Chúng ta cùng phân tích đề bài:

Khi động cơ ô tô hoạt động, pit-tông bên trong động cơ dao động lên xuống theo phương trình dao động điều hòa có dạng: \(x = 12 \cos(40\pi t)\) (cm), trong đó t được tính bằng giây.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào giải từng phần của bài toán.

a) Tính chu kì dao động của pit-tông và quãng đường nó đi được trong hai chu kì.

Trước hết, chúng ta cần xác định chu kì dao động của pit-tông. Phương trình dao động có dạng tổng quát là \(x = A \cos(\omega t + \phi)\). So sánh với phương trình đã cho \(x = 12 \cos(40\pi t)\), ta có:

• Biên độ dao động: \(A = 12\) cm.
• Tần số góc: \(\omega = 40\pi\) rad/s.

Mối liên hệ giữa tần số góc \(\omega\) và chu kì \(T\) là: \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

Từ đó, ta có thể tính chu kì \(T\):

\(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{40\pi} = \frac{1}{20}\) s.

Vậy, chu kì dao động của pit-tông là \(T = \frac{1}{20}\) s.

Tiếp theo, chúng ta cần tính quãng đường mà pit-tông đi được trong hai chu kì. Trong một chu kì dao động, vật đi được quãng đường bằng 4 lần biên độ. Do đó, trong hai chu kì, quãng đường mà pit-tông đi được sẽ là:

Quãng đường trong 2 chu kì = \(2 \times (4A) = 8A\).

Thay biên độ \(A = 12\) cm vào, ta được:

Quãng đường trong 2 chu kì = \(8 \times 12\) cm = \(96\) cm.

b) Tính tốc độ cực đại của pit-tông.

Tốc độ của pit-tông được tính bằng đạo hàm của li độ theo thời gian: \(v = x'(t)\).

\(v(t) = \frac{d}{dt} (12 \cos(40\pi t))\)

\(v(t) = -12 \times (40\pi) \sin(40\pi t)\)

\(v(t) = -480\pi \sin(40\pi t)\) (cm/s).

Tốc độ cực đại, kí hiệu là \(v_{max}\), xảy ra khi giá trị của \(\sin(40\pi t)\) bằng 1 hoặc -1.

\(v_{max} = |-\omega A| = \omega A\)

Thay giá trị \(\omega = 40\pi\) rad/s và \(A = 12\) cm vào:

\(v_{max} = 40\pi \times 12 = 480\pi\) cm/s.

Vậy, tốc độ cực đại của pit-tông là \(480\pi\) cm/s.

c) Tính gia tốc của pit-tông tại thời điểm t = 1/120 s.

Gia tốc của pit-tông được tính bằng đạo hàm của vận tốc theo thời gian, hoặc đạo hàm cấp hai của li độ theo thời gian: \(a = v'(t) = x”(t)\).

\(a(t) = \frac{d}{dt} (-480\pi \sin(40\pi t))\)

\(a(t) = -480\pi \times (40\pi) \cos(40\pi t)\)

\(a(t) = -19200\pi^2 \cos(40\pi t)\) (cm/s²).

Bây giờ, chúng ta cần tính gia tốc tại thời điểm \(t = \frac{1}{120}\) s.

Thay \(t = \frac{1}{120}\) vào biểu thức gia tốc:

\(a\left(\frac{1}{120}\right) = -19200\pi^2 \cos\left(40\pi \times \frac{1}{120}\right)\)

\(a\left(\frac{1}{120}\right) = -19200\pi^2 \cos\left(\frac{40\pi}{120}\right)\)

\(a\left(\frac{1}{120}\right) = -19200\pi^2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

Ta biết rằng \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).

\(a\left(\frac{1}{120}\right) = -19200\pi^2 \times \frac{1}{2}\)

\(a\left(\frac{1}{120}\right) = -9600\pi^2\) cm/s².

Vậy, gia tốc của pit-tông tại thời điểm \(t = \frac{1}{120}\) s là \(-9600\pi^2\) cm/s².

Các em thấy đấy, với những kiến thức cơ bản về dao động điều hòa, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán ứng dụng thực tế như thế này. Hãy ôn tập kỹ các công thức và luyện tập thêm nhiều bài tập nữa nhé!