Bài toán của chúng ta như sau:

Một con lắc lò xo có độ cứng k = 20 N/m và vật nặng có khối lượng m = 200 gam. Tại thời điểm ban đầu, li độ và tốc độ của vật nặng lần lượt là x = 5 cm và v = 40 cm/s. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Hãy tính cơ năng của dao động.

Trước hết, chúng ta cần phân tích đề bài và xác định các đại lượng đã cho.

Đã cho:

Độ cứng của lò xo: \(k = 20 \, \text{N/m}\)

Khối lượng vật nặng: \(m = 200 \, \text{g}\)

Li độ tại thời điểm ban đầu: \(x = 5 \, \text{cm}\)

Tốc độ tại thời điểm ban đầu: \(v = 40 \, \text{cm/s}\)

Yêu cầu:

Tính cơ năng của dao động.

Trước khi đi vào tính toán, chúng ta cần lưu ý đổi các đơn vị về đơn vị chuẩn trong hệ SI để đảm bảo kết quả chính xác.

Khối lượng \(m = 200 \, \text{g} = 0.2 \, \text{kg}\)

Li độ \(x = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)

Tốc độ \(v = 40 \, \text{cm/s} = 0.4 \, \text{m/s}\)

Phương pháp giải:

Cơ năng toàn phần của một vật dao động điều hòa được xác định bằng tổng động năng và thế năng của nó tại một thời điểm bất kỳ. Công thức tính cơ năng là:

\(E = W_đ + W_t\)

Trong đó:

Động năng: \(W_đ = \frac{1}{2}mv^2\)

Thế năng: \(W_t = \frac{1}{2}kx^2\)

Vậy, cơ năng có thể được tính bằng công thức:

\(E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị đã cho vào công thức để tính toán.

Bước 1: Tính động năng tại thời điểm ban đầu

\(W_đ = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \, \text{kg} \times (0.4 \, \text{m/s})^2\)

\(W_đ = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 0.16 = 0.1 \times 0.16 = 0.016 \, \text{J}\)

Bước 2: Tính thế năng tại thời điểm ban đầu

\(W_t = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 20 \, \text{N/m} \times (0.05 \, \text{m})^2\)

\(W_t = \frac{1}{2} \times 20 \times 0.0025 = 10 \times 0.0025 = 0.025 \, \text{J}\)

Bước 3: Tính cơ năng toàn phần

\(E = W_đ + W_t = 0.016 \, \text{J} + 0.025 \, \text{J}\)

\(E = 0.041 \, \text{J}\)

Vậy, cơ năng của dao động là 0.041 Jun.

Kiểm tra lại:

Chúng ta có thể sử dụng một công thức khác để tính cơ năng, đó là:

\(E = \frac{1}{2}kA^2\), trong đó A là biên độ dao động.

Mối liên hệ giữa li độ, tốc độ và biên độ là:

\(A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\), trong đó \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) là tần số góc.

Tính tần số góc:

\(\omega = \sqrt{\frac{20}{0.2}} = \sqrt{100} = 10 \, \text{rad/s}\)

Tính biên độ A:

\(A^2 = (0.05)^2 + \frac{(0.4)^2}{10^2} = 0.0025 + \frac{0.16}{100} = 0.0025 + 0.0016 = 0.0041 \, \text{m}^2\)

\(A = \sqrt{0.0041} \, \text{m}\)

Tính cơ năng bằng công thức thứ hai:

\(E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 20 \, \text{N/m} \times 0.0041 \, \text{m}^2\)

\(E = 10 \times 0.0041 = 0.041 \, \text{J}\)

Kết quả từ hai cách tính đều giống nhau, khẳng định bài toán đã được giải đúng.

Đáp số:

Cơ năng của dao động là \(0.041 \, \text{J}\).

Các em có câu hỏi nào về bài toán này không? Hãy mạnh dạn hỏi nhé! Việc hiểu rõ từng bước giải và các công thức liên quan là rất quan trọng để chúng ta có thể vận dụng vào các bài tập khác.