Đề bài:

Một con lắc lò xo treo thẳng đứng vào một điểm cố định gồm lò xo lý tưởng có \( K = 62,5N/m \), hòn bi nhỏ có \( m = 250g = 0,25kg \). Từ VTCB ta nâng vật lên để lò xo có chiều dài tự nhiên rồi buông nhẹ, hòn bi dao động điều hòa. Lấy \( g = 10m/s^2 \). Chọn trục tọa độ có phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc hòn bi bắt đầu dao động.

Các lựa chọn cần xét:

a) Độ biến dạng của lò xo là 4 cm.

b) Biên độ dao động của vật là 4 cm.

c) Phương trình dao động của quả cầu là: \( x = 4\cos(5\pi t) \text{ cm} \).

d) Động năng của hòn bi tại vị trí có li độ 2 cm là 5 J.

—

Phân tích và Giải chi tiết:

1. Xác định vị trí cân bằng và độ biến dạng ban đầu:

Khi vật ở vị trí cân bằng (VTCB), lực đàn hồi của lò xo cân bằng với trọng lực tác dụng lên vật.

Gọi \( \Delta l_0 \) là độ biến dạng của lò xo tại VTCB.

Ta có: \( F_{đh} = P \)

\( k\Delta l_0 = mg \)

Thay số vào, ta có:

\( 62,5 \cdot \Delta l_0 = 0,25 \cdot 10 \)

\( \Delta l_0 = \frac{0,25 \cdot 10}{62,5} = \frac{2,5}{62,5} = 0,04 \text{ m} = 4 \text{ cm} \).

Vậy, độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng là 4 cm.

2. Xác định biên độ dao động (A):

Theo đề bài, từ VTCB ta nâng vật lên để lò xo có chiều dài tự nhiên rồi buông nhẹ.

Chiều dài tự nhiên của lò xo là vị trí mà tại đó lò xo không bị biến dạng (độ biến dạng bằng 0).

VTCB có độ biến dạng là \( \Delta l_0 = 4 \text{ cm} \). Điều này có nghĩa là VTCB cách vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên một đoạn bằng 4 cm.

Khi ta nâng vật từ VTCB lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên và buông nhẹ, thì vị trí đó chính là vị trí biên âm (vì chiều dương hướng xuống).

Khoảng cách từ vị trí biên đến VTCB chính là biên độ dao động.

Vậy, biên độ dao động \( A = \Delta l_0 = 4 \text{ cm} \).

Do đó, biên độ dao động của vật là 4 cm.

3. Xác định phương trình dao động:

Ta đã biết biên độ dao động \( A = 4 \text{ cm} \).

Tần số góc \( \omega \) được tính bằng công thức:

\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)

\( \omega = \sqrt{\frac{62,5}{0,25}} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \text{ rad/s} \).

Lưu ý quan trọng: có vẻ đề bài hoặc các lựa chọn có sự nhầm lẫn về giá trị \( \omega \). Nếu ta lấy \( \omega = \sqrt{250} \approx 15,8 \text{ rad/s} \), thì \( 5\pi \approx 15,7 \). Rất có thể đề bài muốn \( \omega = 5\pi \text{ rad/s} \) để các lựa chọn dễ tính toán hoặc sử dụng một giá trị \( K \) hoặc \( m \) khác. Tuy nhiên, với các giá trị đã cho, ta tính được \( \omega = 5\sqrt{10} \).

Nếu ta buộc phải chọn giữa các phương án và thấy \( 5\pi \) xuất hiện, ta hãy kiểm tra xem có sai sót trong đề bài hay không.

Tuy nhiên, dựa vào các lựa chọn có sẵn, chúng ta sẽ tạm giả sử rằng \( \omega = 5\pi \text{ rad/s} \) để kiểm tra phương án c).

Gốc thời gian là lúc hòn bi bắt đầu dao động.

Tại \( t=0 \), vật được nâng lên đến vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên (biên âm) rồi buông nhẹ.

Vì chiều dương hướng xuống, vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên tương ứng với li độ \( x = -A \).

Phương trình dao động có dạng \( x = A\cos(\omega t + \phi) \).

Tại \( t=0 \), \( x = -A \).

\( -A = A\cos(\phi) \)

\( \cos(\phi) = -1 \).

Suy ra \( \phi = \pi \).

Vậy, với \( A = 4 \text{ cm} \) và giả sử \( \omega = 5\pi \text{ rad/s} \), phương trình dao động là:

\( x = 4\cos(5\pi t + \pi) \text{ cm} \).

Hoặc có thể viết lại là \( x = -4\cos(5\pi t) \text{ cm} \).

So sánh với lựa chọn c): \( x = 4\cos(5\pi t) \text{ cm} \). Lựa chọn này sai.

Nếu ta tính toán nghiêm ngặt với \( \omega = 5\sqrt{10} \), thì phương trình là \( x = 4\cos(5\sqrt{10} t + \pi) \text{ cm} \).

4. Kiểm tra Động năng tại vị trí có li độ 2 cm:

Ta sử dụng công thức liên hệ giữa năng lượng dao động:

\( E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 \)

Trong đó \( E \) là cơ năng, \( K \) là thế năng, \( \frac{1}{2}mv^2 \) là động năng.

Ta có \( A = 4 \text{ cm} = 0,04 \text{ m} \).

Cơ năng \( E = \frac{1}{2} k A^2 \)

\( E = \frac{1}{2} \cdot 62,5 \cdot (0,04)^2 = \frac{1}{2} \cdot 62,5 \cdot 0,0016 = 0,05 \text{ J} \).

Tại vị trí có li độ \( x = 2 \text{ cm} = 0,02 \text{ m} \).

Thế năng tại vị trí này là:

\( W_t = \frac{1}{2}kx^2 \)

\( W_t = \frac{1}{2} \cdot 62,5 \cdot (0,02)^2 = \frac{1}{2} \cdot 62,5 \cdot 0,0004 = 0,0125 \text{ J} \).

Động năng tại vị trí này là:

\( W_đ = E – W_t \)

\( W_đ = 0,05 – 0,0125 = 0,0375 \text{ J} \).

So sánh với lựa chọn d): Động năng của hòn bi tại vị trí có li độ 2 cm là 5 J. Lựa chọn này sai hoàn toàn, giá trị 5 J là quá lớn so với cơ năng của hệ.

Kết luận về các lựa chọn:

a) Độ biến dạng của lò xo là 4 cm. Đúng (độ biến dạng tại VTCB).

b) Biên độ dao động của vật là 4 cm. Đúng.

c) Phương trình dao động của quả cầu là: \( x = 4\cos(5\pi t) \text{ cm} \). Sai (dựa trên tính toán với \( \omega = 5\sqrt{10} \) và điều kiện ban đầu).

d) Động năng của hòn bi tại vị trí có li độ 2 cm là 5 J. Sai.

Nhận xét thêm:

Trong các lựa chọn này, có khả năng câu hỏi muốn hỏi về độ biến dạng tại VTCB hoặc biên độ dao động, và hai lựa chọn a) và b) đều đúng.

Nếu chỉ được chọn một đáp án đúng nhất, ta cần xem xét kỹ đề bài hỏi “giải thích vì sao nó đúng hoặc sai”.

Với đề bài như trên, cả a) và b) đều đúng.

Thường trong các bài thi trắc nghiệm, sẽ chỉ có một đáp án đúng duy nhất. Có thể có sự nhầm lẫn trong việc đặt câu hỏi hoặc các phương án.

Tuy nhiên, nếu xét kỹ cách diễn đạt:

• “Độ biến dạng của lò xo là 4 cm” – có thể hiểu là tại một thời điểm nào đó, hoặc là độ biến dạng tại VTCB. Nếu hiểu là tại VTCB thì đúng.
• “Biên độ dao động của vật là 4 cm” – đây là một đại lượng đặc trưng của dao động, và chúng ta đã chứng minh là đúng.

Trong trường hợp này, nếu đây là một câu hỏi trắc nghiệm có nhiều lựa chọn đúng, thì cả a) và b) đều là đáp án đúng.

Nếu chỉ được chọn một đáp án, và đề bài yêu cầu xác định “đáp án đúng”, thì có thể có sự ưu tiên nào đó. Tuy nhiên, với các chứng minh rõ ràng, chúng ta có thể khẳng định cả hai đều đúng.

Chốt lại:

Các phát biểu a) và b) là đúng.

Các phát biểu c) và d) là sai.

Hy vọng phần giải thích chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về bài toán con lắc lò xo. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!