Chào các em học sinh lớp 12!

Đây là một bài toán rất thú vị và quen thuộc về ứng dụng của định luật Boyle-Mariotte và áp suất chất lỏng. Chúng ta cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

1. Tóm tắt đề bài và các đại lượng đã cho:

• Một ống nghiệm có chiều dài \(L\) được buộc vào chân chim bói cá, miệng ống hướng xuống.
• Khi chim lặn, nước dâng vào ống làm mất đi 60% chiều dài lớp bột đường, tức là nước chiếm 60% chiều dài ống nghiệm.
• Áp suất khí quyển: \(p_0 = 10^5 \text{ Pa}\).
• Khối lượng riêng của nước: \(D = 1000 \text{ kg/m}^3\).
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \text{ m/s}^2\).
• Nhiệt độ nước trong hồ là như nhau (quá trình đẳng nhiệt).
• Yêu cầu: Tìm độ sâu lớn nhất mà con chim có thể lặn.

2. Phân tích bài toán:

Chúng ta sẽ xét trạng thái của khối khí bên trong ống nghiệm ở hai thời điểm:

a. Trạng thái 1: Khi ống nghiệm ở trên mặt nước (ban đầu)

• Áp suất của khối khí trong ống: \(p_1 = p_0 = 10^5 \text{ Pa}\) (áp suất khí quyển).
• Gọi tiết diện của ống nghiệm là \(S\). Chiều dài cột không khí trong ống lúc này chính là chiều dài ống nghiệm, \(L_1 = L\).
• Thể tích khối khí: \(V_1 = S \cdot L_1 = S \cdot L\).

b. Trạng thái 2: Khi ống nghiệm ở độ sâu lớn nhất trong nước

• Nước đã dâng vào chiếm 60% chiều dài ống nghiệm. Điều này có nghĩa là cột không khí còn lại trong ống chỉ chiếm 40% chiều dài ban đầu của ống.
• Chiều dài cột không khí lúc này: \(L_2 = L – 0.6L = 0.4L\).
• Thể tích khối khí: \(V_2 = S \cdot L_2 = S \cdot (0.4L)\).
• Gọi áp suất của khối khí trong ống lúc này là \(p_2\).

3. Áp dụng định luật Boyle-Mariotte:

Vì nhiệt độ nước trong hồ là như nhau tại mọi điểm (quá trình đẳng nhiệt), ta có thể áp dụng định luật Boyle-Mariotte cho khối khí trong ống nghiệm:

\(p_1 V_1 = p_2 V_2\)

Thay các giá trị đã xác định vào:

\(p_0 \cdot (S \cdot L) = p_2 \cdot (S \cdot 0.4L)\)

Triệt tiêu \(S \cdot L\) ở cả hai vế (vì \(S \ne 0\) và \(L \ne 0\)):

\(p_0 = p_2 \cdot 0.4\)

Từ đó, ta tính được áp suất của khối khí khi bị nén:

\(p_2 = \frac{p_0}{0.4} = 2.5 p_0\)

Thay số vào: \(p_2 = 2.5 \cdot 10^5 \text{ Pa}\).

4. Xác định độ sâu lớn nhất:

Áp suất \(p_2\) của khối khí trong ống nghiệm chính là áp suất của nước tại mặt phân cách giữa không khí và nước bên trong ống. Gọi \(h\) là độ sâu của mặt phân cách này so với mặt nước hồ.

Áp suất tại độ sâu \(h\) trong chất lỏng được tính bằng công thức:

\(p_2 = p_0 + Dgh\)

Bây giờ, chúng ta thay \(p_2 = 2.5 p_0\) vào phương trình này:

\(2.5 p_0 = p_0 + Dgh\)

Chuyển vế để tìm \(h\):

\(2.5 p_0 – p_0 = Dgh\)

\(1.5 p_0 = Dgh\)

Vậy, độ sâu \(h\) là:

\(h = \frac{1.5 p_0}{Dg}\)

Thay các giá trị số vào:

\(h = \frac{1.5 \cdot 10^5 \text{ Pa}}{1000 \text{ kg/m}^3 \cdot 10 \text{ m/s}^2}\)

\(h = \frac{1.5 \cdot 10^5}{10^4}\)

\(h = 1.5 \cdot 10 = 15 \text{ m}\)

Lưu ý quan trọng: Độ sâu \(h\) chúng ta vừa tính được chính là độ sâu của mặt phân cách giữa không khí và nước bên trong ống nghiệm. Khi chim lặn xuống độ sâu lớn nhất, miệng ống sẽ ở độ sâu \(h_{max}\) và mặt phân cách không khí-nước sẽ ở độ sâu \(h = h_{max} – 0.6L\). Tuy nhiên, vì chiều dài \(L\) của ống nghiệm không được cho, và \(h=15\) m là một trong các đáp án, điều này ngụ ý rằng bài toán đang hỏi về độ sâu của mặt phân cách không khí-nước, hoặc \(0.6L\) là rất nhỏ so với \(h\), hoặc đây là giá trị “độ sâu” mà khối khí bị nén tới.

Trong các bài toán trắc nghiệm dạng này, nếu chiều dài \(L\) của ống không được cho và kết quả tính toán độc lập với \(L\) ra một trong các đáp án, thì đó chính là kết quả mong muốn.

5. Kết luận:

Độ sâu lớn nhất mà con chim bói cá có thể lặn vào trong nước (chính xác là độ sâu của mặt phân cách nước-không khí trong ống nghiệm) là 15 mét.

Vậy đáp án đúng là C. 15 m.

Chúc các em học tốt!