}{2}\)
Vận tốc \(v > 0\) khi vật chuyển động theo chiều dương.
Vị trí có \(v = \frac{v_{\max}}{2}\) tương ứng với li độ:
\(\vert{}x\vert{} = \frac{A\sqrt{3}}{2}\)
Khoảng thời gian trong 1 chu kỳ để \(v \ge \frac{v_{\max}}{2}\) là lúc vật đi theo chiều dương từ \(x = -\frac{A\sqrt{3}}{2}\) qua VTCB đến \(x = \frac{A\sqrt{3}}{2}\):
\(\Delta t = \frac{T}{6} + \frac{T}{6} = \frac{T}{3}\)
Thay \(T = 2\text{ s}\) vào:
\(\Delta t = \frac{2}{3}\text{ (s)}\)
(đề lỗi chữ bu nên thay là \(pi\) )
\(\omega = (2\pi)/(T) = (2\pi)/(2) = \pi rad//s\)
\(v_(max) = \omega . A = \pi . 5 = 5\pi cm//s\)
Điều kiện vận tốc có độ lớn lớn hơn \(2,5\pi cm//s\)
\(|v| > (v_(max))/(2)\)
\(v^2 + (\omega x)^2 = (\omega A)^2\)
\(=> (\omega x)^2 < (\omega A)^2 – ((v_(max))/(2))^2 = (\omega A)^2 – ((\omega A)^2)/(4) = (3(\omega A)^2)/(4)\)
\(=> |x| < (A\sqrt{3})/(2)\)
Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật thỏa mãn điều kiện trên
\(t = 2 . (T)/(6) = (T)/(3)\)
\(t = (2)/(3) s\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment