Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 10cos(5πt + π/4) (cm). Thời điểm thứ 2025 vật qua vị trí x=5 cm là bao nhiêu giây?

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích phương trình dao động điều hòa

Phương trình dao động của vật cho bởi: \( x = 10\cos(5\pi t + \frac{\pi}{4}) \) (cm)

Từ phương trình này, chúng ta xác định được:
* Biên độ dao động: \( A = 10 \) cm
* Tần số góc: \( \omega = 5\pi \) rad/s
* Pha ban đầu: \( \phi = \frac{\pi}{4} \) rad

Bước 2: Tìm các thời điểm vật đi qua vị trí x = 5 cm

Chúng ta cần tìm các giá trị thời gian \( t \) sao cho \( x = 5 \) cm. Thay vào phương trình dao động, ta có:

\( 5 = 10\cos(5\pi t + \frac{\pi}{4}) \)

Chia cả hai vế cho 10, ta được:

\( \frac{5}{10} = \cos(5\pi t + \frac{\pi}{4}) \)
\( 0.5 = \cos(5\pi t + \frac{\pi}{4}) \)

Bây giờ, chúng ta cần tìm góc mà cosin của nó bằng 0.5. Chúng ta biết rằng \( \cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5 \).
Do tính chất tuần hoàn của hàm cosin, nếu \( \cos(\alpha) = \cos(\beta) \) thì \( \alpha = \pm \beta + 2k\pi \), với \( k \) là một số nguyên.

Vậy, ta có:

\( 5\pi t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) (Trường hợp 1)
hoặc
\( 5\pi t + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi \) (Trường hợp 2)

với \( k \) và \( n \) là các số nguyên.

Bước 3: Giải phương trình để tìm \( t \) cho từng trường hợp

* Trường hợp 1: \( 5\pi t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)

Chuyển \( \frac{\pi}{4} \) sang vế phải:
\( 5\pi t = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)
\( 5\pi t = \frac{4\pi – 3\pi}{12} + 2k\pi \)
\( 5\pi t = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \)

Chia cả hai vế cho \( 5\pi \):
\( t = \frac{\frac{\pi}{12}}{5\pi} + \frac{2k\pi}{5\pi} \)
\( t_1 = \frac{1}{60} + \frac{2k}{5} \) (với \( k = 0, 1, 2, … \) để \( t \geq 0 \))

* Trường hợp 2: \( 5\pi t + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi \)

Chuyển \( \frac{\pi}{4} \) sang vế phải:
\( 5\pi t = -\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4} + 2n\pi \)
\( 5\pi t = \frac{-4\pi – 3\pi}{12} + 2n\pi \)
\( 5\pi t = -\frac{7\pi}{12} + 2n\pi \)

Chia cả hai vế cho \( 5\pi \):
\( t = \frac{-\frac{7\pi}{12}}{5\pi} + \frac{2n\pi}{5\pi} \)
\( t_2 = -\frac{7}{60} + \frac{2n}{5} \) (với \( n = 1, 2, 3, … \) để \( t \geq 0 \), vì nếu \( n=0 \) thì \( t \) âm)

Bước 4: Xác định thứ tự các lần vật đi qua vị trí x = 5 cm

Chúng ta cần xem xét các giá trị \( t \) thu được từ cả hai trường hợp và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần.
Nhận xét:
* Trong trường hợp 1, các giá trị \( t_1 \) luôn dương và tăng dần khi \( k \) tăng.
* Trong trường hợp 2, chúng ta cần \( n \geq 1 \) để \( t_2 \geq 0 \).

Để dễ hình dung, chúng ta có thể xét một vài giá trị đầu của \( k \) và \( n \):

Với \( k = 0 \): \( t_1 = \frac{1}{60} \) s
Với \( k = 1 \): \( t_1 = \frac{1}{60} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 24}{60} = \frac{25}{60} \) s
Với \( k = 2 \): \( t_1 = \frac{1}{60} + \frac{4}{5} = \frac{1 + 48}{60} = \frac{49}{60} \) s

Với \( n = 1 \): \( t_2 = -\frac{7}{60} + \frac{2}{5} = \frac{-7 + 24}{60} = \frac{17}{60} \) s
Với \( n = 2 \): \( t_2 = -\frac{7}{60} + \frac{4}{5} = \frac{-7 + 48}{60} = \frac{41}{60} \) s
Với \( n = 3 \): \( t_2 = -\frac{7}{60} + \frac{6}{5} = \frac{-7 + 72}{60} = \frac{65}{60} \) s

Sắp xếp các giá trị thời gian theo thứ tự tăng dần:
\( \frac{1}{60}, \frac{17}{60}, \frac{25}{60}, \frac{41}{60}, \frac{49}{60}, \frac{65}{60}, … \)

Chúng ta thấy rằng trong mỗi chu kỳ dao động (mỗi khoảng \( \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5} \) s), vật đi qua vị trí \( x=5 \) cm hai lần.

Bước 5: Tìm thời điểm thứ 2025

Để tìm thời điểm thứ 2025, chúng ta cần xác định xem lần đi qua thứ 2025 này thuộc trường hợp 1 hay trường hợp 2.
Chúng ta có thể biểu diễn tập hợp các thời điểm này như sau:
Các thời điểm có dạng \( t_1 = \frac{1}{60} + \frac{2k}{5} \)
Các thời điểm có dạng \( t_2 = -\frac{7}{60} + \frac{2n}{5} \)

Quan sát các giá trị \( t_1 \) và \( t_2 \), chúng ta thấy rằng:
Với cùng một “chu kỳ” \( \frac{2}{5} \), thời điểm \( t_1 = \frac{1}{60} + \frac{2k}{5} \) luôn nhỏ hơn thời điểm \( t_2 = -\frac{7}{60} + \frac{2(k+1)}{5} \) (tức là khi \( n = k+1 \)).
\( \frac{1}{60} < -\frac{7}{60} + \frac{2}{5} = \frac{17}{60} \) Do đó, các lần đi qua vị trí \( x=5 \) cm sẽ xen kẽ giữa hai công thức, bắt đầu từ trường hợp 1: Lần 1: \( t_1 \) với \( k=0 \) (\( \frac{1}{60} \)) Lần 2: \( t_2 \) với \( n=1 \) (\( \frac{17}{60} \)) Lần 3: \( t_1 \) với \( k=1 \) (\( \frac{25}{60} \)) Lần 4: \( t_2 \) với \( n=2 \) (\( \frac{41}{60} \)) ... Chúng ta thấy rằng: Các lần đi qua thứ lẻ (1, 3, 5, ...) ứng với công thức \( t_1 = \frac{1}{60} + \frac{2k}{5} \). Các lần đi qua thứ chẵn (2, 4, 6, ...) ứng với công thức \( t_2 = -\frac{7}{60} + \frac{2n}{5} \). Chúng ta cần tìm thời điểm thứ 2025. Vì 2025 là số lẻ, nên lần thứ 2025 này sẽ ứng với công thức \( t_1 \). Ta cần tìm \( t_1 \) tương ứng với lần thứ 2025. Nếu lần thứ 1 ứng với \( k=0 \), lần thứ 3 ứng với \( k=1 \), lần thứ 5 ứng với \( k=2 \), thì lần thứ \( m \) (với \( m \) là số lẻ) sẽ ứng với \( k = \frac{m-1}{2} \). Vậy, với lần thứ 2025, ta có: \( k = \frac{2025 - 1}{2} = \frac{2024}{2} = 1012 \) Thay giá trị \( k = 1012 \) vào công thức \( t_1 \): \( t = \frac{1}{60} + \frac{2 \times 1012}{5} \) \( t = \frac{1}{60} + \frac{2024}{5} \) \( t = \frac{1}{60} + \frac{2024 \times 12}{60} \) \( t = \frac{1}{60} + \frac{24288}{60} \) \( t = \frac{1 + 24288}{60} \) \( t = \frac{24289}{60} \) giây. Vậy, thời điểm thứ 2025 vật qua vị trí \( x=5 \) cm là \( \frac{24289}{60} \) giây.
Các em có câu hỏi nào không? Nếu có thì cứ mạnh dạn hỏi nhé!