Bài toán: Cho 3 lực đồng quy tại điểm O, đồng phẳng F1, F2, F3 lần lượt hợp với trục Ox những góc 0°; 60°;120° và có độ lớn tương ứng là F1 = F3 = 2F2 = 10N. Tìm hợp lực của 3 lực trên.

Đầu tiên, chúng ta cần xác định rõ các yếu tố đã cho:

• Ba lực \( \vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3} \) đồng quy tại điểm O.
• Ba lực này đồng phẳng.
• Góc hợp bởi \( \vec{F_1} \) với trục Ox là \( \alpha_1 = 0^\circ \).
• Góc hợp bởi \( \vec{F_2} \) với trục Ox là \( \alpha_2 = 60^\circ \).
• Góc hợp bởi \( \vec{F_3} \) với trục Ox là \( \alpha_3 = 120^\circ \).
• Độ lớn các lực: \( F_1 = 10N \), \( F_3 = 10N \).
• Mối quan hệ giữa các lực: \( F_1 = F_3 = 2F_2 \). Từ đây, ta suy ra \( 10N = 2F_2 \), vậy \( F_2 = \frac{10}{2} = 5N \).

Mục tiêu của chúng ta là tìm hợp lực \( \vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} \).

Để tìm hợp lực, chúng ta có hai phương pháp chính:

1. Phân tích từng lực thành các thành phần trên hai trục tọa độ (Ox và Oy), sau đó cộng các thành phần tương ứng rồi tìm độ lớn và phương của hợp lực.
2. Sử dụng quy tắc cộng vectơ, ví dụ như cộng từng cặp lực một.

Chúng ta sẽ đi theo phương pháp thứ nhất để đảm bảo tính chính xác và hệ thống.

Bước 1: Phân tích các lực thành các thành phần trên trục Ox và Oy.

Đối với lực \( \vec{F_1} \):

• Độ lớn: \( F_1 = 10N \)
• Góc hợp với trục Ox: \( \alpha_1 = 0^\circ \)
• Thành phần trên trục Ox: \( F_{1x} = F_1 \cos(\alpha_1) = 10 \cos(0^\circ) = 10 \times 1 = 10N \)
• Thành phần trên trục Oy: \( F_{1y} = F_1 \sin(\alpha_1) = 10 \sin(0^\circ) = 10 \times 0 = 0N \)

Đối với lực \( \vec{F_2} \):

• Độ lớn: \( F_2 = 5N \)
• Góc hợp với trục Ox: \( \alpha_2 = 60^\circ \)
• Thành phần trên trục Ox: \( F_{2x} = F_2 \cos(\alpha_2) = 5 \cos(60^\circ) = 5 \times \frac{1}{2} = 2.5N \)
• Thành phần trên trục Oy: \( F_{2y} = F_2 \sin(\alpha_2) = 5 \sin(60^\circ) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}N \)

Đối với lực \( \vec{F_3} \):

• Độ lớn: \( F_3 = 10N \)
• Góc hợp với trục Ox: \( \alpha_3 = 120^\circ \)
• Thành phần trên trục Ox: \( F_{3x} = F_3 \cos(\alpha_3) = 10 \cos(120^\circ) = 10 \times (-\frac{1}{2}) = -5N \)
• Thành phần trên trục Oy: \( F_{3y} = F_3 \sin(\alpha_3) = 10 \sin(120^\circ) = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}N \)

Bước 2: Cộng các thành phần trên từng trục để tìm thành phần của hợp lực.

Thành phần của hợp lực trên trục Ox:

\( F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} \)
\( F_x = 10N + 2.5N + (-5N) \)
\( F_x = 7.5N \)

Thành phần của hợp lực trên trục Oy:

\( F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} \)
\( F_y = 0N + \frac{5\sqrt{3}}{2}N + 5\sqrt{3}N \)
\( F_y = \frac{5\sqrt{3}}{2}N + \frac{10\sqrt{3}}{2}N \)
\( F_y = \frac{15\sqrt{3}}{2}N \)

Bước 3: Tìm độ lớn của hợp lực.

Độ lớn của hợp lực \( \vec{F} \) được tính bằng công thức:

\( F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \)
\( F = \sqrt{(7.5)^2 + (\frac{15\sqrt{3}}{2})^2} \)
\( F = \sqrt{(\frac{15}{2})^2 + (\frac{15\sqrt{3}}{2})^2} \)
\( F = \sqrt{\frac{225}{4} + \frac{225 \times 3}{4}} \)
\( F = \sqrt{\frac{225}{4} + \frac{675}{4}} \)
\( F = \sqrt{\frac{900}{4}} \)
\( F = \sqrt{225} \)
\( F = 15N \)

Bước 4: Tìm phương của hợp lực.

Phương của hợp lực được xác định bởi góc \( \alpha \) mà nó hợp với trục Ox:

\( \tan(\alpha) = \frac{F_y}{F_x} \)
\( \tan(\alpha) = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{7.5} \)
\( \tan(\alpha) = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{\frac{15}{2}} \)
\( \tan(\alpha) = \sqrt{3} \)

Suy ra, \( \alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ \).

Vậy, hợp lực của 3 lực trên có độ lớn là 15N và hợp với trục Ox một góc 60°.

Trả lời câu hỏi của em về việc tính \( \vec{F_{23}} \) rồi cộng \( \vec{F_1} \):

Hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp này, và nó cũng là một cách tiếp cận hợp lệ để giải bài toán.

Chúng ta sẽ tính tổng hợp lực của \( \vec{F_2} \) và \( \vec{F_3} \) trước, gọi là \( \vec{F_{23}} \).

1. Phân tích \( \vec{F_2} \) và \( \vec{F_3} \) thành các thành phần:

(Chúng ta đã làm ở Bước 1 của phương pháp trên)

• \( \vec{F_2} \): \( F_{2x} = 2.5N \), \( F_{2y} = \frac{5\sqrt{3}}{2}N \)
• \( \vec{F_3} \): \( F_{3x} = -5N \), \( F_{3y} = 5\sqrt{3}N \)

2. Tìm thành phần của \( \vec{F_{23}} \):

Thành phần trên trục Ox:

\( F_{23x} = F_{2x} + F_{3x} = 2.5N + (-5N) = -2.5N \)

Thành phần trên trục Oy:

\( F_{23y} = F_{2y} + F_{3y} = \frac{5\sqrt{3}}{2}N + 5\sqrt{3}N = \frac{15\sqrt{3}}{2}N \)

3. Tìm độ lớn và phương của \( \vec{F_{23}} \):

Độ lớn:

\( F_{23} = \sqrt{F_{23x}^2 + F_{23y}^2} = \sqrt{(-2.5)^2 + (\frac{15\sqrt{3}}{2})^2} \)
\( F_{23} = \sqrt{(\frac{-5}{2})^2 + (\frac{15\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{675}{4}} = \sqrt{\frac{700}{4}} = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}N \)

Góc \( \beta \) mà \( \vec{F_{23}} \) hợp với trục Ox:

\( \tan(\beta) = \frac{F_{23y}}{F_{23x}} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{-2.5} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{-\frac{5}{2}} = -3\sqrt{3} \)

Do \( F_{23x} < 0 \) và \( F_{23y} > 0 \), góc \( \beta \) nằm trong góc phần tư thứ II.

\( \beta = \arctan(-3\sqrt{3}) + 180^\circ \approx -71.56^\circ + 180^\circ \approx 108.44^\circ \)

4. Tìm hợp lực \( \vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_{23}} \):

Chúng ta có \( \vec{F_1} \) có độ lớn \( F_1 = 10N \) và hợp với trục Ox góc \( 0^\circ \). Vậy \( F_{1x} = 10N \) và \( F_{1y} = 0N \).

Thành phần của hợp lực \( \vec{F} \) trên trục Ox:

\( F_x = F_{1x} + F_{23x} = 10N + (-2.5N) = 7.5N \)

Thành phần của hợp lực \( \vec{F} \) trên trục Oy:

\( F_y = F_{1y} + F_{23y} = 0N + \frac{15\sqrt{3}}{2}N = \frac{15\sqrt{3}}{2}N \)

5. Tìm độ lớn và phương của hợp lực \( \vec{F} \):

Độ lớn:

\( F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(7.5)^2 + (\frac{15\sqrt{3}}{2})^2} \)

Đây là phép tính giống hệt như ở Bước 3 của phương pháp trước.

\( F = 15N \)

Góc \( \alpha \) mà \( \vec{F} \) hợp với trục Ox:

\( \tan(\alpha) = \frac{F_y}{F_x} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{7.5} = \sqrt{3} \)
\( \alpha = 60^\circ \)

Kết luận: Như các em thấy, cả hai phương pháp đều cho ra cùng một kết quả. Phương pháp phân tích thành phần trên hai trục tọa độ là cách tổng quát và ít khả năng sai sót nhất, đặc biệt khi có nhiều hơn hai lực hoặc các góc phức tạp.

Chúc các em học tốt!