Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài tập về dao động điều hoà của con lắc đơn. Đây là một dạng bài khá phổ biến và quan trọng, giúp chúng ta củng cố kiến thức về phương trình dao động. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Cho hai con lắc đơn dao động điều hoà. Biết phương trình dao động của con lắc thứ nhất là

\(x = 20\cos(20\pi t + \pi/2)\) (cm)

Con lắc thứ hai có cùng biên độ và tần số nhưng lệch về thời gian so với con lắc thứ nhất một phần tư chu kì. Viết phương trình dao động của con lắc thứ hai.

Hướng dẫn giải:

Để viết phương trình dao động của con lắc thứ hai, chúng ta cần xác định ba yếu tố: biên độ (\(A\)), tần số góc (\(\omega\)) và pha ban đầu (\(\varphi\)).

Phương trình dao động điều hoà tổng quát có dạng: \(x = A\cos(\omega t + \varphi)\)

Bước 1: Phân tích phương trình dao động của con lắc thứ nhất.

Theo đề bài, phương trình dao động của con lắc thứ nhất là:

\(x_1 = 20\cos(20\pi t + \pi/2)\) (cm)

Từ phương trình này, chúng ta có thể suy ra các thông số của con lắc thứ nhất:

• Biên độ: \(A_1 = 20\) cm
• Tần số góc: \(\omega_1 = 20\pi\) rad/s
• Pha ban đầu: \(\varphi_1 = \pi/2\) rad

Chúng ta cũng có thể tính chu kì của con lắc thứ nhất (và cũng là chu kì của con lắc thứ hai vì chúng có cùng tần số):

\(T = \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{20\pi} = \frac{1}{10}\) s

Bước 2: Xác định các thông số của con lắc thứ hai.

Đề bài cho biết con lắc thứ hai có:

• Cùng biên độ:
  \(A_2 = A_1 = 20\) cm
• Cùng tần số (hay tần số góc):
  \(\omega_2 = \omega_1 = 20\pi\) rad/s
• Lệch về thời gian so với con lắc thứ nhất một phần tư chu kì:
  Ý này có nghĩa là con lắc thứ hai dao động “trễ” hơn con lắc thứ nhất một khoảng thời gian bằng \(T/4\).
  Khi một dao động bị trễ về thời gian \(\Delta t\), thì pha của nó sẽ nhỏ hơn pha của dao động chuẩn một lượng là \(\Delta\varphi = \omega \Delta t\).
  
  Trong trường hợp này, \(\Delta t = \frac{T}{4}\).
  
  Vậy, độ lệch pha \(\Delta\varphi\) là:
  
  \(\Delta\varphi = \omega_2 \times \Delta t = 20\pi \times \frac{T}{4}\)
  
  Vì \(T = \frac{1}{10}\) s, ta có:
  
  \(\Delta\varphi = 20\pi \times \frac{1/10}{4} = 20\pi \times \frac{1}{40} = \frac{20\pi}{40} = \frac{\pi}{2}\) rad
  
  Do con lắc thứ hai “lệch về thời gian” (hay trễ pha) so với con lắc thứ nhất, pha ban đầu của con lắc thứ hai (\(\varphi_2\)) sẽ bằng pha ban đầu của con lắc thứ nhất (\(\varphi_1\)) trừ đi độ lệch pha \(\Delta\varphi\).
  
  \(\varphi_2 = \varphi_1 – \Delta\varphi\)
  
  \(\varphi_2 = \pi/2 – \pi/2 = 0\) rad

Bước 3: Viết phương trình dao động của con lắc thứ hai.

Sau khi đã xác định được tất cả các thông số của con lắc thứ hai:

• \(A_2 = 20\) cm
• \(\omega_2 = 20\pi\) rad/s
• \(\varphi_2 = 0\) rad

Chúng ta thay các giá trị này vào phương trình dao động tổng quát \(x_2 = A_2\cos(\omega_2 t + \varphi_2)\):

\(x_2 = 20\cos(20\pi t + 0)\) (cm)

Hay đơn giản hơn là:

\(x_2 = 20\cos(20\pi t)\) (cm)

Kết luận:

Vậy, phương trình dao động của con lắc thứ hai là:

\(x_2 = 20\cos(20\pi t)\) (cm)

Các em nhớ nhé, khi gặp các bài toán liên quan đến độ lệch pha hoặc lệch thời gian, chúng ta cần chú ý đến mối quan hệ giữa chúng qua công thức \(\Delta\varphi = \omega \Delta t\), và xác định xem dao động đó là sớm pha hay trễ pha để cộng hoặc trừ pha ban đầu cho đúng nhé! Chúc các em học tốt!