Bài toán: Một chất điểm giao động điều hòa với chu kì T = 2s. Trong 3s vật đi được quãng đường 60 cm, Khi t = 0 vật đi qua vị trí cân bằng và hướng về vị trí biên dương. Hãy viết phương trình dao động của vật.

Phân tích bài toán:

Chúng ta cần tìm phương trình dao động của vật, mà phương trình dao động điều hòa có dạng tổng quát là: x = A cos(\(\omega t + \phi\)) hoặc x = A sin(\(\omega t + \phi\)). Để xác định được phương trình này, chúng ta cần tìm các đại lượng: Biên độ dao động (A), Tần số góc (\(\omega\)), và Pha ban đầu (\(\phi\)).

Bước 1: Tìm tần số góc (\(\omega\))

Chúng ta đã biết chu kì dao động là T = 2s. Mối liên hệ giữa tần số góc (\(\omega\)) và chu kì (T) là:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

Thay số vào, ta được:

\(\omega = \frac{2\pi}{2} = \pi\) rad/s

Bước 2: Tìm biên độ dao động (A)

Đề bài cho biết trong 3 giây vật đi được quãng đường là 60 cm. Chúng ta cần xem xét mối liên hệ giữa thời gian và quãng đường đi được trong dao động điều hòa.

Thời gian 3 giây tương ứng với bao nhiêu chu kì? Ta có:

Số chu kì n = \(\frac{t}{T} = \frac{3}{2} = 1.5\) chu kì.

Trong một chu kì đầy đủ, vật đi được quãng đường bằng 4 lần biên độ (4A).

Trong 1.5 chu kì, ta có thể chia thành 1 chu kì và 0.5 chu kì.

Quãng đường đi được trong 1 chu kì là 4A.

Quãng đường đi được trong 0.5 chu kì: Khi vật đi hết 0.5 chu kì, nó sẽ đi từ một vị trí nào đó đến vị trí đối diện nó qua vị trí cân bằng. Nếu bắt đầu từ vị trí biên, nó sẽ đi đến biên còn lại. Quãng đường này là 2A.

Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét xem vật bắt đầu chuyển động như thế nào.

Đề bài cho biết: “Khi t = 0 vật đi qua vị trí cân bằng và hướng về vị trí biên dương”. Điều này rất quan trọng để xác định vị trí ban đầu của vật.

Tại t = 0, vật ở vị trí cân bằng (x=0) và có vận tốc dương (hướng về biên dương).

Trong dao động điều hòa, tại vị trí cân bằng, vận tốc có độ lớn cực đại, và hướng của vận tốc sẽ quyết định vật đi về phía biên dương hay biên âm.

Bây giờ chúng ta sẽ tính quãng đường đi được trong 1.5 chu kì dựa trên vị trí ban đầu này.

Trong 1 chu kì đầu tiên (từ t=0 đến t=2s), vật đi từ vị trí cân bằng, ra biên dương, quay về vị trí cân bằng, ra biên âm, rồi quay về vị trí cân bằng. Tuy nhiên, điều kiện “hướng về vị trí biên dương” chỉ rõ chuyển động ban đầu.

Tại t=0, x=0, v > 0.

Trong 1 chu kì (T=2s), vật đi từ vị trí cân bằng ra biên dương (A), quay về vị trí cân bằng, đi ra biên âm (-A), quay về vị trí cân bằng. Tuy nhiên, cách mô tả này chưa rõ ràng về quãng đường.

Cách hiểu đúng về quãng đường trong 1.5 chu kì:

Trong 1 chu kì đầu (2s), vật đi được quãng đường 4A.

Trong 0.5 chu kì tiếp theo (từ 2s đến 3s), vật đi được quãng đường 2A.

Vậy, tổng quãng đường đi được trong 1.5 chu kì là 4A + 2A = 6A.

Đề bài cho biết quãng đường đi được trong 3s là 60 cm.

Do đó:

6A = 60 cm

A = 10 cm

Bước 3: Tìm pha ban đầu (\(\phi\))

Phương trình dao động có dạng x = A cos(\(\omega t + \phi\)).

Tại thời điểm t = 0:

Vị trí của vật là x = 0.

Vận tốc của vật là v > 0 (hướng về vị trí biên dương).

Ta có: x(0) = A cos(\(\omega \cdot 0 + \phi\)) = A cos(\(\phi\))

Thay A = 10 cm vào:

0 = 10 cos(\(\phi\))

=> cos(\(\phi\)) = 0

Điều này cho ta các giá trị của \(\phi\) là:

\(\phi = \frac{\pi}{2} + k\pi\), với k là số nguyên.

Bây giờ chúng ta cần sử dụng thông tin về vận tốc để chọn đúng giá trị của \(\phi\).

Vận tốc trong dao động điều hòa là: v = x’ = -A\(\omega\) sin(\(\omega t + \phi\)).

Tại thời điểm t = 0, ta có v(0) = -A\(\omega\) sin(\(\phi\)).

Đề bài cho biết v(0) > 0 (hướng về vị trí biên dương).

Ta có: -A\(\omega\) sin(\(\phi\)) > 0

Vì A > 0 và \(\omega\) > 0, nên ta cần -sin(\(\phi\)) > 0, suy ra sin(\(\phi\)) < 0.

Bây giờ, ta kiểm tra các giá trị của \(\phi\) từ cos(\(\phi\)) = 0:

Nếu k = 0, \(\phi = \frac{\pi}{2}\). Khi đó, sin(\(\frac{\pi}{2}\)) = 1. Điều này không thỏa mãn sin(\(\phi\)) < 0.

Nếu k = 1, \(\phi = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}\). Khi đó, sin(\(\frac{3\pi}{2}\)) = -1. Điều này thỏa mãn sin(\(\phi\)) < 0.

Nếu k = -1, \(\phi = \frac{\pi}{2} – \pi = -\frac{\pi}{2}\). Khi đó, sin(-\(\frac{\pi}{2}\)) = -1. Điều này cũng thỏa mãn sin(\(\phi\)) < 0.

Chúng ta thường chọn pha ban đầu trong khoảng từ -\(\pi\) đến \(\pi\) hoặc từ 0 đến 2\(\pi\). Với điều kiện t=0 đi qua vị trí cân bằng và hướng về biên dương, \(\phi = -\frac{\pi}{2}\) hoặc \(\phi = \frac{3\pi}{2}\) là tương đương.

Chúng ta có thể chọn \(\phi = -\frac{\pi}{2}\).

Bước 4: Viết phương trình dao động

Chúng ta đã có:

Biên độ A = 10 cm

Tần số góc \(\omega = \pi\) rad/s

Pha ban đầu \(\phi = -\frac{\pi}{2}\) rad

Thay các giá trị này vào phương trình dao động dạng x = A cos(\(\omega t + \phi\)):

x = 10 cos(\(\pi t – \frac{\pi}{2}\)) cm

Chúng ta có thể sử dụng công thức lượng giác: cos(a – \(\frac{\pi}{2}\)) = sin(a).

Do đó, phương trình dao động cũng có thể viết là:

x = 10 sin(\(\pi t\)) cm

Kiểm tra lại với điều kiện ban đầu:

Tại t=0, x = 10 sin(0) = 0 (vị trí cân bằng).

Vận tốc v = x’ = 10\(\pi\) cos(\(\pi t\)). Tại t=0, v = 10\(\pi\) cos(0) = 10\(\pi\), là số dương, tức là hướng về biên dương.

Kết luận:

Phương trình dao động của vật là: x = 10 sin(\(\pi t\)) cm hoặc x = 10 cos(\(\pi t – \frac{\pi}{2}\)) cm.

Các em có câu hỏi nào không ạ?