Chào các em học sinh lớp 10 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về chuyển động, giúp các em củng cố kiến thức về chuyển động thẳng đều và chuyển động thẳng biến đổi đều, đặc biệt là cách tìm giá trị cực tiểu của một hàm số. Hãy cùng bắt đầu nhé!

Đề bài:

Một đàn voi chạy khỏi khu rừng bị cháy với tốc độ không đổi 8m/s. Khi đàn voi cách một người ở phía trước một khoảng cách là 100m thì người này lên xe nổ máy chuyển động với gia tốc không đổi là 0.5 m/s^2 theo hướng chạy của đàn voi. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa đàn voi và người?

Phân tích bài toán:

• Chúng ta có hai vật thể đang chuyển động: Đàn voi và Người.
• Đàn voi: Chuyển động thẳng đều.
• Vận tốc: \(v_v = 8\) m/s
• Gia tốc: \(a_v = 0\) m/s\(^2\)
• Người: Chuyển động thẳng nhanh dần đều (vì gia tốc cùng chiều chuyển động và không đổi).
• Vận tốc ban đầu: \(v_{n0} = 0\) m/s (người “lên xe nổ máy”, tức là ban đầu đứng yên).
• Gia tốc: \(a_n = 0.5\) m/s\(^2\)
• Điều kiện ban đầu (t = 0): Khoảng cách giữa voi và người là 100m. Người ở phía trước voi.

Chọn hệ quy chiếu và gốc thời gian:

• Để tiện cho việc tính toán, chúng ta sẽ chọn trục tọa độ Ox trùng với hướng chuyển động của voi và người.
• Chọn gốc O tại vị trí ban đầu của đàn voi.
• Chọn gốc thời gian \(t = 0\) là lúc đàn voi cách người 100m và người bắt đầu chuyển động.

Thiết lập phương trình chuyển động:

1. Đối với đàn voi:

Đàn voi chuyển động thẳng đều, nên phương trình tọa độ của nó là: \(x_v(t) = x_{v0} + v_v \cdot t\)

Với \(x_{v0} = 0\) (vì ta chọn gốc tọa độ tại vị trí ban đầu của voi) và \(v_v = 8\) m/s.

Vậy: \(x_v(t) = 0 + 8t = 8t\) (m)

2. Đối với người:

Người chuyển động thẳng nhanh dần đều, nên phương trình tọa độ của người là: \(x_n(t) = x_{n0} + v_{n0} \cdot t + \frac{1}{2} a_n t^2\)

Tại \(t = 0\), người cách đàn voi 100m và ở phía trước, nên \(x_{n0} = 100\) m. Vận tốc ban đầu \(v_{n0} = 0\) m/s và gia tốc \(a_n = 0.5\) m/s\(^2\).

Vậy: \(x_n(t) = 100 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot t^2\)

Hay: \(x_n(t) = 100 + 0.25 t^2\) (m)

Tìm hàm số biểu diễn khoảng cách giữa voi và người:

Khoảng cách giữa đàn voi và người tại thời điểm \(t\) là \(d(t) = |x_n(t) – x_v(t)|\).

\(d(t) = |(100 + 0.25 t^2) – 8t|\)

\(d(t) = |0.25 t^2 – 8t + 100|\)

Để tìm khoảng cách ngắn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(t) = 0.25 t^2 – 8t + 100\). Đây là một hàm bậc hai (parabol) có hệ số của \(t^2\) là \(0.25 > 0\), nên parabol có bề lõm hướng lên trên, và giá trị cực tiểu sẽ nằm tại đỉnh của parabol.

Tìm thời điểm mà khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất:

Hoành độ đỉnh của parabol \(ax^2 + bx + c\) được tính bằng công thức \(x = \frac{-b}{2a}\).

Ở đây, \(a = 0.25\), \(b = -8\).

Thời điểm \(t\) mà khoảng cách là nhỏ nhất là:

\(t_{min} = \frac{-(-8)}{2 \cdot 0.25} = \frac{8}{0.5} = 16\) s

Tính khoảng cách ngắn nhất:

Bây giờ, chúng ta thay \(t = 16\) s vào biểu thức của \(d(t)\) để tìm khoảng cách ngắn nhất:

\(d_{min} = |0.25 \cdot (16)^2 – 8 \cdot (16) + 100|\)

\(d_{min} = |0.25 \cdot 256 – 128 + 100|\)

\(d_{min} = |64 – 128 + 100|\)

\(d_{min} = |-64 + 100|\)

\(d_{min} = |36|\)

\(d_{min} = 36\) m

Để kiểm tra lại, chúng ta có thể thấy rằng \(0.25 t^2 – 8t + 100\) luôn dương vì: delta (discriminant) = \(b^2 – 4ac = (-8)^2 – 4 \cdot 0.25 \cdot 100 = 64 – 100 = -36 < 0\). Do đó, hàm số \(0.25 t^2 - 8t + 100\) luôn cùng dấu với hệ số của \(t^2\) (là \(0.25 > 0\)), tức là luôn dương. Vì vậy, dấu giá trị tuyệt đối không làm thay đổi kết quả trong trường hợp này, và khoảng cách luôn là \(0.25 t^2 – 8t + 100\).

Kết luận:

Khoảng cách ngắn nhất giữa đàn voi và người là 36 mét, đạt được sau 16 giây kể từ lúc người bắt đầu lên xe.

Hy vọng bài giải này giúp các em hiểu rõ hơn về cách ứng dụng kiến thức vật lý và toán học để giải quyết các bài toán thực tế. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!

Chúc các em học tốt!