Đề bài:
Tại cùng lúc vật 1 được thả rơi tự do từ độ cao h, còn vật 2 được ném thẳng đứng xuống dưới từ đô cao H (H>h). Hỏi phải truyền cho vật 2 một vận tốc đầu \(v_0\) bằng bao nhiêu để 2 vật cùng chạm đất 1 lúc?

A. \(v_0 = [(H-h). sqrt{2g}]/(h)\)

B. \(v_0 = [(H-h). sqrt{2gh}]/(2h)\)

C. \(v_0 = [(H-h). sqrt{gh}]/(2h)\)

D. \(v_0 = [(H-h). sqrt{2gh}]/(h)\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích chuyển động của từng vật và áp dụng các công thức động học.

Phân tích và Giải chi tiết:

Chúng ta chọn hệ quy chiếu có gốc tại mặt đất, chiều dương hướng xuống dưới.

1. Đối với vật 1 (thả rơi tự do):

• Vật 1 được thả rơi tự do, nên vận tốc đầu của nó là \(v_{01} = 0\).
• Vật rơi từ độ cao h, nên quãng đường vật đi được khi chạm đất là \(s_1 = h\).
• Gia tốc của vật là gia tốc trọng trường \(g\).
• Thời gian rơi của vật 1 là \(t_1\).

Áp dụng công thức quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều:

\(s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)

Thay các giá trị vào cho vật 1:

\(h = 0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2\)

\(h = \frac{1}{2} g t_1^2 \quad (1)\)

Từ (1), ta có thể tìm thời gian rơi của vật 1:

\(t_1^2 = \frac{2h}{g}\)

\(t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} \quad (1′)\)

2. Đối với vật 2 (ném thẳng đứng xuống dưới):

• Vật 2 được ném thẳng đứng xuống dưới với vận tốc đầu là \(v_0\). (Chọn chiều dương hướng xuống nên \(v_0\) mang dấu dương).
• Vật ném từ độ cao H, nên quãng đường vật đi được khi chạm đất là \(s_2 = H\).
• Gia tốc của vật là gia tốc trọng trường \(g\).
• Thời gian rơi của vật 2 là \(t_2\).

Áp dụng công thức quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều:

\(s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)

Thay các giá trị vào cho vật 2:

\(H = v_0 t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2 \quad (2)\)

3. Điều kiện để hai vật chạm đất cùng lúc:

Để hai vật chạm đất cùng lúc, thời gian rơi của chúng phải bằng nhau:

\(t_1 = t_2 = t\)

4. Giải tìm \(v_0\):

Thay \(t_1 = t\) vào phương trình (1), ta có:

\(h = \frac{1}{2} g t^2\)

Thay \(t_2 = t\) vào phương trình (2), ta có:

\(H = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2\)

Từ phương trình trên, ta thấy \(\frac{1}{2} g t^2\) chính là h (theo phương trình (1)). Thay h vào phương trình của vật 2:

\(H = v_0 t + h\)

Giải tìm \(v_0 t\):

\(v_0 t = H – h \quad (3)\)

Tiếp theo, chúng ta thay \(t\) từ phương trình (1′) vào phương trình (3):

\(v_0 \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = H – h\)

Cuối cùng, giải tìm \(v_0\):

\(v_0 = \frac{H – h}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}\)

Để biểu thức trở nên gọn gàng và giống với các phương án đã cho, chúng ta nhân tử số và mẫu số với \(\sqrt{\frac{g}{2h}}\) hoặc đưa mẫu số lên:

\(v_0 = (H – h) \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}\)

\(v_0 = (H – h) \cdot \sqrt{\frac{g}{2h}}\)

Để có \(\sqrt{2gh}\) trong tử số, chúng ta nhân cả tử và mẫu trong căn với 2h:

\(v_0 = (H – h) \cdot \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{2h}} \cdot \frac{\sqrt{2h}}{\sqrt{2h}}\)

\(v_0 = (H – h) \cdot \frac{\sqrt{g \cdot 2h}}{2h}\)

\(v_0 = \frac{(H – h) \cdot \sqrt{2gh}}{2h}\)

So sánh kết quả này với các đáp án đã cho, chúng ta thấy nó khớp với đáp án B.

Kết luận:

Để hai vật cùng chạm đất một lúc, vận tốc đầu \(v_0\) cần truyền cho vật 2 là:

\(v_0 = \frac{(H – h) \cdot \sqrt{2gh}}{2h}\)

Vậy đáp án đúng là B.