Đề bài: Một lò xo có độ cứng k = 1 N/m treo thẳng đứng, đầu dưới lò xo mang vật năng m = 4g.

a, Tính chu kì dao động của hệ.

b, Đưa vật đến vị trí lò xo không biến dạng rồi buông nhẹ. Chọn gốc thời gian lúc thả vật, gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, trục tọa độ thẳng đứng có chiều dương là chiều lúc vật bắt đầu chuyển động. Viết pt dao động của vật. (Cho g = 10m/s² ; π² = 10)

c, Xác định vận tốc của vật tại thời điểm động năng bằng hai lần thế năng của vật.

Lời giải chi tiết:

Tóm tắt đề bài:

• Độ cứng của lò xo: \(k = 1 \text{ N/m}\)
• Khối lượng vật nặng: \(m = 4 \text{ g} = 0.004 \text{ kg}\) (Lưu ý đổi đơn vị từ gram sang kilogram)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \text{ m/s}^2\)
• Giá trị của \(\pi^2 = 10\)

a, Tính chu kì dao động của hệ.

Đối với con lắc lò xo, chu kì dao động được xác định bằng công thức:

\(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)

Thay các giá trị đã cho vào công thức:

\(T = 2\pi\sqrt{\frac{0.004}{1}}\)

\(T = 2\pi\sqrt{0.004}\)

Để tính toán dễ dàng hơn với \(\pi^2 = 10\), ta có thể viết \(\pi = \sqrt{10}\). Do đó:

\(T = 2\sqrt{10}\sqrt{0.004}\)

\(T = 2\sqrt{10 \times 0.004}\)

\(T = 2\sqrt{0.04}\)

\(T = 2 \times 0.2\)

\(T = 0.4 \text{ s}\)

Vậy, chu kì dao động của hệ là \(0.4 \text{ s}\).

b, Đưa vật đến vị trí lò xo không biến dạng rồi buông nhẹ. Chọn gốc thời gian lúc thả vật, gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, trục tọa độ thẳng đứng có chiều dương là chiều lúc vật bắt đầu chuyển động. Viết pt dao động của vật.

Phương trình dao động điều hòa có dạng tổng quát là \(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\), trong đó \(A\) là biên độ, \(\omega\) là tần số góc, và \(\varphi\) là pha ban đầu.

Bước 1: Xác định tần số góc \(\omega\).

Tần số góc được tính bằng công thức:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

Hoặc từ công thức \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

Sử dụng \(T = 0.4 \text{ s}\) đã tính ở câu a:

\(\omega = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \text{ rad/s}\)

Kiểm tra lại bằng công thức kia: \(\omega = \sqrt{\frac{1}{0.004}} = \sqrt{250} = \sqrt{25 \times 10} = 5\sqrt{10} \text{ rad/s}\). Vì \(\pi = \sqrt{10}\), nên \(5\pi = 5\sqrt{10}\). Kết quả hoàn toàn phù hợp.

Bước 2: Xác định biên độ dao động \(A\).

Khi lò xo treo thẳng đứng, tại vị trí cân bằng (VTCB), lò xo giãn một đoạn \(\Delta l_0\) do trọng lực của vật. Ta có:

\(P = F_{dh}\)

\(mg = k\Delta l_0\)

\(\Delta l_0 = \frac{mg}{k} = \frac{0.004 \times 10}{1} = 0.04 \text{ m}\)

Đề bài cho biết: “Đưa vật đến vị trí lò xo không biến dạng rồi buông nhẹ.”

Vị trí lò xo không biến dạng chính là vị trí tự nhiên của lò xo, nằm phía trên VTCB một đoạn \(\Delta l_0\).

Vì vật được buông nhẹ (tức là vận tốc ban đầu bằng 0) từ vị trí này, nên vị trí này chính là vị trí biên của dao động. Do đó, biên độ dao động \(A\) chính bằng độ giãn của lò xo tại VTCB:

\(A = \Delta l_0 = 0.04 \text{ m}\)

Bước 3: Xác định pha ban đầu \(\varphi\).

Theo đề bài:

• Gốc thời gian \(t=0\) lúc thả vật.
• Gốc tọa độ \(x=0\) ở vị trí cân bằng.
• Trục tọa độ thẳng đứng có chiều dương là chiều lúc vật bắt đầu chuyển động.

Khi buông vật từ vị trí lò xo không biến dạng, vật sẽ bắt đầu chuyển động đi xuống (do tác dụng của trọng lực). Vậy, chiều dương của trục tọa độ hướng xuống.

Vị trí lò xo không biến dạng nằm phía trên VTCB một đoạn \(\Delta l_0\). Nếu chiều dương hướng xuống, thì tọa độ ban đầu của vật là \(x(0) = -\Delta l_0\).

Vậy, tại \(t=0\):

\(x(0) = -A = -0.04 \text{ m}\)

Vận tốc ban đầu: \(v(0) = 0\) (buông nhẹ).

Thay vào phương trình dao động \(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\):

\(x(0) = A\cos(\varphi)\)

\(-0.04 = 0.04\cos(\varphi)\)

\(\cos(\varphi) = -1\)

Và vận tốc \(v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)\):

\(v(0) = -A\omega\sin(\varphi)\)

\(0 = -A\omega\sin(\varphi)\) (vì \(A \neq 0, \omega \neq 0\))

\(\sin(\varphi) = 0\)

Từ \(\cos(\varphi) = -1\) và \(\sin(\varphi) = 0\), ta suy ra \(\varphi = \pi \text{ rad}\).

Bước 4: Viết phương trình dao động.

Thay các giá trị \(A = 0.04 \text{ m}\), \(\omega = 5\pi \text{ rad/s}\), \(\varphi = \pi \text{ rad}\) vào công thức tổng quát:

\(x(t) = 0.04\cos(5\pi t + \pi) \text{ (m)}\)

Hoặc có thể viết dưới dạng khác vì \(\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)\):

\(x(t) = -0.04\cos(5\pi t) \text{ (m)}\)

Vậy, phương trình dao động của vật là \(x(t) = 0.04\cos(5\pi t + \pi) \text{ (m)}\).

c, Xác định vận tốc của vật tại thời điểm động năng bằng hai lần thế năng của vật.

Ta có mối liên hệ giữa động năng \(W_đ\) và thế năng \(W_t\) với cơ năng toàn phần \(W\).

Cơ năng của vật trong dao động điều hòa là hằng số và bằng:

\(W = W_đ + W_t = \frac{1}{2}kA^2\)

Theo đề bài, tại thời điểm cần tìm, động năng bằng hai lần thế năng: \(W_đ = 2W_t\).

Thay vào công thức cơ năng:

\(W = 2W_t + W_t = 3W_t\)

Mặt khác, thế năng của con lắc lò xo là \(W_t = \frac{1}{2}kx^2\).
Suy ra \(W = 3 \times \frac{1}{2}kx^2\).
Do đó, \(\frac{1}{2}kA^2 = 3 \times \frac{1}{2}kx^2\).
Từ đó, \(A^2 = 3x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{A^2}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{A}{\sqrt{3}}\).

Bây giờ, ta tìm vận tốc \(v\). Từ \(W_đ = 2W_t\) và \(W = W_đ + W_t\), ta cũng có:

\(W_đ = \frac{2}{3}W\)

Mà \(W_đ = \frac{1}{2}mv^2\) và \(W = \frac{1}{2}kA^2\).

Vậy, \(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2}kA^2 \right)\)

\(mv^2 = \frac{2}{3}kA^2\)

\(v^2 = \frac{2}{3} \frac{k}{m} A^2\)

Ta biết rằng \(\frac{k}{m} = \omega^2\). Vậy:

\(v^2 = \frac{2}{3} \omega^2 A^2\)

\(v = \pm \omega A \sqrt{\frac{2}{3}}\)

Thay các giá trị \(A = 0.04 \text{ m}\) và \(\omega = 5\pi \text{ rad/s}\):

\(v = \pm (5\pi)(0.04)\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(v = \pm 0.2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Sử dụng \(\pi^2 = 10\) (tức \(\pi = \sqrt{10}\)):

\(v = \pm 0.2\sqrt{10}\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(v = \pm 0.2\sqrt{\frac{10 \times 2}{3}}\)

\(v = \pm 0.2\sqrt{\frac{20}{3}}\)

\(v = \pm 0.2 \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}} = \pm 0.2 \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \pm 0.4 \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\)

Để khử căn ở mẫu, nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3}\):

\(v = \pm 0.4 \frac{\sqrt{5}\sqrt{3}}{3} = \pm 0.4 \frac{\sqrt{15}}{3} \text{ (m/s)}\)

Hoặc, nếu muốn kết quả dưới dạng số thập phân, ta tính giá trị xấp xỉ:

\(v = \pm 0.2\pi\sqrt{\frac{2}{3}} \approx \pm 0.2 \times 3.14159 \times \sqrt{0.6667}\)

\(v \approx \pm 0.2 \times 3.14159 \times 0.8165 \approx \pm 0.516 \text{ m/s}\)

Vậy, vận tốc của vật tại thời điểm động năng bằng hai lần thế năng là \(\pm 0.4 \frac{\sqrt{15}}{3} \text{ m/s}\).

Chúc các em học tốt!