Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Thầy rất vui được cùng các em ôn tập và vận dụng kiến thức về con lắc đơn và bảo toàn cơ năng trong bài toán này. Đây là một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Vật lý 11. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhé!

Đề bài:

Một con lắc đơn mà vật dao động có khối lượng 0,2 kg và độ dài dây treo là 0,5m dao động điều hoà tại nơi có gia tốc trọng trường g=10 m/s^2. Vật dao động vạch ra cung tròn có độ dài cung là 4 cm. Cơ năng của con lắc bằng bao nhiêu mJ?

Phân tích dữ liệu đề bài:

• Khối lượng vật dao động: \(m = 0,2\) kg
• Chiều dài dây treo: \(L = 0,5\) m
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10\) m/s\(^2\)
• Độ dài cung tròn mà vật vạch ra (chính là biên độ dài của dao động): \(S_0 = 4\) cm

Yêu cầu của bài toán:

Tính cơ năng của con lắc đơn và biểu diễn kết quả dưới đơn vị mJ.

Giải pháp chi tiết:

Để tìm cơ năng của con lắc đơn, chúng ta có thể sử dụng định luật bảo toàn cơ năng. Cơ năng của con lắc đơn được xác định bằng tổng động năng và thế năng của nó tại một thời điểm bất kỳ.

Trong dao động điều hòa, cơ năng của hệ được bảo toàn và có thể tính bằng công thức:

\(E = K + U\)

Trong đó:

• \(K\) là động năng của vật.
• \(U\) là thế năng trọng trường của vật.

Chúng ta có thể tính cơ năng bằng một trong hai cách sau (tại các vị trí đặc biệt):

1. Tại vị trí cân bằng (vị trí thấp nhất), thế năng trọng trường bằng 0 (nếu chọn gốc thế năng tại đây), khi đó cơ năng chính là động năng cực đại: \(E = K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2\).
2. Tại vị trí biên (vị trí cao nhất mà vật có thể đạt được), động năng của vật bằng 0, khi đó cơ năng chính là thế năng trọng trường cực đại: \(E = U_{max} = mgh_{max}\).

Trong bài toán này, việc tính \(h_{max}\) (độ cao cực đại mà vật đạt được so với vị trí cân bằng) sẽ thuận tiện hơn vì chúng ta đã biết biên độ dài \(S_0\).

Bước 1: Chuyển đổi đơn vị của biên độ dài (nếu cần).

Độ dài cung tròn \(S_0\) được cho là 4 cm. Chúng ta cần chuyển về đơn vị mét để đồng nhất với các đơn vị khác:

\(S_0 = 4\) cm \( = 0,04\) m

Bước 2: Tính biên độ góc \(\alpha_0\).

Mối quan hệ giữa biên độ dài \(S_0\), chiều dài dây treo \(L\) và biên độ góc \(\alpha_0\) (tính bằng radian) là:

\(S_0 = L \cdot \alpha_0\)

Từ đó, chúng ta có thể tìm biên độ góc \(\alpha_0\):

\(\alpha_0 = \frac{S_0}{L} = \frac{0,04 \, \text{m}}{0,5 \, \text{m}} = 0,08\) rad

Bước 3: Tính độ cao cực đại \(h_{max}\) mà vật đạt được.

Khi con lắc dao động với biên độ góc \(\alpha_0\), độ cao cực đại \(h_{max}\) mà vật đạt được so với vị trí cân bằng được tính theo công thức:

\(h_{max} = L (1 – \cos\alpha_0)\)

Thay các giá trị vào:

\(h_{max} = 0,5 \, \text{m} \cdot (1 – \cos(0,08))\)

Sử dụng máy tính để tính \(\cos(0,08)\):

\(\cos(0,08) \approx 0,9968\)

Vậy:

\(h_{max} = 0,5 \cdot (1 – 0,9968) = 0,5 \cdot 0,0032 = 0,0016\) m

Lưu ý: Vì góc \(\alpha_0 = 0,08\) rad là một góc nhỏ, chúng ta cũng có thể sử dụng công thức gần đúng cho \(h_{max}\) trong dao động điều hòa của con lắc đơn: \(h_{max} \approx \frac{1}{2} L \alpha_0^2\).

Kiểm tra lại bằng công thức gần đúng:

\(h_{max} \approx \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot (0,08)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 0,0064 = 0,25 \cdot 0,0064 = 0,0016\) m

Kết quả hoàn toàn trùng khớp, cho thấy tính toán của chúng ta chính xác.

Bước 4: Tính cơ năng của con lắc.

Cơ năng của con lắc tại vị trí biên (động năng bằng 0) chính là thế năng cực đại:

\(E = mgh_{max}\)

Thay các giá trị đã biết vào:

\(E = 0,2 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 \cdot 0,0016 \, \text{m}\)

\(E = 2 \cdot 0,0016 = 0,0032\) J

Bước 5: Chuyển đổi đơn vị của cơ năng sang mJ.

Để chuyển đổi từ Jun (J) sang miliJun (mJ), chúng ta nhân với 1000:

\(E = 0,0032 \, \text{J} \cdot 1000 = 3,2\) mJ

Kết luận:

Cơ năng của con lắc đơn là \(3,2\) mJ.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ hơn cách vận dụng các công thức và nguyên lý bảo toàn cơ năng cho con lắc đơn. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Chúc các em học tốt!