Chào các em học sinh lớp 10 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay về chuyển động tương đối, đặc biệt là trong trường hợp ca nô di chuyển trên sông có dòng chảy. Đây là dạng bài thường gặp và đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về cộng véc-tơ vận tốc.

Chúng ta có bài toán sau:

Một ca nô chạy trên mặt nước để băng qua một con sông rộng 200 m, nước chảy với tốc độ 2 m/s. Khi nước hồ lặng thì ca nô có thể chạy với vận tốc không đổi là 5 m/s.

Tóm tắt các đại lượng đã cho:

• Chiều rộng sông (khoảng cách ngang sông): \(L = 200\) m
• Vận tốc của nước so với bờ (dòng chảy): \(v_n = 2\) m/s
• Vận tốc của ca nô so với nước (vận tốc riêng của ca nô): \(v_t = 5\) m/s

Yêu cầu của bài toán:
a) Để ca-nô cập bờ bên kia sông tại vị trí B đối xứng với điểm xuất phát A thì mũi ca-nô phải hướng lệch lên phía thượng nguồn một góc bằng bao nhiêu độ?
b) Tìm vận tốc thực tế của ca nô so với vị trí người quan sát trên bờ.
c) Tình thời gian băng qua sông.

Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta hãy cùng nhau phân tích một chút về các véc-tơ vận tốc trong chuyển động tương đối này.

Phân tích lý thuyết và Vẽ hình (mô tả):

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức cộng vận tốc:

\(\vec{v}_{ca\_no\_so\_voi\_bo} = \vec{v}_{ca\_no\_so\_voi\_nuoc} + \vec{v}_{nuoc\_so\_voi\_bo}\)

Hoặc viết gọn hơn:

\(\vec{v} = \vec{v}_t + \vec{v}_n\)

Trong đó:

• \(\vec{v}\) là vận tốc thực tế của ca nô so với bờ (người quan sát trên bờ).
• \(\vec{v}_t\) là vận tốc của ca nô so với nước (vận tốc riêng của ca nô), có độ lớn \(v_t = 5\) m/s. Đây là vận tốc mà mũi ca nô hướng tới.
• \(\vec{v}_n\) là vận tốc của dòng nước so với bờ, có độ lớn \(v_n = 2\) m/s. Véc-tơ này luôn hướng dọc theo dòng sông.

Mô tả hình vẽ (các em hãy tự vẽ vào vở nhé!):

Hãy tưởng tượng một hệ trục tọa độ Oxy:

• Trục Oy: Trùng với đường thẳng AB, hướng từ bờ xuất phát A sang bờ đối diện B (vuông góc với bờ sông).
• Trục Ox: Trùng với bờ sông, hướng theo chiều dòng chảy của nước.
• Gốc O: Đặt tại điểm xuất phát A.

Các véc-tơ vận tốc sẽ được biểu diễn như sau:

• Véc-tơ \(\vec{v}_n\): Nằm trên trục Ox, hướng theo chiều dương của trục Ox (dọc theo dòng chảy).
• Véc-tơ \(\vec{v}_t\): Đây là véc-tơ mà mũi ca nô hướng tới. Để ca nô có thể cập bờ tại B (tức là không bị trôi theo dòng nước), ca nô phải hướng mũi của nó chếch lên phía thượng nguồn (ngược chiều dòng nước). Véc-tơ này sẽ có phương tạo với trục Oy một góc \(\alpha\) (hướng lên trên và sang trái).
• Véc-tơ \(\vec{v}\): Đây là véc-tơ tổng. Để ca nô đến được B, véc-tơ \(\vec{v}\) phải có phương trùng với trục Oy (chỉ có thành phần theo phương Oy, không có thành phần theo phương Ox).

Trên hình vẽ, em sẽ thấy một tam giác vuông được tạo bởi ba véc-tơ \(\vec{v}\), \(\vec{v}_t\) và \(\vec{v}_n\) khi chúng ta đặt chúng nối đuôi nhau hoặc từ cùng một gốc. Cụ thể, nếu đặt \(\vec{v}_t\) là cạnh huyền, thì \(\vec{v}_n\) và \(\vec{v}\) sẽ là hai cạnh góc vuông.

—

Bây giờ chúng ta cùng giải chi tiết từng phần:

a) Để ca-nô cập bờ bên kia sông tại vị trí B đối xứng với điểm xuất phát A thì mũi ca-nô phải hướng lệch lên phía thượng nguồn một góc bằng bao nhiêu độ?

Để ca nô cập bờ tại B (nghĩa là đi thẳng sang ngang sông), vận tốc thực tế của ca nô so với bờ (\(\vec{v}\)) phải có phương vuông góc với bờ sông (tức là không có thành phần vận tốc theo phương dòng chảy).

Từ công thức cộng véc-tơ: \(\vec{v} = \vec{v}_t + \vec{v}_n\)

Chúng ta phân tích các véc-tơ này theo hai phương:

• Phương Oy (vuông góc với bờ, phương sang ngang): Thành phần này giúp ca nô vượt sông.
• Phương Ox (song song với bờ, phương dòng chảy): Thành phần này quyết định ca nô có bị trôi hay không.

Gọi \(\alpha\) là góc mà véc-tơ vận tốc riêng của ca nô (\(\vec{v}_t\)) hợp với phương vuông góc với bờ sông (trục Oy), hướng về phía thượng nguồn.

Khi đó, các thành phần vận tốc là:

• Thành phần của \(\vec{v}_t\) theo phương Ox (ngược chiều dòng chảy): \(v_{tx} = -v_t \sin \alpha\)
• Thành phần của \(\vec{v}_t\) theo phương Oy (vuông góc với bờ): \(v_{ty} = v_t \cos \alpha\)
• Thành phần của \(\vec{v}_n\) theo phương Ox (xuôi chiều dòng chảy): \(v_{nx} = v_n\)
• Thành phần của \(\vec{v}_n\) theo phương Oy: \(v_{ny} = 0\)

Để ca nô đi thẳng sang ngang (không bị trôi), thành phần vận tốc tổng hợp theo phương Ox phải bằng 0:

\(v_x = v_{tx} + v_{nx} = 0\)

\(-v_t \sin \alpha + v_n = 0\)

\(v_t \sin \alpha = v_n\)

Thay số vào:

\(5 \times \sin \alpha = 2\)

\(\sin \alpha = \frac{2}{5} = 0.4\)

Để tìm góc \(\alpha\), chúng ta lấy arcsin của 0.4:

\(\alpha = \arcsin(0.4) \approx 23.58^\circ\)

Vậy, mũi ca nô phải hướng lệch lên phía thượng nguồn một góc khoảng \(23.58^\circ\) so với phương vuông góc với bờ sông.

b) Tìm vận tốc thực tế của ca nô so với vị trí người quan sát trên bờ.

Vận tốc thực tế của ca nô so với bờ (\(\vec{v}\)) trong trường hợp này chỉ có thành phần theo phương vuông góc với bờ (phương Oy), vì thành phần theo phương Ox đã bị triệt tiêu.

Thành phần vận tốc theo phương Oy là:

\(v_y = v_{ty} + v_{ny} = v_t \cos \alpha + 0 = v_t \cos \alpha\)

Do \(v_x = 0\), độ lớn của vận tốc thực tế \(v\) chính là \(v_y\).

Chúng ta đã có \(\sin \alpha = 0.4\). Để tính \(\cos \alpha\), chúng ta dùng công thức \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\):

\(\cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – (0.4)^2 = 1 – 0.16 = 0.84\)

\(\cos \alpha = \sqrt{0.84}\)

Vậy, vận tốc thực tế của ca nô là:

\(v = v_t \cos \alpha = 5 \times \sqrt{0.84}\)

\(v \approx 5 \times 0.9165 \approx 4.5825\) m/s

Cách khác: Các em cũng có thể dùng định lý Pytago trực tiếp từ hình vẽ (tam giác vuông tạo bởi \(\vec{v}_t\), \(\vec{v}_n\) và \(\vec{v}\)):

\(v_t^2 = v^2 + v_n^2\)

\(v^2 = v_t^2 – v_n^2\)

\(v = \sqrt{v_t^2 – v_n^2}\)

\(v = \sqrt{5^2 – 2^2} = \sqrt{25 – 4} = \sqrt{21}\) m/s

\(v \approx 4.5825\) m/s

Vậy, vận tốc thực tế của ca nô so với người quan sát trên bờ là khoảng \(4.58\) m/s và hướng vuông góc với bờ sông.

c) Tính thời gian băng qua sông.

Thời gian để ca nô băng qua sông được tính bằng cách lấy chiều rộng của sông chia cho thành phần vận tốc của ca nô theo phương vuông góc với bờ.

Chúng ta đã có chiều rộng sông \(L = 200\) m và vận tốc thực tế của ca nô theo phương vuông góc với bờ là \(v = \sqrt{21}\) m/s.

\(t = \frac{L}{v}\)

\(t = \frac{200}{\sqrt{21}}\)

\(t \approx \frac{200}{4.5825}\)

\(t \approx 43.64\) s

Vậy, thời gian để ca nô băng qua sông là khoảng \(43.64\) giây.

—

Tóm tắt kết quả:

a) Mũi ca nô phải hướng lệch lên phía thượng nguồn một góc khoảng \(23.58^\circ\).

b) Vận tốc thực tế của ca nô so với người quan sát trên bờ là khoảng \(4.58\) m/s, hướng vuông góc với bờ sông.

c) Thời gian băng qua sông là khoảng \(43.64\) giây.

Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách phân tích và giải các bài toán chuyển động tương đối. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!