***

Câu 1. Đồ thị li độ – thời gian của một vật dao động điều hòa

Hình vẽ là đồ thị li độ – thời gian của một vật dao động điều hòa.

(Giả sử đồ thị hiển thị: x (cm) trên trục tung, t (s) trên trục hoành. Điểm cực đại đầu tiên là (1.0, 40), điểm qua vị trí cân bằng lần thứ hai là (2.0, 0), điểm cực tiểu là (3.0, -40), điểm qua vị trí cân bằng lần thứ ba là (4.0, 0)).

a. Xác định chu kỳ dao động điều hòa.
b. Viết phương trình dao động điều hòa.

Lời giải chi tiết:

a. Xác định chu kỳ dao động điều hòa.

Để xác định chu kỳ dao động \(T\), chúng ta cần tìm khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần (trở về trạng thái ban đầu về cả li độ và chiều chuyển động).

• Từ đồ thị, ta thấy:
• Tại \(t = 0\), vật đang ở vị trí cân bằng \(x = 0\) và đang chuyển động theo chiều dương.
• Tại \(t = 1.0\) s, vật đạt li độ cực đại \(x = 40\) cm.
• Tại \(t = 2.0\) s, vật trở về vị trí cân bằng \(x = 0\) và đang chuyển động theo chiều âm.
• Tại \(t = 3.0\) s, vật đạt li độ cực tiểu \(x = -40\) cm.
• Tại \(t = 4.0\) s, vật trở về vị trí cân bằng \(x = 0\) và đang chuyển động theo chiều dương.
• Vậy, sau thời gian \(t = 4.0\) s, vật đã trở lại trạng thái ban đầu (li độ \(x = 0\) và chuyển động theo chiều dương).

Do đó, chu kỳ dao động của vật là:

\( T = 4.0 \) s.

b. Viết phương trình dao động điều hòa.

Phương trình dao động điều hòa có dạng tổng quát là \( x = A \cos(\omega t + \phi) \) hoặc \( x = A \sin(\omega t + \phi) \).

• Xác định biên độ \(A\):
• Từ đồ thị, li độ cực đại của vật là \(40\) cm.
• Vậy, biên độ \( A = 40 \) cm.
• Xác định tần số góc \(\omega\):
• Chúng ta đã xác định được chu kỳ \( T = 4.0 \) s.
• Tần số góc được tính bằng công thức: \( \omega = \frac{2\pi}{T} \).
• \( \omega = \frac{2\pi}{4.0} = \frac{\pi}{2} \) rad/s.
• Xác định pha ban đầu \(\phi\):
• Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), từ đồ thị ta thấy \(x = 0\) và vật đang chuyển động theo chiều dương (li độ tăng từ \(0\) lên).
• Nếu ta dùng dạng \( x = A \cos(\omega t + \phi) \):
  
  Tại \(t = 0\), \( x = A \cos(\phi) \Rightarrow 0 = 40 \cos(\phi) \Rightarrow \cos(\phi) = 0 \).
  
  Suy ra \( \phi = \pm \frac{\pi}{2} \).
  
  Để xác định dấu của \(\phi\), ta xét chiều chuyển động. Vận tốc \( v = -\omega A \sin(\omega t + \phi) \).
  
  Tại \(t = 0\), \( v = -\omega A \sin(\phi) \).
  
  Vì vật chuyển động theo chiều dương (vận tốc dương), nên \( v > 0 \).
  
  \( -\omega A \sin(\phi) > 0 \Rightarrow \sin(\phi) < 0 \) (vì \( \omega > 0, A > 0 \)).
  
  Trong hai giá trị \( \pm \frac{\pi}{2} \), giá trị \( \phi = -\frac{\pi}{2} \) cho \( \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 < 0 \).
  Vậy, pha ban đầu là \( \phi = -\frac{\pi}{2} \) rad.
• Hoặc, đơn giản hơn, nếu vật bắt đầu từ vị trí cân bằng và đi theo chiều dương, ta có thể dùng dạng \( x = A \sin(\omega t + \phi_0) \). Khi đó, \(x(0) = A \sin(\phi_0) = 0 \Rightarrow \phi_0 = 0\) hoặc \( \pi \).
  
  Vận tốc \(v(t) = \omega A \cos(\omega t + \phi_0)\).
  
  Tại \(t=0\), \(v(0) = \omega A \cos(\phi_0)\). Vì \(v(0)>0\), nên \(\cos(\phi_0)>0\). Vậy \(\phi_0=0\).
  
  Trong trường hợp này, phương trình có dạng \( x = 40 \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right) \) cm.
  
  (Lưu ý: Hai dạng \( x = A \cos(\omega t – \frac{\pi}{2}) \) và \( x = A \sin(\omega t) \) là tương đương.)

Vậy, phương trình dao động điều hòa của vật là:

\( \mathbf{x = 40 \cos\left(\frac{\pi}{2}t – \frac{\pi}{2}\right)} \) cm

(Hoặc \( \mathbf{x = 40 \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)} \) cm).

***

Câu 2. Cơ năng của vật dao động điều hòa

Một vật có khối lượng \( 300 \)g dao động điều hòa với phương trình \( x = 10 \cos(4\pi t – \frac{\pi}{3}) \) (cm).

a. Tính cơ năng của vật.
b. Tính tỉ số giữa động năng và thế năng của vật tại thời điểm ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Trước hết, chúng ta cần xác định các đại lượng từ phương trình dao động và khối lượng đã cho:

• Khối lượng: \( m = 300 \text{ g} = 0.3 \text{ kg} \).
• Biên độ: \( A = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \).
• Tần số góc: \( \omega = 4\pi \text{ rad/s} \).
• Pha ban đầu: \( \phi = -\frac{\pi}{3} \) rad.

a. Tính cơ năng của vật.

Cơ năng của vật dao động điều hòa được bảo toàn và có thể tính bằng công thức:

\( W = \frac{1}{2} k A^2 \) hoặc \( W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \).

Sử dụng công thức \( W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \):

\( W = \frac{1}{2} \times (0.3 \text{ kg}) \times (4\pi \text{ rad/s})^2 \times (0.1 \text{ m})^2 \)

\( W = \frac{1}{2} \times 0.3 \times (16\pi^2) \times 0.01 \)

\( W = 0.5 \times 0.3 \times 16 \times \pi^2 \times 0.01 \)

Nếu lấy \( \pi^2 \approx 9.87 \):

\( W = 0.5 \times 0.3 \times 16 \times 9.87 \times 0.01 \)

\( W = 0.23688 \) J

Vậy, cơ năng của vật là \( \mathbf{W \approx 0.237} \) J.

b. Tính tỉ số giữa động năng và thế năng của vật tại thời điểm ban đầu.

Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), ta cần tìm li độ \(x_0\) và vận tốc \(v_0\) của vật.

• Tìm li độ \(x_0\) tại \(t = 0\):
• \( x_0 = 10 \cos(4\pi \times 0 – \frac{\pi}{3}) \)
• \( x_0 = 10 \cos(-\frac{\pi}{3}) \)
• \( x_0 = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \) cm \( = 0.05 \) m.
• Tính thế năng \(W_t\) tại \(t = 0\):
• Thế năng được tính bằng công thức: \( W_t = \frac{1}{2} k x_0^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x_0^2 \).
• \( W_t = \frac{1}{2} \times (0.3 \text{ kg}) \times (4\pi \text{ rad/s})^2 \times (0.05 \text{ m})^2 \)
• \( W_t = \frac{1}{2} \times 0.3 \times 16\pi^2 \times 0.0025 \)
• \( W_t = 0.05922 \) J.
• Tính động năng \(W_đ\) tại \(t = 0\):
• Ta có \( W = W_đ + W_t \). Vì cơ năng \(W\) được bảo toàn.
• \( W_đ = W – W_t \)
• \( W_đ = 0.23688 – 0.05922 = 0.17766 \) J.
• Tính tỉ số \(\frac{W_đ}{W_t}\):
• \( \frac{W_đ}{W_t} = \frac{0.17766}{0.05922} = 3 \).

Cách khác (nhanh hơn):

Ta có công thức tính tỉ số động năng và thế năng theo li độ:

\( \frac{W_đ}{W_t} = \frac{W – W_t}{W_t} = \frac{\frac{1}{2}m\omega^2 A^2 – \frac{1}{2}m\omega^2 x_0^2}{\frac{1}{2}m\omega^2 x_0^2} = \frac{A^2 – x_0^2}{x_0^2} = \left(\frac{A}{x_0}\right)^2 – 1 \)

Với \( A = 10 \) cm và \( x_0 = 5 \) cm:

\( \frac{W_đ}{W_t} = \left(\frac{10}{5}\right)^2 – 1 = (2)^2 – 1 = 4 – 1 = 3 \).

Vậy, tỉ số giữa động năng và thế năng của vật tại thời điểm ban đầu là \( \mathbf{3} \).

***

Câu 3. Sóng trên mặt hồ

Một người quan sát sóng trên mặt hồ thấy khoảng cách giữa hai ngọn sóng liên tiếp bằng \( 2 \) m và có \( 6 \) ngọn sóng qua trước mặt trong \( 8 \) s.

a. Tính chu kỳ sóng.
b. Tính tốc độ truyền sóng.

Lời giải chi tiết:

a. Tính chu kỳ sóng.

• Khoảng cách giữa hai ngọn sóng liên tiếp chính là bước sóng \(\lambda\).
  
  Vậy, \( \lambda = 2 \) m.
• Khi có \( 6 \) ngọn sóng qua trước mặt trong \( 8 \) s, điều này có nghĩa là có \( 5 \) khoảng thời gian giữa các ngọn sóng liên tiếp (tức là \( 5 \) chu kỳ sóng) đã trôi qua.
• Hãy tưởng tượng: Ngọn 1, Ngọn 2, Ngọn 3, Ngọn 4, Ngọn 5, Ngọn 6.
• Từ Ngọn 1 đến Ngọn 2 là 1 chu kỳ.
• Từ Ngọn 2 đến Ngọn 3 là 1 chu kỳ.
• …
• Từ Ngọn 5 đến Ngọn 6 là 1 chu kỳ.
• Tổng cộng có \( 6 – 1 = 5 \) chu kỳ.
• Thời gian để \( 5 \) chu kỳ sóng trôi qua là \( 8 \) s.
• Vậy, chu kỳ sóng \( T \) là:
  
  \( T = \frac{8 \text{ s}}{5} = 1.6 \) s.

Vậy, chu kỳ sóng là \( \mathbf{T = 1.6} \) s.

b. Tính tốc độ truyền sóng.

Tốc độ truyền sóng \(v\) được tính bằng công thức: \( v = \frac{\lambda}{T} \).

• Chúng ta đã có bước sóng \( \lambda = 2 \) m.
• Và chu kỳ sóng \( T = 1.6 \) s.
• Thay số vào công thức:
  
  \( v = \frac{2 \text{ m}}{1.6 \text{ s}} = 1.25 \) m/s.

Vậy, tốc độ truyền sóng là \( \mathbf{v = 1.25} \) m/s.

***

Các em đã hiểu rõ các bài giải chưa? Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé! Chúc các em học tốt!