Câu 7. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí…
Câu 7. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 40 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40️3 cm/s2.
a. Xác định tần số góc
Chào các em học sinh,
Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa, một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình Vật lý lớp 11 của chúng ta.
Các em hãy đọc kỹ đề bài và cùng thầy/cô phân tích nhé!
Đề bài:
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 40 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là \(40\sqrt{3}\) cm/s2.
a. Xác định tần số góc
—
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tóm tắt các đại lượng đã biết và cần tìm.
Chúng ta có các thông tin sau từ đề bài:
- Tốc độ của chất điểm khi đi qua vị trí cân bằng (VTCB) chính là tốc độ cực đại \(v_{max}\). Vậy, \(v_{max} = 40\) cm/s.
- Khi chất điểm có tốc độ \(v = 10\) cm/s, thì độ lớn gia tốc của nó là \(|a| = 40\sqrt{3}\) cm/s2.
- Chúng ta cần xác định tần số góc \(\omega\).
Bước 2: Áp dụng các công thức liên quan đến dao động điều hòa.
Trong dao động điều hòa, chúng ta có một số công thức cơ bản và quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ và vận dụng linh hoạt.
1. Công thức tốc độ cực đại:
Tốc độ cực đại của chất điểm trong dao động điều hòa được xác định bởi công thức:
\(v_{max} = A\omega\)
Trong đó:
\(A\) là biên độ dao động.
\(\omega\) là tần số góc.
Theo đề bài, \(v_{max} = 40\) cm/s. Do đó, chúng ta có phương trình (1):
\(A\omega = 40\) \((1)\)
2. Công thức liên hệ giữa li độ, tốc độ và gia tốc:
Chúng ta biết rằng gia tốc \(a\) của một chất điểm dao động điều hòa liên hệ với li độ \(x\) bởi công thức:
\(a = -\omega^2 x\)
Từ đó, chúng ta có thể biểu diễn li độ \(x\) theo gia tốc \(a\) và tần số góc \(\omega\):
\(x = -\frac{a}{\omega^2}\)
Độ lớn của li độ là \(|x| = \frac{|a|}{\omega^2}\).
Mặt khác, công thức độc lập với thời gian liên hệ giữa biên độ \(A\), li độ \(x\), tốc độ \(v\) và tần số góc \(\omega\) là:
\(A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\)
Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(x\) vào công thức độc lập thời gian:
\(A^2 = \left(-\frac{a}{\omega^2}\right)^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\)
\(A^2 = \frac{a^2}{\omega^4} + \frac{v^2}{\omega^2}\)
Để đơn giản hóa và liên hệ với tốc độ cực đại \(v_{max}\), chúng ta nhân cả hai vế của phương trình trên với \(\omega^2\):
\(A^2\omega^2 = \frac{a^2}{\omega^2} + v^2\)
Chúng ta nhận thấy rằng \(A^2\omega^2 = (A\omega)^2 = v_{max}^2\). Vậy, chúng ta có một công thức rất hữu ích liên hệ trực tiếp giữa tốc độ cực đại, tốc độ tại một thời điểm, độ lớn gia tốc tại thời điểm đó và tần số góc:
\(v_{max}^2 = v^2 + \frac{a^2}{\omega^2}\)
Đây chính là phương trình (2) mà chúng ta sẽ sử dụng để giải bài toán:
\(v_{max}^2 = v^2 + \frac{|a|^2}{\omega^2}\) \((2)\)
(Lưu ý rằng \(a^2 = |a|^2\), nên ta có thể dùng độ lớn gia tốc trực tiếp).
Bước 3: Giải phương trình để tìm tần số góc \(\omega\).
Chúng ta sẽ thay các giá trị đã biết từ đề bài vào phương trình (2):
- \(v_{max} = 40\) cm/s
- \(v = 10\) cm/s
- \(|a| = 40\sqrt{3}\) cm/s2
Thay vào phương trình (2):
\(40^2 = 10^2 + \frac{(40\sqrt{3})^2}{\omega^2}\)
Tính toán các giá trị bình phương:
\(1600 = 100 + \frac{1600 \times 3}{\omega^2}\)
\(1600 = 100 + \frac{4800}{\omega^2}\)
Chuyển \(100\) sang vế trái:
\(1600 – 100 = \frac{4800}{\omega^2}\)
\(1500 = \frac{4800}{\omega^2}\)
Bây giờ, chúng ta giải phương trình để tìm \(\omega^2\):
\(\omega^2 = \frac{4800}{1500}\)
\(\omega^2 = \frac{48}{15}\)
Rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3:
\(\omega^2 = \frac{16}{5}\)
Lấy căn bậc hai để tìm \(\omega\):
\(\omega = \sqrt{\frac{16}{5}}\)
\(\omega = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5}}\)
\(\omega = \frac{4}{\sqrt{5}}\)
Để kết quả đẹp hơn, chúng ta có thể trục căn thức ở mẫu:
\(\omega = \frac{4\sqrt{5}}{5}\) rad/s
Kết luận:
Vậy, tần số góc của chất điểm là \( \frac{4\sqrt{5}}{5} \) rad/s.
(Giá trị xấp xỉ là \(\omega \approx 1.79\) rad/s)
Các em nhớ ôn lại các công thức cơ bản và cách biến đổi chúng nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô!
TT
\(\displaystyle v_{max} = 40 \text{ cm/s}\)
Khi \(\displaystyle v = 10 \text{ cm/s}\) thì \(\displaystyle |a| = 40\sqrt{3} \text{ cm/s}^2\)
BG
Áp dụng các công thức độc lập với thời gian trong dao động điều hòa:
1. \(\displaystyle a = -\omega^2 x \implies x^2 = \frac{a^2}{\omega^4}\)
2. \(\displaystyle A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\)
3. \(\displaystyle v_{max} = \omega A \implies A^2 = \frac{v_{max}^2}{\omega^2}\)
Từ (2) và (3), ta có:
\[ \displaystyle \frac{v_{max}^2}{\omega^2} = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2} \]
\[ \displaystyle \frac{v_{max}^2}{\omega^2} = \frac{a^2}{\omega^4} + \frac{v^2}{\omega^2} \]
\[ \displaystyle v_{max}^2 = \frac{a^2}{\omega^2} + v^2 \]
\[ \displaystyle \omega^2 = \frac{a^2}{v_{max}^2 – v^2} \]
\[ \displaystyle \omega^2 = \frac{(40\sqrt{3})^2}{40^2 – 10^2} = \frac{1600 \cdot 3}{1600 – 100} = \frac{4800}{1500} = 3.2 \]
Vậy, tần số góc của dao động là:
\[ \displaystyle \omega = \sqrt{3.2} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \approx 1.79 \text{ (rad/s)} \]
Đáp án:
\(\dfrac{4}{{\sqrt 5 }}\left( {rad/s} \right)\)
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\dfrac{v}{{{v_{\max }}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{a}{{{a_{\max }}}}} \right)^2} = 1\\
\Rightarrow {\left( {\dfrac{{10}}{{40}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{40\sqrt 3 }}{{{a_{\max }}}}} \right)^2} = 1\\
\Rightarrow {a_{\max }} = 32\sqrt 5 \left( {cm/{s^2}} \right)\\
\omega = \dfrac{{{a_{\max }}}}{{{v_{\max }}}} = \dfrac{{32\sqrt 5 }}{{40}} = \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}\left( {rad/s} \right)
\end{array}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment