Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về chuyển động của vật thể trong trường trọng lực, có liên quan đến chuyển động tương đối. Bài toán này đòi hỏi sự phân tích kỹ lưỡng chuyển động của từng vật. Chúng ta bắt đầu nhé!

Đề bài:

Từ một kinh khí cầu đang lên cao với vận tốc v₀ = 3 m/s (so với mặt đất), người ta phóng một vật thẳng đứng hướng lên với vận tốc v = 10 m/s (so với mặt đất). Lấy g = 10 m/s²

a) Tính khoảng cách giữa khí cầu và vật khi vật lên tới vị trí cao nhất.

b) Sau bao lâu vật rơi trở lại gặp khí cầu.

Phân tích và lựa chọn hệ quy chiếu:

Để giải bài toán này một cách thuận lợi, chúng ta sẽ chọn:

• Gốc tọa độ (gốc O) tại vị trí ban đầu mà vật được phóng ra (cũng là vị trí của khí cầu tại thời điểm đó).
• Chiều dương là chiều thẳng đứng hướng lên.
• Gốc thời gian (t = 0) là lúc vật bắt đầu được phóng.

Với lựa chọn này, gia tốc trọng trường g sẽ có giá trị âm vì nó luôn hướng xuống, ngược chiều dương đã chọn. Vậy \(a = -g = -10 \, \text{m/s}^2\).

Chuyển động của khí cầu:

Khí cầu chuyển động thẳng đều với vận tốc không đổi so với mặt đất.

• Vận tốc: \(v_{kc} = 3 \, \text{m/s}\)
• Phương trình chuyển động của khí cầu: \(y_{kc}(t) = v_{kc} \cdot t = 3t\)

Chuyển động của vật:

Vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao của khí cầu, với vận tốc ban đầu so với mặt đất.

• Vận tốc ban đầu: \(v_0 = 10 \, \text{m/s}\) (hướng lên)
• Gia tốc: \(a_v = -g = -10 \, \text{m/s}^2\)
• Phương trình vận tốc của vật: \(v_v(t) = v_0 + a_v \cdot t = 10 – 10t\)
• Phương trình chuyển động của vật: \(y_v(t) = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a_v \cdot t^2 = 10t – \frac{1}{2}(10)t^2 = 10t – 5t^2\)

—

a) Tính khoảng cách giữa khí cầu và vật khi vật lên tới vị trí cao nhất.

Bước 1: Xác định thời điểm vật lên tới vị trí cao nhất.

Khi vật lên tới vị trí cao nhất, vận tốc của nó bằng 0.

Ta có phương trình vận tốc của vật: \(v_v(t) = 10 – 10t\)

Cho \(v_v(t) = 0\):

\(10 – 10t = 0\)

\(10t = 10\)

\(t_max = 1 \, \text{s}\)

Vậy, vật lên tới vị trí cao nhất sau \(1\) giây kể từ lúc phóng.

Bước 2: Tính độ cao cực đại của vật.

Sử dụng phương trình chuyển động của vật tại thời điểm \(t_{max} = 1 \, \text{s}\):

\(y_{v,max} = 10t_{max} – 5t_{max}^2\)

\(y_{v,max} = 10(1) – 5(1)^2\)

\(y_{v,max} = 10 – 5 = 5 \, \text{m}\)

Độ cao cực đại mà vật đạt được so với gốc tọa độ là \(5 \, \text{m}\).

Bước 3: Tính độ cao của khí cầu tại thời điểm đó.

Tại thời điểm \(t_{max} = 1 \, \text{s}\), khí cầu vẫn đang di chuyển lên.

Sử dụng phương trình chuyển động của khí cầu:

\(y_{kc}(t_{max}) = 3t_{max}\)

\(y_{kc}(1) = 3(1) = 3 \, \text{m}\)

Tại thời điểm vật lên tới vị trí cao nhất, khí cầu đang ở độ cao \(3 \, \text{m}\).

Bước 4: Tính khoảng cách giữa khí cầu và vật.

Khoảng cách giữa khí cầu và vật chính là trị tuyệt đối của hiệu độ cao của chúng:

\(d = |y_{v,max} – y_{kc}(t_{max})|\)

\(d = |5 – 3|\)

\(d = 2 \, \text{m}\)

Kết luận câu a:

Khoảng cách giữa khí cầu và vật khi vật lên tới vị trí cao nhất là 2 mét.

—

b) Sau bao lâu vật rơi trở lại gặp khí cầu.

Để vật gặp khí cầu, chúng phải có cùng tọa độ (độ cao) tại cùng một thời điểm. Tức là, chúng ta cần tìm thời điểm \(t\) mà \(y_v(t) = y_{kc}(t)\).

Ta có:

Phương trình chuyển động của vật: \(y_v(t) = 10t – 5t^2\)

Phương trình chuyển động của khí cầu: \(y_{kc}(t) = 3t\)

Đặt \(y_v(t) = y_{kc}(t)\):

\(10t – 5t^2 = 3t\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:

\(10t – 3t – 5t^2 = 0\)

\(7t – 5t^2 = 0\)

Đặt \(t\) làm thừa số chung:

\(t(7 – 5t) = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm:

1. \(t = 0\): Đây là thời điểm ban đầu khi vật được phóng ra từ khí cầu, tức là chúng gặp nhau lần đầu tiên.

2. \(7 – 5t = 0\)

\(5t = 7\)

\(t = \frac{7}{5} = 1.4 \, \text{s}\)

Thời điểm này (t = 1.4s) là thời điểm vật rơi trở lại và gặp khí cầu lần thứ hai.

Kiểm tra lại độ cao tại thời điểm t = 1.4s:

• Đối với vật: \(y_v(1.4) = 10(1.4) – 5(1.4)^2 = 14 – 5(1.96) = 14 – 9.8 = 4.2 \, \text{m}\)
• Đối với khí cầu: \(y_{kc}(1.4) = 3(1.4) = 4.2 \, \text{m}\)

Hai giá trị này khớp nhau, chứng tỏ vật và khí cầu gặp nhau ở độ cao 4.2 mét sau 1.4 giây.

Kết luận câu b:

Vật rơi trở lại và gặp khí cầu sau 1.4 giây kể từ lúc phóng.

—

Các em nhớ ôn tập kỹ về các phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều và cách chọn hệ quy chiếu phù hợp cho từng bài toán nhé. Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi thầy!