Đề bài: Một vật có khối lượng 2kg dao động điều hoà với tần số góc \( \pi \)(rad/s) khi pha dao động là \( \pi/2 \) thì vận tốc của vật là \( -20\sqrt{3} \)cm/s lấy \( \pi^2 \) bằng 10. Khi vật qua vị trí có li độ \( 3\pi \) cm thì động năng của con lắc bằng bao nhiêu (làm tròn số tới hàng phần trăm).

Chúng ta hãy cùng phân tích đề bài và trình bày lời giải chi tiết nhé!

Tóm tắt các đại lượng đã cho:

• Khối lượng của vật: \( m = 2 \) kg
• Tần số góc: \( \omega = \pi \) rad/s
• Tại thời điểm pha dao động \( \varphi = \pi/2 \), vận tốc \( v = -20\sqrt{3} \) cm/s
• Cho \( \pi^2 = 10 \)
• Tìm động năng \( W_đ \) khi li độ \( x = 3\pi \) cm

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm biên độ A của dao động.

Phương trình vận tốc của vật dao động điều hoà có dạng:

\( v = -\omega A \sin(\omega t + \varphi_0) \)

Theo đề bài, tại thời điểm pha dao động là \( \pi/2 \), tức là \( (\omega t + \varphi_0) = \pi/2 \), vận tốc của vật là \( v = -20\sqrt{3} \) cm/s.

Thay các giá trị đã biết vào phương trình vận tốc:

\( -20\sqrt{3} \text{ (cm/s)} = -\pi \cdot A \cdot \sin(\pi/2) \)

Vì \( \sin(\pi/2) = 1 \), ta có:

\( -20\sqrt{3} = -\pi A \)

\( A = \frac{20\sqrt{3}}{\pi} \) cm

Để thuận tiện cho việc tính toán năng lượng, chúng ta sẽ đổi biên độ sang mét:

\( A = \frac{20\sqrt{3}}{100\pi} = \frac{\sqrt{3}}{5\pi} \) m

Bước 2: Tính tổng năng lượng (cơ năng) của con lắc.

Cơ năng của con lắc dao động điều hoà được xác định bởi công thức:

\( W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \)

Thay các giá trị \( m = 2 \) kg, \( \omega = \pi \) rad/s và \( A = \frac{\sqrt{3}}{5\pi} \) m vào công thức:

\( W = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\pi)^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{5\pi}\right)^2 \)

\( W = 1 \cdot \pi^2 \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{(5\pi)^2} \)

\( W = \pi^2 \cdot \frac{3}{25\pi^2} \)

Rút gọn \( \pi^2 \) ở tử số và mẫu số:

\( W = \frac{3}{25} \) J

Chuyển sang dạng số thập phân:

\( W = 0.12 \) J

Bước 3: Tính thế năng của con lắc tại li độ \( x = 3\pi \) cm.

Thế năng của con lắc tại một li độ \( x \) bất kỳ được tính bằng công thức:

\( W_t = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \)

Đổi li độ \( x = 3\pi \) cm sang mét:

\( x = \frac{3\pi}{100} \) m

Thay các giá trị \( m = 2 \) kg, \( \omega = \pi \) rad/s và \( x = \frac{3\pi}{100} \) m vào công thức:

\( W_t = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\pi)^2 \cdot \left(\frac{3\pi}{100}\right)^2 \)

\( W_t = 1 \cdot \pi^2 \cdot \frac{(3\pi)^2}{(100)^2} \)

\( W_t = \pi^2 \cdot \frac{9\pi^2}{10000} \)

Sử dụng giá trị \( \pi^2 = 10 \) theo đề bài:

\( W_t = 10 \cdot \frac{9 \cdot 10}{10000} \)

\( W_t = \frac{900}{10000} \)

\( W_t = \frac{9}{100} \) J

Chuyển sang dạng số thập phân:

\( W_t = 0.09 \) J

Bước 4: Tính động năng của con lắc tại li độ \( x = 3\pi \) cm.

Theo định luật bảo toàn cơ năng, tổng cơ năng \( W \) của con lắc luôn không đổi và bằng tổng động năng \( W_đ \) và thế năng \( W_t \) tại mọi thời điểm:

\( W = W_đ + W_t \)

Từ đó, động năng \( W_đ \) có thể được tính bằng:

\( W_đ = W – W_t \)

Thay các giá trị cơ năng \( W = 0.12 \) J và thế năng \( W_t = 0.09 \) J vào công thức:

\( W_đ = 0.12 \text{ J} – 0.09 \text{ J} \)

\( W_đ = 0.03 \text{ J} \)

Kết luận:

Động năng của con lắc khi vật qua vị trí có li độ \( 3\pi \) cm là \( 0.03 \) J.

Thầy hi vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách làm. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé! Chúc các em học tốt môn Vật lý.