Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về dao động điều hoà. Bài toán yêu cầu tìm quãng đường nhỏ nhất vật đi được trong một khoảng thời gian nhất định. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên độ 8 cm và chu kì T. Trong khoảng thời gian T/7, quãng đường nhỏ nhất vật có thể đi được là bao nhiêu.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có một vật dao động điều hoà với biên độ \(A = 8\) cm và chu kì \(T\). Đề bài yêu cầu tìm quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian \(\Delta t = T/7\)..

Để tìm quãng đường nhỏ nhất, chúng ta cần xem xét xem trong khoảng thời gian \(\Delta t\), vật có thể bắt đầu chuyển động từ vị trí nào trên quỹ đạo của nó.

Phương pháp giải:

Quãng đường vật đi được trong một khoảng thời gian phụ thuộc vào vị trí ban đầu của vật tại thời điểm bắt đầu khoảng thời gian đó.

Trong dao động điều hoà, chuyển động của vật được mô tả bởi phương trình \(x = A \cos(\omega t + \phi)\) hoặc \(x = A \sin(\omega t + \phi)\), trong đó \(\omega = 2\pi/T\) là tần số góc.

Chúng ta biết rằng, trong một chu kì \(T\), vật đi được quãng đường là \(4A\).

Nếu chúng ta xét một khoảng thời gian \(\Delta t\) rất nhỏ, thì quãng đường vật đi được sẽ gần bằng \(v_{max} \cdot \Delta t\) nếu vật đi với vận tốc lớn nhất, hoặc có thể nhỏ hơn nếu vật đi với vận tốc nhỏ.

Để quãng đường nhỏ nhất, chúng ta cần chọn thời điểm bắt đầu sao cho trong khoảng thời gian \(\Delta t\), vật di chuyển chậm nhất có thể.

Giải chi tiết:

Thời gian xét là \(\Delta t = T/7\). Tần số góc của dao động là \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), góc quét được là \(\Delta \alpha = \omega \cdot \Delta t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{7} = \frac{2\pi}{7}\) radian.

Tìm quãng đường nhỏ nhất:

Để quãng đường đi được là nhỏ nhất, chúng ta cần chọn vị trí ban đầu sao cho trong khoảng thời gian \(\Delta t\), vật đi qua những vùng có vận tốc nhỏ.

Vận tốc của vật trong dao động điều hoà là \(v = -\omega A \sin(\omega t + \phi)\). Độ lớn vận tốc là \(|v| = \omega A |\sin(\omega t + \phi)|\).

Vận tốc nhỏ nhất khi \(|\sin(\omega t + \phi)|\) nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi vật ở gần vị trí biên.

Xét trên vòng tròn lượng giác, góc quét là \(\frac{2\pi}{7}\). Để quãng đường là nhỏ nhất, chúng ta cần bắt đầu ở một vị trí sao cho trong quá trình quay \(\frac{2\pi}{7}\), vật “đi chậm”. Điều này xảy ra khi vật bắt đầu ở gần vị trí biên và di chuyển về phía vị trí cân bằng, hoặc bắt đầu ở gần vị trí cân bằng và di chuyển về phía biên.

Tuy nhiên, để tìm quãng đường nhỏ nhất, chúng ta cần xem xét trường hợp mà vật đi qua một cung nhỏ trên quỹ đạo.

Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), vật đi được một góc \(\Delta \alpha = \frac{2\pi}{7}\) trên vòng tròn lượng giác.

Quãng đường vật đi được trên cung tròn có bán kính \(A\) tương ứng với góc \(\Delta \alpha\) là \(s = A \cdot \Delta \alpha\) (đo bằng radian).

Tuy nhiên, đây là quãng đường đi được nếu vật đi theo một đường thẳng với vận tốc không đổi. Trong dao động điều hoà, quãng đường đi được không phải lúc nào cũng bằng \(A \cdot \Delta \alpha\).

Để quãng đường đi được trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) là nhỏ nhất, vật cần bắt đầu chuyển động từ một vị trí mà tại đó vận tốc của nó là nhỏ nhất hoặc gần nhỏ nhất, và sau đó di chuyển sang một vị trí khác mà trong khoảng thời gian đó, tổng quãng đường đi được là ít nhất.

Trường hợp nhỏ nhất xảy ra khi vật bắt đầu ở vị trí biên và di chuyển về vị trí cân bằng, hoặc bắt đầu ở vị trí cân bằng và di chuyển về vị trí biên, và khoảng thời gian \(\Delta t\) đủ nhỏ để vật không di chuyển quá xa.

Hãy tưởng tượng, nếu vật bắt đầu ở vị trí biên \(x = A\) và di chuyển trong khoảng thời gian \(\Delta t\). Vận tốc ban đầu là 0, và tăng dần. Quãng đường đi được là tích phân của vận tốc.

Để quãng đường nhỏ nhất trong khoảng thời gian \(\Delta t = T/7\), chúng ta cần xem xét vật bắt đầu ở đâu trên quỹ đạo của nó. Trong một khoảng thời gian ngắn, vật đi được quãng đường lớn nhất khi nó đi qua vị trí cân bằng (vận tốc cực đại) và nhỏ nhất khi nó ở gần vị trí biên (vận tốc gần bằng 0).

Trường hợp quan trọng nhất để đạt quãng đường nhỏ nhất:

Xét khi vật bắt đầu ở một trong hai vị trí biên \(x = \pm A\). Tại vị trí biên, vận tốc của vật bằng 0. Trong một khoảng thời gian rất ngắn sau đó, vận tốc của vật tăng lên rất chậm.

Nếu vật bắt đầu dao động tại thời điểm mà nó ở vị trí biên (\(x = A\) hoặc \(x = -A\)), thì vận tốc ban đầu của nó là \(v=0\). Trong khoảng thời gian \(\Delta t = T/7\), vật sẽ di chuyển từ vị trí biên về phía vị trí cân bằng.

Chúng ta hãy sử dụng mối liên hệ giữa thời gian và vị trí trên vòng tròn lượng giác.

Trong khoảng thời gian \(\Delta t = T/7\), vật quét được một góc \(\Delta \alpha = \frac{2\pi}{7}\).

Để quãng đường đi được nhỏ nhất, chúng ta chọn thời điểm ban đầu sao cho vật đi qua một cung nhỏ nhất có thể.

Nếu vật bắt đầu ở vị trí biên, ví dụ \(x = A\), thì tại thời điểm \(t=0\), vận tốc \(v=0\). Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), vật sẽ đi được một quãng đường mà nó “trượt” về phía vị trí cân bằng.

Chúng ta có thể hình dung rằng, quãng đường nhỏ nhất sẽ đạt được khi vật bắt đầu ở vị trí biên, nơi vận tốc bằng không, và di chuyển một đoạn.

Quãng đường nhỏ nhất trong một khoảng thời gian \(\Delta t\) có thể được xác định bằng cách xem xét vật đi qua một cung có góc \(\Delta \alpha\) sao cho độ dài cung đó là nhỏ nhất. Tuy nhiên, trong dao động điều hòa, quãng đường đi được không đơn giản là tích của góc và bán kính.

Phương pháp chính xác hơn:

Để tìm quãng đường nhỏ nhất trong khoảng thời gian \(\Delta t\), ta cần xét mọi khả năng về vị trí ban đầu của vật.

Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), góc quay trên vòng tròn lượng giác là \(\Delta \alpha = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{7}\).

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(\Delta t\) là \(s = \int_{t_0}^{t_0+\Delta t} |v(t)| dt\).

Để quãng đường \(s\) là nhỏ nhất, chúng ta cần chọn thời điểm \(t_0\) sao cho \( \int_{t_0}^{t_0+\Delta t} |\omega A \sin(\omega t + \phi)| dt \) là nhỏ nhất.

Điều này xảy ra khi vật đi qua những vùng có vận tốc nhỏ. Vận tốc nhỏ nhất là 0, xảy ra tại các vị trí biên.

Nếu chúng ta chọn thời điểm bắt đầu là lúc vật ở vị trí biên (\(x = \pm A\)), thì vận tốc tại thời điểm đó là \(v=0\). Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), vật sẽ đi một đoạn.

Xét vật bắt đầu ở \(x = A\). Phương trình dao động có thể là \(x(t) = A \cos(\omega t)\). Vận tốc là \(v(t) = -\omega A \sin(\omega t)\).

Trong khoảng thời gian \(\Delta t = T/7\), vật đi từ \(t=0\) đến \(t=T/7\).

Vị trí tại \(t=0\): \(x(0) = A \cos(0) = A\).

Vị trí tại \(t=T/7\): \(x(T/7) = A \cos(\omega \frac{T}{7}) = A \cos(\frac{2\pi}{7})\).

Quãng đường đi được là \(|x(T/7) – x(0)| = |A \cos(\frac{2\pi}{7}) – A| = A | \cos(\frac{2\pi}{7}) – 1 |\). Vì \(\cos(\frac{2\pi}{7}) < 1\), nên quãng đường là \(A (1 - \cos(\frac{2\pi}{7}))\).

Tuy nhiên, cách tính này chỉ đúng nếu vật đi theo một đường thẳng không đổi hướng. Trong dao động điều hòa, chúng ta tính quãng đường.

Khi vật bắt đầu ở vị trí biên, vận tốc là 0. Trong một khoảng thời gian \(\Delta t\), nó sẽ di chuyển một đoạn.

Quan hệ giữa góc quay và quãng đường:

Trong khoảng thời gian \(\Delta t = T/7\), góc quay trên vòng tròn lượng giác là \(\Delta \alpha = \frac{2\pi}{7}\).

Để quãng đường là nhỏ nhất, ta cần chọn vị trí ban đầu sao cho vật di chuyển trên một cung mà chiều dài của nó là nhỏ nhất.

Nếu vật bắt đầu ở vị trí biên (\(x = A\) hoặc \(x = -A\)), vận tốc ban đầu là 0. Trong khoảng thời gian \(\Delta t\), vật sẽ đi một đoạn.

Consider the arc length traced on the circle. In time \(\Delta t\), the angle swept is \(\Delta \alpha = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{7}\).

The shortest distance traveled will occur when the object starts at an extremity (where velocity is zero) and moves towards the equilibrium position.

If we consider the angular displacement \(\Delta \alpha = \frac{2\pi}{7}\), the shortest path will be when this displacement is as close to a straight line path as possible, meaning it happens in a region where the velocity is changing slowly.

The shortest distance will be obtained when the object starts at one of the extreme positions and moves for the given time \(\Delta t\). In this case, the velocity starts from zero and increases.

Let’s consider the motion from \(t=0\) to \(t=\Delta t\). If \(x(0) = A\), then \(x(t) = A \cos(\omega t)\). The distance traveled is \( \int_0^{\Delta t} |v(t)| dt = \int_0^{\Delta t} |-\omega A \sin(\omega t)| dt \).

Since \(\Delta t = T/7\), \(\omega \Delta t = 2\pi/7\). In this interval, \(\sin(\omega t)\) is positive, so \( |-\omega A \sin(\omega t)| = \omega A \sin(\omega t) \).

Distance = \( \int_0^{2\pi/7} \omega A \sin(\theta) \frac{d\theta}{\omega} = A \int_0^{2\pi/7} \sin(\theta) d\theta = A [-\cos(\theta)]_0^{2\pi/7} = A (-\cos(\frac{2\pi}{7}) – (-\cos(0))) = A (1 – \cos(\frac{2\pi}{7})) \).

Giải thích trực quan:

Để quãng đường đi được trong một khoảng thời gian là nhỏ nhất, vật cần phải di chuyển chậm nhất có thể trong khoảng thời gian đó.

Vận tốc của vật dao động điều hoà bằng 0 tại các vị trí biên (\(x = \pm A\)).

Nếu vật bắt đầu chuyển động từ vị trí biên, vận tốc ban đầu của nó là 0. Trong một khoảng thời gian ngắn, vận tốc của nó tăng lên chậm.

Trong khoảng thời gian \(\Delta t = T/7\), vật quét được một góc trên vòng tròn lượng giác là \(\frac{2\pi}{7}\).

Quãng đường nhỏ nhất sẽ đạt được khi vật bắt đầu tại một vị trí biên và di chuyển một đoạn tương ứng với góc quét \(\frac{2\pi}{7}\).

Trên vòng tròn lượng giác, vị trí biên tương ứng với góc 0 hoặc \(\pi\). Nếu chúng ta bắt đầu từ vị trí biên \(x=A\) (tương ứng với góc 0), sau thời gian \(\Delta t\), vật sẽ có pha \(\frac{2\pi}{7}\). Vị trí tương ứng là \(x = A \cos(\frac{2\pi}{7})\).

Quãng đường đi được là hiệu khoảng cách \(|A – A \cos(\frac{2\pi}{7})| = A(1 – \cos(\frac{2\pi}{7}))\).

Đây chính là quãng đường vật đi được từ vị trí biên \(x=A\) đến vị trí \(x = A \cos(\frac{2\pi}{7})\) khi chuyển động về phía vị trí cân bằng.

Tính toán:

Biên độ \(A = 8\) cm.

Góc quét \(\Delta \alpha = \frac{2\pi}{7}\) radian.

Quãng đường nhỏ nhất \(s_{min} = A (1 – \cos(\Delta \alpha))\)

\(s_{min} = 8 \left(1 – \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)\right)\) cm.

Giá trị xấp xỉ:

\(\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \approx \cos(0.8976) \approx 0.6235\)

\(s_{min} \approx 8 (1 – 0.6235) = 8 \times 0.3765 = 3.012\) cm.

Kết luận:

Quãng đường nhỏ nhất vật có thể đi được trong khoảng thời gian \(T/7\) là \(A \left(1 – \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)\right)\).

Với \(A = 8\) cm, quãng đường nhỏ nhất là \(8 \left(1 – \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)\right)\) cm.

Đáp số: \(8 \left(1 – \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)\right)\) cm.

Các em thấy bài toán này thế nào? Chìa khóa để giải bài toán này là hiểu rằng quãng đường nhỏ nhất đạt được khi vật di chuyển từ vị trí biên, nơi vận tốc bằng 0. Hy vọng qua bài giảng này, các em đã nắm vững phương pháp giải!