Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa, một trong những phần kiến thức rất quan trọng của chương trình Vật lý 11. Bài tập này sẽ giúp chúng ta củng cố các khái niệm về cơ năng, động năng, thế năng và tần số góc trong dao động điều hòa.

Các em hãy cùng theo dõi bài giải chi tiết dưới đây nhé!

Bài toán:

Một vật có khối lượng 200 g đang dao động điều hòa với tần số góc 20 rad/s với biên độ 10 cm. Lấy \( \pi^2 = 10 \)

Xác định:

a) Cơ năng của của con lắc.

b) Động năng của con lắc tại li độ 8 cm.

c) Li độ của vật tại thời điểm động năng của vật bằng thế năng của vật.

d) Tần số góc của động năng và thế năng.

Tóm tắt các đại lượng đã cho:

– Khối lượng của vật: \( m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg} \)

– Tần số góc: \( \omega = 20 \text{ rad/s} \)

– Biên độ: \( A = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \)

– Giá trị xấp xỉ: \( \pi^2 = 10 \) (Chúng ta sẽ xem xét xem có cần dùng đến không)

Giải chi tiết:

a) Cơ năng của con lắc:

Cơ năng của con lắc trong dao động điều hòa được xác định bằng công thức:

\( W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \)

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

\( W = \frac{1}{2} \times 0.2 \text{ kg} \times (20 \text{ rad/s})^2 \times (0.1 \text{ m})^2 \)

\( W = 0.1 \times 400 \times 0.01 \)

\( W = 0.4 \text{ J} \)

Vậy, cơ năng của con lắc là \( 0.4 \text{ J} \).

b) Động năng của con lắc tại li độ 8 cm:

Trước hết, chúng ta cần xác định thế năng của con lắc tại li độ \( x = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m} \).

Thế năng của con lắc tại li độ \( x \) được xác định bằng công thức:

\( W_t = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \)

Thay các giá trị vào công thức:

\( W_t = \frac{1}{2} \times 0.2 \text{ kg} \times (20 \text{ rad/s})^2 \times (0.08 \text{ m})^2 \)

\( W_t = 0.1 \times 400 \times 0.0064 \)

\( W_t = 40 \times 0.0064 \)

\( W_t = 0.256 \text{ J} \)

Theo định luật bảo toàn cơ năng, động năng \( W_d \) và thế năng \( W_t \) luôn thỏa mãn \( W = W_d + W_t \). Từ đó, động năng được tính bằng:

\( W_d = W – W_t \)

\( W_d = 0.4 \text{ J} – 0.256 \text{ J} \)

\( W_d = 0.144 \text{ J} \)

Vậy, động năng của con lắc tại li độ 8 cm là \( 0.144 \text{ J} \).

c) Li độ của vật tại thời điểm động năng của vật bằng thế năng của vật:

Khi động năng của vật bằng thế năng của vật, tức là \( W_d = W_t \).

Ta có công thức cơ năng: \( W = W_d + W_t \).

Thay \( W_d = W_t \) vào, ta được:

\( W = W_t + W_t = 2W_t \)

Thay công thức của cơ năng và thế năng vào phương trình này:

\( \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right) \)

\( \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = m \omega^2 x^2 \)

Ta có thể giản ước \( m \omega^2 \) ở cả hai vế:

\( \frac{1}{2} A^2 = x^2 \)

Suy ra li độ \( x \):

\( x = \pm \sqrt{\frac{A^2}{2}} \)

\( x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} \)

Thay giá trị biên độ \( A = 0.1 \text{ m} \) vào:

\( x = \pm \frac{0.1}{\sqrt{2}} \text{ m} \)

\( x = \pm \frac{0.1 \times \sqrt{2}}{2} \text{ m} \approx \pm 0.0707 \text{ m} \)

Đổi ra centimet:

\( x \approx \pm 7.07 \text{ cm} \)

Vậy, li độ của vật tại thời điểm động năng bằng thế năng là \( \pm 7.07 \text{ cm} \).

d) Tần số góc của động năng và thế năng:

Chúng ta biết rằng li độ của vật trong dao động điều hòa có dạng:

\( x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \)

Thế năng của vật được tính bằng công thức:

\( W_t(t) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2(t) = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \phi) \)

Sử dụng công thức lượng giác \( \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} \), ta có:

\( W_t(t) = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \left( \frac{1 + \cos(2(\omega t + \phi))}{2} \right) \)

\( W_t(t) = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 + \cos(2\omega t + 2\phi)) \)

Tương tự, vận tốc của vật là:

\( v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \)

Động năng của vật được tính bằng công thức:

\( W_d(t) = \frac{1}{2} m v^2(t) = \frac{1}{2} m (-A \omega \sin(\omega t + \phi))^2 \)

\( W_d(t) = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi) \)

Sử dụng công thức lượng giác \( \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos(2\alpha)}{2} \), ta có:

\( W_d(t) = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \left( \frac{1 – \cos(2(\omega t + \phi))}{2} \right) \)

\( W_d(t) = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 – \cos(2\omega t + 2\phi)) \)

Từ các biểu thức trên, ta thấy cả thế năng \( W_t(t) \) và động năng \( W_d(t) \) đều dao động điều hòa với tần số góc là \( 2\omega \).

Vậy, tần số góc của động năng và thế năng là \( \omega’ = 2\omega \).

Thay giá trị \( \omega = 20 \text{ rad/s} \):

\( \omega’ = 2 \times 20 \text{ rad/s} = 40 \text{ rad/s} \)

Vậy, tần số góc của động năng và thế năng là \( 40 \text{ rad/s} \).

Hy vọng bài giải này giúp các em hiểu rõ hơn về các khái niệm trong dao động điều hòa. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Chúc các em học tốt!