Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập khá thú vị về chuyển động có gia tốc của đoàn tàu. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ các giai đoạn chuyển động và áp dụng đúng các công thức.

Đề bài: Đoàn tàu gồm đầu kéo 10 toa. Chiều dài đầu tàu và mỗi toa đều bằng 10m. Đầu tàu đi ngang qua người quan sát (đứng yên) trong 2,1s, toa thứ nhất đi qua người quan sát trong 2s. Cả đoàn tàu đi qua người quan sát trong bao nhiêu lâu?

Phân tích đề bài:

Chúng ta có các thông tin sau:

• Chiều dài đầu tàu: \(L_đ = 10 \text{ m}\)
• Chiều dài mỗi toa: \(L_t = 10 \text{ m}\)
• Thời gian đầu tàu đi qua người quan sát: \(t_đ = 2,1 \text{ s}\)
• Thời gian toa thứ nhất đi qua người quan sát: \(t_1 = 2 \text{ s}\)
• Tổng số toa: 10 toa.

Lưu ý quan trọng: Nếu đoàn tàu chuyển động đều (tức là vận tốc không đổi), thì thời gian đầu tàu và toa thứ nhất (có cùng chiều dài 10m) đi qua người quan sát phải bằng nhau. Tuy nhiên, đề bài cho hai giá trị thời gian khác nhau (\(t_đ = 2,1 \text{ s}\) và \(t_1 = 2 \text{ s}\)), điều này chứng tỏ đoàn tàu đang chuyển động với vận tốc thay đổi, cụ thể là có gia tốc (vì thời gian đi qua cùng một quãng đường là 10m lại giảm, nghĩa là vận tốc tăng lên).

Vì vậy, chúng ta sẽ giả định đoàn tàu chuyển động nhanh dần đều với gia tốc không đổi.

Gọi các đại lượng cần tìm:

• Gọi \(v_0\) là vận tốc của đầu tàu khi nó bắt đầu đi ngang qua người quan sát (tức là mũi đầu tàu vừa đến vị trí người quan sát).
• Gọi \(a\) là gia tốc của đoàn tàu.

Phương trình chuyển động:

Đối với chuyển động nhanh dần đều, quãng đường đi được \(s\) được tính bằng công thức:

\(s = v_i t + \frac{1}{2} a t^2\)

trong đó \(v_i\) là vận tốc ban đầu của đoạn vật thể khi bắt đầu đi ngang qua người quan sát, \(t\) là thời gian đoạn vật thể đó đi qua người quan sát.

Bước 1: Thiết lập phương trình cho đầu tàu và toa thứ nhất

1. Đối với đầu tàu:

Khi đầu tàu đi qua người quan sát, quãng đường nó đi được chính là chiều dài của nó (\(L_đ = 10 \text{ m}\)). Vận tốc ban đầu là \(v_0\), thời gian là \(t_đ = 2,1 \text{ s}\).

Ta có phương trình:

\(L_đ = v_0 t_đ + \frac{1}{2} a t_đ^2\)

\(10 = v_0 (2,1) + \frac{1}{2} a (2,1)^2\)

\(10 = 2,1 v_0 + 2,205 a \quad (1)\)

2. Đối với toa thứ nhất:

Để toa thứ nhất đi qua người quan sát, trước hết đầu tàu phải đi qua hết người quan sát. Khi đuôi đầu tàu vừa rời khỏi vị trí người quan sát, thì mũi của toa thứ nhất (nối liền với đuôi đầu tàu) bắt đầu đi qua người quan sát.

Vận tốc của đoàn tàu tại thời điểm đuôi đầu tàu rời khỏi người quan sát (hay mũi toa thứ nhất bắt đầu đến người quan sát) là \(v_1\).

Ta có công thức vận tốc sau khoảng thời gian \(t_đ\):

\(v_1 = v_0 + a t_đ\)

\(v_1 = v_0 + a (2,1)\)

Bây giờ, toa thứ nhất (dài \(L_t = 10 \text{ m}\)) đi qua người quan sát trong thời gian \(t_1 = 2 \text{ s}\) với vận tốc ban đầu của toa này là \(v_1\).

Ta có phương trình:

\(L_t = v_1 t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2\)

\(10 = (v_0 + 2,1 a) (2) + \frac{1}{2} a (2)^2\)

\(10 = 2 v_0 + 4,2 a + 2 a\)

\(10 = 2 v_0 + 6,2 a \quad (2)\)

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm \(v_0\) và \(a\)

Ta có hệ phương trình gồm (1) và (2):

(1) \(2,1 v_0 + 2,205 a = 10\)

(2) \(2 v_0 + 6,2 a = 10\)

Từ phương trình (2), ta có thể rút \(v_0\) theo \(a\):

\(2 v_0 = 10 – 6,2 a\)

\(v_0 = 5 – 3,1 a \quad (3)\)

Thay (3) vào (1):

\(2,1 (5 – 3,1 a) + 2,205 a = 10\)

\(10,5 – 6,51 a + 2,205 a = 10\)

\(0,5 = (6,51 – 2,205) a\)

\(0,5 = 4,305 a\)

\(a = \frac{0,5}{4,305} = \frac{500}{4305} = \frac{100}{861} \text{ m/s}^2\)

Giá trị xấp xỉ của \(a \approx 0,1161 \text{ m/s}^2\)

Thay giá trị \(a\) vào (3) để tìm \(v_0\):

\(v_0 = 5 – 3,1 \times \frac{100}{861}\)

\(v_0 = 5 – \frac{310}{861}\)

\(v_0 = \frac{5 \times 861 – 310}{861} = \frac{4305 – 310}{861} = \frac{3995}{861} \text{ m/s}\)

Giá trị xấp xỉ của \(v_0 \approx 4,64 \text{ m/s}\)

Bước 3: Tính tổng chiều dài đoàn tàu

Đoàn tàu gồm 1 đầu kéo và 10 toa. Mỗi bộ phận dài 10m.

Tổng chiều dài đoàn tàu \(L_{toàn\ tàu} = L_đ + 10 \times L_t\)

\(L_{toàn\ tàu} = 10 \text{ m} + 10 \times 10 \text{ m} = 10 \text{ m} + 100 \text{ m} = 110 \text{ m}\)

Bước 4: Tính thời gian cả đoàn tàu đi qua người quan sát

Gọi \(T\) là tổng thời gian cả đoàn tàu đi qua người quan sát. Đây là thời gian từ lúc mũi đầu tàu bắt đầu đến vị trí người quan sát cho đến khi đuôi toa cuối cùng rời khỏi vị trí người quan sát.

Ta sử dụng công thức quãng đường \(s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\).

Trong trường hợp này, quãng đường là tổng chiều dài đoàn tàu \(L_{toàn\ tàu} = 110 \text{ m}\), vận tốc ban đầu là \(v_0\), gia tốc là \(a\), và thời gian là \(T\).

\(L_{toàn\ tàu} = v_0 T + \frac{1}{2} a T^2\)

\(110 = \frac{3995}{861} T + \frac{1}{2} \times \frac{100}{861} T^2\)

\(110 = \frac{3995}{861} T + \frac{50}{861} T^2\)

Nhân cả hai vế với 861 để loại bỏ mẫu số:

\(110 \times 861 = 3995 T + 50 T^2\)

\(94710 = 3995 T + 50 T^2\)

Chuyển về dạng phương trình bậc hai: \(50 T^2 + 3995 T – 94710 = 0\)

Để đơn giản, chúng ta có thể chia cả phương trình cho 5:

\(10 T^2 + 799 T – 18942 = 0\)

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\):

\(T = \frac{-799 \pm \sqrt{799^2 – 4(10)(-18942)}}{2(10)}\)

\(T = \frac{-799 \pm \sqrt{638401 + 757680}}{20}\)

\(T = \frac{-799 \pm \sqrt{1396081}}{20}\)

Tính căn bậc hai: \(\sqrt{1396081} \approx 1181,55\)

Vì thời gian \(T\) phải là một giá trị dương, chúng ta chọn nghiệm dương:

\(T = \frac{-799 + 1181,55}{20}\)

\(T = \frac{382,55}{20}\)

\(T \approx 19,1275 \text{ s}\)

Làm tròn đến một chữ số thập phân (thường đủ cho các bài vật lý):

\(T \approx 19,1 \text{ s}\)

Kết luận:

Cả đoàn tàu sẽ đi qua người quan sát trong khoảng 19,1 giây.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách phân tích đề, lập phương trình và giải quyết bài toán chuyển động có gia tốc. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!