Xin chào các em học sinh lớp 11!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài tập điển hình về dao động điều hòa. Đây là một dạng bài cơ bản nhưng rất quan trọng để các em nắm vững cách xác định trạng thái của chất điểm tại một thời điểm bất kỳ.

Đề bài: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình \(x=5\cos(4\pi t + \frac{\pi}{2})\) cm. Li độ của chất điểm tại thời điểm \(t=2,5\)s là bao nhiêu cm?

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải bài tập này thật chi tiết nhé!

1. Phân tích đề bài và các thông số đã biết:

• Phương trình dao động điều hòa của chất điểm được cho là: \(x = 5\cos(4\pi t + \frac{\pi}{2})\) (cm).
• Trong đó:
  • \(A = 5\) cm là biên độ dao động (giá trị lớn nhất của li độ).
  • \(\omega = 4\pi\) rad/s là tần số góc của dao động.
  • \(\varphi = \frac{\pi}{2}\) rad là pha ban đầu của dao động.
• Thời điểm mà chúng ta cần tìm li độ là: \(t = 2,5\) s.

2. Phương pháp giải:

Để tìm li độ của chất điểm tại một thời điểm cụ thể, chúng ta chỉ cần thay giá trị của thời gian \(t\) vào phương trình li độ đã cho. Sau đó, thực hiện các phép tính toán để tìm ra giá trị của \(x\).

3. Các bước tính toán chi tiết:

Bước 1: Thay giá trị của \(t\) vào phương trình li độ.

Phương trình li độ là: \(x = 5\cos(4\pi t + \frac{\pi}{2})\)
Thay \(t = 2,5\) s vào, ta được:

\(x = 5\cos(4\pi \times 2,5 + \frac{\pi}{2})\)

Bước 2: Tính giá trị trong ngoặc (pha của dao động tại thời điểm \(t\)).

Thực hiện phép nhân \(4\pi \times 2,5\):
\(4\pi \times 2,5 = 10\pi\)

Vậy, biểu thức trong ngoặc trở thành:

\(10\pi + \frac{\pi}{2}\)

Bước 3: Thay giá trị vừa tính được vào phương trình li độ.

\(x = 5\cos(10\pi + \frac{\pi}{2})\)

Bước 4: Sử dụng kiến thức về hàm số lượng giác để tính giá trị của \(\cos(\alpha)\).

Chúng ta nhớ lại công thức lượng giác cơ bản về tính tuần hoàn của hàm cosin: \(\cos(\alpha + k2\pi) = \cos(\alpha)\), với \(k\) là một số nguyên.

Trong trường hợp của chúng ta, \(10\pi = 5 \times 2\pi\). Vậy, \(k=5\).

Áp dụng công thức này, ta có:

\(\cos(10\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2})\)

Bước 5: Tính giá trị của \(\cos(\frac{\pi}{2})\).

Chúng ta biết rằng giá trị của \(\cos(\frac{\pi}{2})\) (hoặc \(\cos(90^\circ)\)) là \(0\).

Bước 6: Thay giá trị này vào phương trình để tìm \(x\).

\(x = 5 \times 0\)

\(x = 0\)

4. Kết luận:

Vậy, li độ của chất điểm tại thời điểm \(t = 2,5\) s là \(0\) cm.

Điều này có nghĩa là tại thời điểm \(t=2,5\) s, chất điểm đang ở vị trí cân bằng.

Các em lưu ý rằng, khi làm bài tập dao động điều hòa, việc cẩn thận trong các phép tính và nắm vững các công thức lượng giác là rất quan trọng để tránh sai sót nhé!

Chúc các em học tốt!