Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “mổ xẻ” một bài toán thú vị về dao động điều hòa. Đây là một dạng bài rất hay, giúp chúng ta ôn lại các kiến thức cơ bản và mối liên hệ giữa các đại lượng trong dao động điều hòa.

Hãy cùng đọc kỹ đề bài nhé:

Đề bài: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 4 cm. Tại thời điểm t, vật có tốc độ 10 cm/s. Tại thời điểm t + T/4 gia tốc của vật có độ lớn 50 cm/s^2.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một.

1. Phân tích đề bài và tóm tắt các đại lượng đã cho:

• Vật dao động điều hòa.
• Biên độ: \(A = 4\) cm.
• Tại thời điểm \(t\): Tốc độ của vật là \(|v(t)| = 10\) cm/s.
• Tại thời điểm \(t + T/4\): Độ lớn gia tốc của vật là \(|a(t + T/4)| = 50\) cm/s\(^2\).

Bài toán không yêu cầu tìm đại lượng cụ thể nào, nhưng với các dữ kiện đã cho, chúng ta có thể xác định được các đặc trưng của dao động như tần số góc, tốc độ cực đại, gia tốc cực đại, v.v.

2. Các kiến thức cần nhớ về dao động điều hòa:

Giả sử phương trình dao động của vật có dạng: \(x = A \cos(\omega t + \varphi)\)

Khi đó, phương trình vận tốc và gia tốc sẽ là:

• Vận tốc: \(v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)\)
• Gia tốc: \(a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x\)

Mối liên hệ giữa tần số góc \(\omega\) và chu kì \(T\): \( \omega = \frac{2\pi}{T}\)

Đặc biệt quan trọng trong bài này là mối quan hệ về pha giữa các đại lượng tại hai thời điểm cách nhau một phần tư chu kì (\(T/4\)).

Nếu li độ tại thời điểm \(t\) là \(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\)

Thì tại thời điểm \(t + T/4\), pha dao động sẽ là:

\(\omega (t + T/4) + \varphi = \omega t + \varphi + \omega \frac{T}{4}\)

Mà \(\omega T = 2\pi\), nên \(\omega \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\)

Vậy, pha dao động tại thời điểm \(t + T/4\) là \(\alpha’ = (\omega t + \varphi) + \frac{\pi}{2}\)

3. Hướng dẫn giải chi tiết:

Chúng ta hãy xét giá trị của vận tốc và gia tốc tại hai thời điểm đã cho.

Tại thời điểm \(t\):

Li độ: \(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\)

Vận tốc: \(v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)\)

Độ lớn tốc độ: \(|v(t)| = |-A\omega \sin(\omega t + \varphi)| = A\omega |\sin(\omega t + \varphi)|\)

Theo đề bài: \(A\omega |\sin(\omega t + \varphi)| = 10\) cm/s (1)

Tại thời điểm \(t + T/4\):

Li độ: \(x(t + T/4) = A \cos(\omega (t + T/4) + \varphi) = A \cos((\omega t + \varphi) + \frac{\pi}{2})\)

Vì \(\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha)\), nên \(x(t + T/4) = -A \sin(\omega t + \varphi)\)

Gia tốc: \(a(t + T/4) = -\omega^2 x(t + T/4)\)

\(a(t + T/4) = -\omega^2 (-A \sin(\omega t + \varphi)) = A\omega^2 \sin(\omega t + \varphi)\)

Độ lớn gia tốc: \(|a(t + T/4)| = |A\omega^2 \sin(\omega t + \varphi)|\)

Theo đề bài: \(A\omega^2 |\sin(\omega t + \varphi)| = 50\) cm/s\(^2\) (2)

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình (1) và (2) với cùng một biểu thức \(\sin(\omega t + \varphi)\). Hãy chia (2) cho (1):

\(\frac{|a(t + T/4)|}{|v(t)|} = \frac{A\omega^2 |\sin(\omega t + \varphi)|}{A\omega |\sin(\omega t + \varphi)|}\)

\(\frac{50}{10} = \omega\)

\(\omega = 5\) rad/s

Chúng ta đã tìm được tần số góc của dao động! Từ đây, chúng ta có thể tính được các đại lượng khác của dao động.

4. Các đại lượng khác của dao động:

a. Chu kì dao động (\(T\)):

\(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5}\) s

b. Tốc độ cực đại (\(v_{max}\)):

\(v_{max} = A\omega = 4 \text{ cm} \times 5 \text{ rad/s} = 20\) cm/s

c. Gia tốc cực đại (\(a_{max}\)):

\(a_{max} = A\omega^2 = 4 \text{ cm} \times (5 \text{ rad/s})^2 = 4 \times 25 = 100\) cm/s\(^2\)

d. Xác định trạng thái của vật tại thời điểm \(t\) và \(t + T/4\):

Từ phương trình (1): \(A\omega |\sin(\omega t + \varphi)| = 10\)

Thế \(A = 4\) cm và \(\omega = 5\) rad/s vào:

\(4 \times 5 \times |\sin(\omega t + \varphi)| = 10\)

\(20 |\sin(\omega t + \varphi)| = 10\)

\(|\sin(\omega t + \varphi)| = \frac{10}{20} = 0.5\)

Ta biết rằng \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), nên \(|\cos(\omega t + \varphi)| = \sqrt{1 – \sin^2(\omega t + \varphi)}\)

\(|\cos(\omega t + \varphi)| = \sqrt{1 – (0.5)^2} = \sqrt{1 – 0.25} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Tại thời điểm \(t\):

• Độ lớn li độ: \(|x(t)| = |A \cos(\omega t + \varphi)| = A |\cos(\omega t + \varphi)| = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) cm
• Kiểm tra lại tốc độ: \(|v(t)| = A\omega |\sin(\omega t + \varphi)| = 4 \times 5 \times 0.5 = 10\) cm/s (khớp với đề bài)
• Độ lớn gia tốc: \(|a(t)| = \omega^2 |x(t)| = 5^2 \times 2\sqrt{3} = 25 \times 2\sqrt{3} = 50\sqrt{3}\) cm/s\(^2\)

Tại thời điểm \(t + T/4\):

• Độ lớn li độ: \(|x(t + T/4)| = |-A \sin(\omega t + \varphi)| = A |\sin(\omega t + \varphi)| = 4 \times 0.5 = 2\) cm
• Độ lớn gia tốc: \(|a(t + T/4)| = |A\omega^2 \sin(\omega t + \varphi)| = A\omega^2 |\sin(\omega t + \varphi)| = 4 \times 5^2 \times 0.5 = 4 \times 25 \times 0.5 = 100 \times 0.5 = 50\) cm/s\(^2\) (khớp với đề bài)
• Độ lớn tốc độ: \(|v(t + T/4)| = |-A\omega \cos(\omega t + \varphi)| = A\omega |\cos(\omega t + \varphi)| = 4 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\) cm/s

5. Kết luận:

Từ các dữ kiện đã cho, chúng ta đã xác định được các thông số quan trọng của dao động điều hòa:

• Tần số góc của dao động là: \(\mathbf{\omega = 5}\) rad/s
• Chu kì dao động là: \(\mathbf{T = \frac{2\pi}{5}}\) s
• Tốc độ cực đại của vật là: \(\mathbf{v_{max} = 20}\) cm/s
• Gia tốc cực đại của vật là: \(\mathbf{a_{max} = 100}\) cm/s\(^2\)

Ngoài ra, chúng ta còn xác định được trạng thái cụ thể của vật tại hai thời điểm \(t\) và \(t + T/4\), cho thấy sự nhất quán của các dữ kiện.

Hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và li độ trong dao động điều hòa, đặc biệt là khi xét tại các thời điểm có quan hệ pha đặc biệt như \(T/4\).

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!