Câu 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình vận tốc v = 20p cos (5p t) (cm / s)

a) Xác định chu kì và tần số.

Chúng ta có phương trình vận tốc của vật có dạng: \(v = v_{max} \cos(\omega t + \phi_v)\).

So sánh với phương trình đề bài cho là \(v = 20\pi \cos (5\pi t)\) (cm/s), ta thấy:

– Vận tốc cực đại \(v_{max} = 20\pi\) cm/s.

– Tần số góc \(\omega = 5\pi\) rad/s.

Từ tần số góc \(\omega\), ta có thể dễ dàng tìm được chu kì \(T\) và tần số \(f\):

Chu kì \(T\) được tính bằng công thức: \(T = \frac{2\pi}{\omega}\)

Thay \(\omega = 5\pi\) vào, ta có: \(T = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5} = 0.4\) s.

Tần số \(f\) được tính bằng công thức: \(f = \frac{1}{T}\) hoặc \(f = \frac{\omega}{2\pi}\).

Sử dụng \(f = \frac{1}{T}\), ta có: \(f = \frac{1}{0.4} = \frac{10}{4} = 2.5\) Hz.

Hoặc sử dụng \(f = \frac{\omega}{2\pi}\), ta có: \(f = \frac{5\pi}{2\pi} = \frac{5}{2} = 2.5\) Hz.

Kết luận:

– Chu kì dao động của vật là \(T = 0.4\) s.

– Tần số dao động của vật là \(f = 2.5\) Hz.

b) Tính biên độ dao động của vật.

Biên độ dao động \(A\) chính là giá trị cực đại của vận tốc chia cho tần số góc:

\(A = \frac{v_{max}}{\omega}\)

Thay \(v_{max} = 20\pi\) cm/s và \(\omega = 5\pi\) rad/s vào, ta có:

\(A = \frac{20\pi}{5\pi} = 4\) cm.

Kết luận: Biên độ dao động của vật là \(A = 4\) cm.

c) Viết phương trình dao động và phương trình gia tốc.

Phương trình dao động có dạng tổng quát: \(x = A \cos(\omega t + \phi)\).

Chúng ta đã biết \(A = 4\) cm và \(\omega = 5\pi\) rad/s.

Để tìm pha ban đầu \(\phi\), ta cần sử dụng phương trình vận tốc.

Phương trình vận tốc \(v\) là đạo hàm của phương trình li độ \(x\) theo thời gian \(t\): \(v = x’ = -A\omega \sin(\omega t + \phi)\).

Để hai phương trình vận tốc có cùng dạng cosin, ta có thể sử dụng công thức lượng giác: \(-\sin(\theta) = \cos(\theta + \frac{\pi}{2})\).

Vậy, \(v = A\omega \cos(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})\).

So sánh với phương trình vận tốc đề bài cho \(v = 20\pi \cos (5\pi t)\), ta có:

\(A\omega = 20\pi \Rightarrow 4 \times 5\pi = 20\pi\) (khớp với biên độ và tần số góc ta đã tìm được).

Và pha của hàm cos trong phương trình vận tốc là: \(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2} = 5\pi t\).

Suy ra: \(5\pi t + \phi + \frac{\pi}{2} = 5\pi t\).

Điều này có nghĩa là: \(\phi + \frac{\pi}{2} = 0\), hay \(\phi = -\frac{\pi}{2}\) rad.

Vậy, phương trình dao động của vật là: \(x = 4 \cos(5\pi t – \frac{\pi}{2})\) (cm).

Chúng ta có thể sử dụng công thức lượng giác \(\cos(\theta – \frac{\pi}{2}) = \sin(\theta)\) để viết lại phương trình này nếu muốn, nhưng dạng trên là hoàn toàn chính xác.

Bây giờ, ta viết phương trình gia tốc \(a\).

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: \(a = v’ = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})\).

Hoặc, gia tốc \(a = x” = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)\).

Thay \(A = 4\) cm và \(\omega = 5\pi\) rad/s, \(\phi = -\frac{\pi}{2}\) rad vào:

\(a = -4 \times (5\pi)^2 \cos(5\pi t – \frac{\pi}{2})\)

\(a = -4 \times 25\pi^2 \cos(5\pi t – \frac{\pi}{2})\)

\(a = -100\pi^2 \cos(5\pi t – \frac{\pi}{2})\) (cm/s²).

Sử dụng công thức lượng giác \(\cos(\theta – \frac{\pi}{2}) = \sin(\theta)\), ta có thể viết lại phương trình gia tốc là:

\(a = -100\pi^2 \sin(5\pi t)\) (cm/s²).

Kết luận:

– Phương trình dao động: \(x = 4 \cos(5\pi t – \frac{\pi}{