Chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa khá thú vị. Bài toán yêu cầu xác định chu kì dao động của một chất điểm dựa trên thông tin về biên độ, tốc độ và khoảng thời gian.

Trước hết, chúng ta hãy cùng phân tích các dữ kiện bài toán đã cho:

• Vật dao động điều hòa với chu kì \(T\).
• Biên độ dao động: \(A = 10\) cm.
• Tốc độ của vật không vượt quá \(20\pi\sqrt{3}\) cm/s. Ký hiệu tốc độ này là \(v_0\). Tức là \(|v| \le v_0 = 20\pi\sqrt{3}\) cm/s.
• Khoảng thời gian để tốc độ của vật thỏa mãn điều kiện trên (tức là \(|v| \le v_0\)) trong một chu kì là \(\Delta t = 2T/3\).
• Yêu cầu: Xác định chu kì dao động \(T\).

Bây giờ, chúng ta sẽ bắt tay vào giải bài toán nhé!

Bước 1: Thiết lập các công thức cơ bản về vận tốc trong dao động điều hòa.

Chúng ta biết rằng, vận tốc của vật dao động điều hòa có biểu thức:

\(v = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\)

Trong đó:

• \(A\) là biên độ.
• \(\omega\) là tần số góc, với \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).
• \(t\) là thời gian.
• \(\phi\) là pha ban đầu.

Tốc độ của vật là độ lớn của vận tốc:

\(|v| = | -A\omega\sin(\omega t + \phi) | = A\omega |\sin(\omega t + \phi)|\)

Vận tốc cực đại của vật là:

\(v_{max} = A\omega\)

Ngoài ra, chúng ta còn có mối liên hệ giữa vận tốc và li độ \(x\):

\(v^2 = \omega^2(A^2 – x^2)\)
Hay \(|v| = \omega\sqrt{A^2 – x^2}\)

Bước 2: Phân tích điều kiện về tốc độ và thời gian.

Bài toán cho biết khoảng thời gian mà tốc độ của vật không vượt quá \(v_0\) là \(\Delta t = 2T/3\). Tức là \(|v| \le v_0\).
Sử dụng công thức \(|v| = \omega\sqrt{A^2 – x^2}\), điều kiện \(|v| \le v_0\) trở thành:

\(\omega\sqrt{A^2 – x^2} \le v_0\)

Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều dương):

\(\omega^2(A^2 – x^2) \le v_0^2\)

\(A^2 – x^2 \le \frac{v_0^2}{\omega^2}\)

\(x^2 \ge A^2 – \frac{v_0^2}{\omega^2}\)

Đặt \(x_0 = \sqrt{A^2 – \frac{v_0^2}{\omega^2}}\). Khi đó, điều kiện trở thành:

\(x^2 \ge x_0^2 \implies |x| \ge x_0\)

Điều này có nghĩa là, trong một chu kì, thời gian vật có tốc độ không vượt quá \(v_0\) chính là khoảng thời gian vật đi trong các đoạn li độ từ \(x = -A\) đến \(x = -x_0\) và từ \(x = x_0\) đến \(x = A\).

Chúng ta có thể hình dung trên đường tròn lượng giác hoặc trục tọa độ. Thời gian để vật đi từ \(x_0\) đến \(A\) là \(t_1\), và từ \(A\) về \(x_0\) cũng là \(t_1\). Tương tự, thời gian từ \(-x_0\) đến \(-A\) là \(t_1\) và từ \(-A\) về \(-x_0\) cũng là \(t_1\).
Tổng thời gian trong một chu kì để vật thỏa mãn điều kiện \(|x| \ge x_0\) là \(4t_1\).

Vậy, ta có: \(\Delta t = 4t_1\)

Theo đề bài, \(\Delta t = \frac{2T}{3}\). Do đó:

\(4t_1 = \frac{2T}{3}\)
\(\implies t_1 = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}\)

Thời gian \(t_1\) là thời gian vật đi từ vị trí \(x_0\) đến biên \(A\).
Công thức tính thời gian từ một li độ \(x_0\) đến biên \(A\) là \(t_1 = \frac{1}{\omega} \arccos\left(\frac{x_0}{A}\right)\).

Vậy ta có:

\(\frac{T}{6} = \frac{1}{\omega} \arccos\left(\frac{x_0}{A}\right)\)

Thay \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) vào:

\(\frac{T}{6} = \frac{T}{2\pi} \arccos\left(\frac{x_0}{A}\right)\)

Rút gọn \(T\) ở cả hai vế:

\(\frac{1}{6} = \frac{1}{2\pi} \arccos\left(\frac{x_0}{A}\right)\)

\(\arccos\left(\frac{x_0}{A}\right) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\)

Từ đó, ta suy ra tỉ số \(\frac{x_0}{A}\):

\(\frac{x_0}{A} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)

\(\implies x_0 = \frac{A}{2}\)

Bước 3: Thay \(x_0\) trở lại biểu thức và tìm \(\omega\).

Chúng ta có \(x_0 = \sqrt{A^2 – \frac{v_0^2}{\omega^2}}\).
Thay \(x_0 = \frac{A}{2}\) vào:

\(\frac{A}{2} = \sqrt{A^2 – \frac{v_0^2}{\omega^2}}\)

Bình phương hai vế:

\(\left(\frac{A}{2}\right)^2 = A^2 – \frac{v_0^2}{\omega^2}\)

\(\frac{A^2}{4} = A^2 – \frac{v_0^2}{\omega^2}\)

Chuyển vế để tìm \(\frac{v_0^2}{\omega^2}\):

\(\frac{v_0^2}{\omega^2} = A^2 – \frac{A^2}{4} = \frac{3A^2}{4}\)

Lấy căn bậc hai hai vế (vì \(v_0, \omega, A\) đều dương):

\(\frac{v_0}{\omega} = \sqrt{\frac{3A^2}{4}} = \frac{A\sqrt{3}}{2}\)

Từ đây, ta tính được \(\omega\):

\(\omega = \frac{2v_0}{A\sqrt{3}}\)

Bước 4: Thay số liệu vào để tính toán.

Đề bài cho:
\(A = 10\) cm
\(v_0 = 20\pi\sqrt{3}\) cm/s

Thay vào biểu thức của \(\omega\):

\(\omega = \frac{2 \times (20\pi\sqrt{3})}{10\sqrt{3}}\)

\(\omega = \frac{40\pi\sqrt{3}}{10\sqrt{3}}\)

\(\omega = 4\pi\) rad/s

Bước 5: Xác định chu kì dao động \(T\).

Mối liên hệ giữa tần số góc và chu kì là \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).
Từ đó, ta có:

\(T = \frac{2\pi}{\omega}\)

Thay giá trị \(\omega = 4\pi\) rad/s vào:

\(T = \frac{2\pi}{4\pi}\)

\(T = \frac{1}{2}\) s

Vậy, chu kì dao động của chất điểm là \(0.5\) giây.

Tóm tắt các bước giải:

1. Dùng mối quan hệ giữa tốc độ và li độ (\(|v| = \omega\sqrt{A^2 – x^2}\)) để chuyển điều kiện về tốc độ \(|v| \le v_0\) thành điều kiện về li độ \(|x| \ge x_0\).
2. Xác định khoảng thời gian mà vật thỏa mãn \(|x| \ge x_0\) trong một chu kì, và liên hệ nó với khoảng thời gian đã cho \(\Delta t = 2T/3\).
3. Từ đó, tính được tỉ số \(\frac{x_0}{A}\). Cụ thể, ta tìm được \(x_0 = A/2\).
4. Thay \(x_0 = A/2\) trở lại biểu thức liên hệ giữa \(x_0\), \(A\), \(v_0\) và \(\omega\) để tìm ra \(\omega\).
5. Cuối cùng, dùng công thức \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) để tính chu kì \(T\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách xử lý dạng bài tập này. Chúc các em học tốt!