Xin chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa khá thú vị. Bài toán này đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về quãng đường lớn nhất trong dao động điều hòa.

Đề bài: Một vật dao động điều hòa có biên độ A=10cm. Trong khoảng thời gian t=13/6s vật đi được quãng đường lớn nhất s=90cm. Tốc độ của vật ở cuối quãng đường là bao nhiêu?

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Bước 1: Phân tích quãng đường lớn nhất (S_max)

Khi vật dao động điều hòa, quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong một khoảng thời gian \( \Delta t \) nhất định xảy ra khi vật đi qua vị trí cân bằng nhiều nhất. Hay nói cách khác, vật sẽ xuất phát từ vị trí cân bằng (x=0) và di chuyển sao cho phần lớn thời gian nó ở gần vị trí cân bằng.

Chúng ta có biên độ \( A = 10 \text{ cm} \).

Quãng đường đi được trong một chu kì (T) là \( 4A \).
Quãng đường đi được trong nửa chu kì (T/2) là \( 2A \).
Quãng đường đi được trong một phần tư chu kì (T/4) là \( A \) (khi đi từ VTCB ra biên hoặc từ biên về VTCB).

Trong bài, quãng đường lớn nhất \( S_{max} = 90 \text{ cm} \).
Ta thấy \( S_{max} = 90 \text{ cm} = 2 \times (4 \times 10 \text{ cm}) + 10 \text{ cm} \).
Hay \( S_{max} = 2 \times 4A + A \).

Điều này có nghĩa là vật đã thực hiện được 2 chu kì dao động hoàn chỉnh, sau đó đi thêm một quãng đường \( A \).

Để quãng đường \( A \) này là phần bổ sung cho quãng đường lớn nhất, vật phải di chuyển từ vị trí cân bằng ra đến biên (ví dụ, từ \( x=0 \) đến \( x=A \) hoặc từ \( x=0 \) đến \( x=-A \)). Thời gian để vật đi quãng đường \( A \) này là \( T/4 \).

Vậy, tổng thời gian \( t \) tương ứng với quãng đường \( S_{max} \) sẽ là:
\( t = 2T + \frac{T}{4} \)
\( t = \frac{8T + T}{4} \)
\( t = \frac{9T}{4} \)

Bước 2: Tính chu kì (T) của dao động

Chúng ta đã có \( t = \frac{9T}{4} \) và \( t = \frac{13}{6} \text{ s} \).

Suy ra:
\( \frac{13}{6} = \frac{9T}{4} \)
Để tìm T, ta nhân chéo:
\( T = \frac{13}{6} \times \frac{4}{9} \)
\( T = \frac{13 \times 4}{6 \times 9} \)
\( T = \frac{52}{54} \)
\( T = \frac{26}{27} \text{ s} \)

Bước 3: Xác định vị trí của vật ở cuối quãng đường

Như chúng ta đã phân tích ở Bước 1, quãng đường lớn nhất \( S_{max} = 2 \times 4A + A \).
Khi vật đi được \( 2 \times 4A \) (tức là 2 chu kì), vật sẽ trở về vị trí ban đầu (ví dụ, nếu bắt đầu từ \( x=0 \) và đi theo chiều dương, sau 2T vật lại ở \( x=0 \) và đi theo chiều dương).
Để đi thêm quãng đường \( A \) và đảm bảo đó là quãng đường lớn nhất trong khoảng thời gian \( T/4 \), vật phải đi từ vị trí cân bằng (x=0) ra đến vị trí biên (x=A hoặc x=-A).

Do đó, ở cuối quãng đường \( S_{max} \), vật sẽ đang ở vị trí biên (ví dụ: \( x = +A \) hoặc \( x = -A \)).

Bước 4: Tính tốc độ của vật ở cuối quãng đường

Khi vật dao động điều hòa ở vị trí biên (tức là \( x = \pm A \)), vật sẽ đổi chiều chuyển động. Tại thời điểm này, vận tốc của vật bằng 0.

Công thức tính tốc độ của vật trong dao động điều hòa là \( |v| = \omega \sqrt{A^2 – x^2} \).
Tại vị trí biên, \( x = \pm A \). Thay vào công thức:
\( |v| = \omega \sqrt{A^2 – (\pm A)^2} \)
\( |v| = \omega \sqrt{A^2 – A^2} \)
\( |v| = \omega \sqrt{0} \)
\( |v| = 0 \text{ cm/s} \)

Vậy, tốc độ của vật ở cuối quãng đường là 0 cm/s.

Kết luận:

Tốc độ của vật ở cuối quãng đường là 0 cm/s.