Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một bài toán về dao động điều hòa, một phần kiến thức rất quan trọng của chương trình Vật lý 11. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước giải và đừng ngần ngại đặt câu hỏi nếu có bất kỳ thắc mắc nào nhé!

Đề bài cho phương trình dao động điều hòa của một vật là: \(x = 10\cos(4\pi t + \pi/6)\).

Trong đó, \(x\) tính bằng cm, \(t\) tính bằng s.

Trước hết, chúng ta hãy cùng xác định các đại lượng cơ bản từ phương trình này:

• Biên độ (amplitude): \(A = 10\) cm.
• Tần số góc (angular frequency): \(\omega = 4\pi\) rad/s.
• Pha ban đầu (initial phase): \(\phi = \pi/6\) rad.

Từ tần số góc, ta có thể tính được chu kì dao động (period):

\(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} = 0,5\) s.

a) Xác định vị trí ban đầu

Vị trí ban đầu của vật là li độ của vật tại thời điểm \(t = 0\).

Thay \(t = 0\) vào phương trình li độ, ta có:

\(x(0) = 10\cos(4\pi \cdot 0 + \pi/6)\)

\(x(0) = 10\cos(\pi/6)\)

Vì \(\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), nên:

\(x(0) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) cm.

Vậy, vị trí ban đầu của vật là \(5\sqrt{3}\) cm (khoảng \(8,66\) cm).

b) Xác định thời điểm vật đến vị trí cân bằng

Vị trí cân bằng là vị trí mà vật có li độ \(x = 0\).

Ta cho phương trình li độ bằng 0:

\(10\cos(4\pi t + \pi/6) = 0\)

\(\cos(4\pi t + \pi/6) = 0\)

Điều này xảy ra khi góc trong hàm cosin bằng \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) (với \(k\) là một số nguyên).

\(4\pi t + \pi/6 = \frac{\pi}{2} + k\pi\)

Chuyển vế để tìm \(t\):

\(4\pi t = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{6} + k\pi\)

\(4\pi t = \frac{3\pi}{6} – \frac{\pi}{6} + k\pi\)

\(4\pi t = \frac{2\pi}{6} + k\pi\)

\(4\pi t = \frac{\pi}{3} + k\pi\)

Chia cả hai vế cho \(4\pi\):

\(t = \frac{1}{4\pi} \left( \frac{\pi}{3} + k\pi \right)\)

\(t = \frac{1}{12} + \frac{k}{4}\).

Vì thời gian \(t\) phải không âm (\(t \ge 0\)), ta xét các giá trị của \(k\):

• Với \(k = 0\): \(t = \frac{1}{12}\) s.
• Với \(k = 1\): \(t = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) s.
• Với \(k = 2\): \(t = \frac{1}{12} + \frac{2}{4} = \frac{1}{12} + \frac{6}{12} = \frac{7}{12}\) s.

Vậy, các thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng là \(t = \frac{1}{12}\) s, \(t = \frac{1}{3}\) s, \(t = \frac{7}{12}\) s,… và cứ tiếp diễn sau mỗi nửa chu kì (\(T/2 = 0,25\) s).

c) Viết phương trình vận tốc, tính vận tốc tại vị trí cân bằng và vị trí có li độ 5cm

1. Viết phương trình vận tốc:

Phương trình vận tốc được suy ra bằng cách lấy đạo hàm bậc nhất của phương trình li độ theo thời gian \(t\):

\(v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [10\cos(4\pi t + \pi/6)]\)

\(v = 10 \cdot (-\sin(4\pi t + \pi/6)) \cdot (4\pi)\)

\(v = -40\pi \sin(4\pi t + \pi/6)\) (cm/s).

2. Tính vận tốc tại các vị trí:

– Tại vị trí cân bằng (\(x = 0\)):

Tại vị trí cân bằng, tốc độ của vật đạt giá trị cực đại. Giá trị này là \(v_{max} = \omega A\).

\(v_{max} = 4\pi \cdot 10 = 40\pi\) cm/s.

Vậy, tại vị trí cân bằng, vận tốc của vật có thể là \(40\pi\) cm/s (khi đi theo chiều dương) hoặc \(-40\pi\) cm/s (khi đi theo chiều âm).

– Tại vị trí có li độ \(x = 5\) cm:

Ta sử dụng công thức độc lập với thời gian liên hệ giữa vận tốc và li độ: \(v = \pm \omega \sqrt{A^2 – x^2}\).

Thay các giá trị \(A = 10\) cm, \(\omega = 4\pi\) rad/s, và \(x = 5\) cm vào:

\(v = \pm 4\pi \sqrt{10^2 – 5^2}\)

\(v = \pm 4\pi \sqrt{100 – 25}\)

\(v = \pm 4\pi \sqrt{75}\)

\(v = \pm 4\pi \cdot 5\sqrt{3}\)

\(v = \pm 20\pi\sqrt{3}\) cm/s.

Vậy, tại vị trí có li độ 5cm, vận tốc của vật là \(\pm 20\pi\sqrt{3}\) cm/s.

d) Viết phương trình gia tốc ở vị trí biên và vị trí có li độ 4cm

1. Viết phương trình gia tốc:

Phương trình gia tốc được suy ra bằng cách lấy đạo hàm bậc nhất của phương trình vận tốc theo thời gian \(t\), hoặc sử dụng công thức \(a = -\omega^2 x\).

Ta có: \(a = -\omega^2 x\)

\(a = -(4\pi)^2 \cdot 10\cos(4\pi t + \pi/6)\)

\(a = -16\pi^2 \cdot 10\cos(4\pi t + \pi/6)\)

\(a = -160\pi^2 \cos(4\pi t + \pi/6)\) (cm/s\(^2\)).

Hoặc đơn giản hơn, ta có thể viết trực tiếp mối liên hệ giữa gia tốc và li độ: \(a = -16\pi^2 x\).

2. Tính gia tốc tại các vị trí:

– Tại vị trí biên:

Vị trí biên là khi \(x = \pm A\). Gia tốc tại biên có độ lớn cực đại là \(a_{max} = \omega^2 A\).

• Tại biên dương (\(x = A = 10\) cm):

\(a = -\omega^2 A = -(4\pi)^2 \cdot 10 = -16\pi^2 \cdot 10 = -160\pi^2\) cm/s\(^2\).

• Tại biên âm (\(x = -A = -10\) cm):

\(a = -\omega^2 (-A) = (4\pi)^2 \cdot 10 = 16\pi^2 \cdot 10 = 160\pi^2\) cm/s\(^2\).

Gia tốc tại vị trí biên có độ lớn cực đại là \(|a_{max}| = \omega^2 A = 160\pi^2\) cm/s\(^2\).

– Tại vị trí có li độ \(x = 4\) cm:

Sử dụng công thức \(a = -\omega^2 x\):

\(a = -(4\pi)^2 \cdot 4\)

\(a = -16\pi^2 \cdot 4 = -64\pi^2\) cm/s\(^2\).

Vậy, tại vị trí có li độ 4cm, gia tốc của vật là \(-64\pi^2\) cm/s\(^2\).

e) Tính quãng đường vật đi được sau 1,125(s)

Để tính quãng đường, trước hết ta cần xác định chu kì dao động \(T\). Chúng ta đã tính ở trên:

\(T = 0,5\) s.

Thời gian cần tính là \(t = 1,125\) s.

Ta biểu diễn thời gian \(t\) theo chu kì \(T\):

\(t = 1,125 = 2 \cdot 0,5 + 0,125 = 2T + 0,25T\).

Hay \(t = 2T + T/4\).

1. Quãng đường trong 2 chu kì đầu tiên:

Trong mỗi chu kì \(T\), vật luôn đi được quãng đường là \(4A\).

Vậy, trong 2 chu kì đầu tiên, quãng đường vật đi được là:

\(S_1 = 2 \cdot 4A = 8A = 8 \cdot 10 = 80\) cm.

2. Quãng đường trong khoảng thời gian còn lại \(\Delta t = T/4\):

Để tính quãng đường trong \(\Delta t = T/4 = 0,125\) s, ta cần biết vị trí và chiều chuyển động của vật ở thời điểm bắt đầu khoảng thời gian này. Do tính tuần hoàn của dao động, sau 2 chu kì (\(2T\)), vật trở lại vị trí cũ và chuyển động theo chiều cũ.

Vậy, ta xét chuyển động trong khoảng thời gian \(\Delta t = 0,125\) s, bắt đầu từ vị trí ban đầu \(t=0\).

• Vị trí ban đầu của vật (tại \(t=0\)) là: \(x_0 = 5\sqrt{3}\) cm (đã tính ở câu a).
• Vận tốc ban đầu của vật để xác định chiều chuyển động (đã tính ở câu c): \(v_0 = -20\pi\) cm/s. Vì \(v_0 < 0\), vật đang chuyển động theo chiều âm (về phía vị trí cân bằng O).

Ta xác định vị trí của vật sau thời gian \(\Delta t = 0,125\) s (kể từ \(t=0\)):

\(x(0,125) = 10\cos(4\pi \cdot 0,125 + \pi/6)\)

\(x(0,125) = 10\cos(0,5\pi + \pi/6)\)

\(x(0,125) = 10\cos(\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6})\)

\(x(0,125) = 10\cos(\frac{4\pi}{6}) = 10\cos(\frac{2\pi}{3})\)

Vì \(\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\), nên:

\(x(0,125) = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5\) cm.

Bây giờ, ta phác thảo quỹ đạo của vật trong khoảng thời gian \(\Delta t = 0,125\) s:

Vật bắt đầu từ \(x_0 = 5\sqrt{3}\) cm (khoảng \(8,66\) cm), chuyển động theo chiều âm (về phía O).

• Từ \(x_0 = 5\sqrt{3}\) cm đến vị trí cân bằng (\(x=0\)): Quãng đường đi được là \(\Delta S_1 = |0 – 5\sqrt{3}| = 5\sqrt{3}\) cm.
• Sau đó, vật tiếp tục chuyển động theo chiều âm từ \(x=0\) đến \(x = -5\) cm: Quãng đường đi được là \(\Delta S_2 = |-5 – 0| = 5\) cm.

Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(\Delta t = T/4\) là:

\(S_2 = \Delta S_1 + \Delta S_2 = 5\sqrt{3} + 5\) cm.

3. Tổng quãng đường vật đi được sau 1,125 s:

Tổng quãng đường là tổng của quãng đường trong 2 chu kì và quãng đường trong thời gian còn lại:

\(S = S_1 + S_2 = 80 + (5\sqrt{3} + 5)\)

\(S = 85 + 5\sqrt{3}\) cm.

(Nếu lấy \(\sqrt{3} \approx 1,732\), thì \(S \approx 85 + 5 \cdot 1,732 = 85 + 8,66 = 93,66\) cm).

Hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về dao động điều hòa. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!