Chào các em học sinh lớp 10,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán vật lý về chuyển động biến đổi đều, cụ thể là chuyển động chậm dần đều. Đây là một dạng bài rất hay, đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ về các công thức và cách áp dụng chúng một cách linh hoạt.

Đề bài:

Một người quan sát tàu thấy nó chuyển động chậm dần đều. Quan sát thấy toa 1 đi qua mặt hết 0,5s toa 10 hết 2s. Biết độ dài 1 toa là 10m. Tìm vận tốc ban đầu của tàu và gia tốc của nó.

Phân tích bài toán và Chọn hệ quy chiếu:

• Loại chuyển động: Chậm dần đều. Điều này có nghĩa gia tốc \(a\) sẽ có giá trị âm (ngược chiều với chiều chuyển động) nếu chúng ta chọn chiều chuyển động là chiều dương.
• Các đại lượng đã biết:
• Độ dài mỗi toa tàu: \(L = 10\)m
• Thời gian toa 1 đi qua người quan sát: \(\Delta t_1 = 0,5\)s
• Thời gian toa 10 đi qua người quan sát: \(\Delta t_{10} = 2\)s
• Các đại lượng cần tìm:
• Vận tốc ban đầu của tàu (khi toa 1 bắt đầu đi qua người quan sát): \(v_0\)
• Gia tốc của tàu: \(a\)
• Hệ quy chiếu:
• Chọn gốc tọa độ \(x=0\) tại vị trí người quan sát.
• Chọn gốc thời gian \(t=0\) là lúc đầu toa 1 bắt đầu đi qua người quan sát.
• Chiều dương là chiều chuyển động của tàu.

Các công thức áp dụng:

Vì đây là chuyển động biến đổi đều, chúng ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản sau:

1. Phương trình quãng đường: \(s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)

2. Công thức độc lập với thời gian: \(v^2 – v_0^2 = 2as\)

Tiến hành giải:

Bước 1: Thiết lập phương trình cho toa 1.

Khi toa 1 đi qua người quan sát, quãng đường mà nó đi được chính là chiều dài của toa tàu, tức là \(L = 10\)m. Thời gian toa 1 đi qua là \(\Delta t_1 = 0,5\)s. Vận tốc ban đầu của toa 1 khi bắt đầu qua người quan sát chính là vận tốc ban đầu của tàu mà chúng ta cần tìm (\(v_0\)).

Áp dụng công thức quãng đường \(s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) cho chuyển động của toa 1:

\(L = v_0 \Delta t_1 + \frac{1}{2}a (\Delta t_1)^2\)

\(10 = v_0 (0,5) + \frac{1}{2}a (0,5)^2\)

\(10 = 0,5 v_0 + 0,125 a\) (Phương trình 1)

Bước 2: Thiết lập phương trình cho toa 10.

Để giải quyết vấn đề với toa 10, chúng ta cần xác định vận tốc của tàu khi toa 10 bắt đầu đi qua người quan sát. Gọi vận tốc này là \(v_{10}\).

Quãng đường mà tàu đã đi từ lúc đầu toa 1 đến lúc đầu toa 10 bắt đầu đi qua người quan sát là quãng đường của 9 toa tàu (từ toa 1 đến toa 9), tức là \(S_{10\_start} = (10-1) \times L = 9 \times 10 = 90\)m.

Áp dụng công thức độc lập với thời gian \(v^2 – v_0^2 = 2as\) cho quãng đường từ đầu toa 1 đến đầu toa 10:

\(v_{10}^2 – v_0^2 = 2aS_{10\_start}\)

\(v_{10}^2 – v_0^2 = 2a(90)\)

\(v_{10}^2 – v_0^2 = 180a\) (Phương trình 2)

Tiếp theo, ta xét chuyển động của riêng toa 10 khi nó đi qua người quan sát. Quãng đường toa 10 đi được là \(L = 10\)m, thời gian là \(\Delta t_{10} = 2\)s. Vận tốc ban đầu của toa 10 khi bắt đầu đi qua người quan sát là \(v_{10}\).

Áp dụng công thức quãng đường \(s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) cho toa 10:

\(L = v_{10} \Delta t_{10} + \frac{1}{2}a (\Delta t_{10})^2\)

\(10 = v_{10} (2) + \frac{1}{2}a (2)^2\)

\(10 = 2 v_{10} + 2a\) (Phương trình 3)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có hệ 3 phương trình với 3 ẩn \(v_0, a, v_{10}\):

(1) \(10 = 0,5 v_0 + 0,125 a\)

(2) \(v_{10}^2 – v_0^2 = 180a\)

(3) \(10 = 2 v_{10} + 2a\)

Từ (1), nhân cả hai vế với 8 để loại bỏ số thập phân:

\(80 = 4v_0 + a \Rightarrow a = 80 – 4v_0\) (Phương trình A)

Từ (3), chia cả hai vế cho 2:

\(5 = v_{10} + a \Rightarrow v_{10} = 5 – a\) (Phương trình B)

Thay (A) vào (B) để tìm \(v_{10}\) theo \(v_0\):

\(v_{10} = 5 – (80 – 4v_0)\)

\(v_{10} = 5 – 80 + 4v_0\)

\(v_{10} = 4v_0 – 75\) (Phương trình C)

Bây giờ, thay (A) và (C) vào (2):

\((4v_0 – 75)^2 – v_0^2 = 180(80 – 4v_0)\)

Khai triển vế trái:

\(16v_0^2 – 2 \cdot (4v_0) \cdot 75 + 75^2 – v_0^2 = 180 \cdot 80 – 180 \cdot 4v_0\)

\(16v_0^2 – 600v_0 + 5625 – v_0^2 = 14400 – 720v_0\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và rút gọn:

\(15v_0^2 – 600v_0 + 720v_0 + 5625 – 14400 = 0\)

\(15v_0^2 + 120v_0 – 8775 = 0\)

Chia cả phương trình cho 15 để đơn giản:

\(v_0^2 + 8v_0 – 585 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c = 0\). Ta dùng công thức nghiệm: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)

\(v_0 = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 – 4(1)(-585)}}{2(1)}\)

\(v_0 = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 2340}}{2}\)

\(v_0 = \frac{-8 \pm \sqrt{2404}}{2}\)

\(v_0 = \frac{-8 \pm 49,03}{2}\)

Ta có hai nghiệm:

\(v_{0_1} = \frac{-8 + 49,03}{2} = \frac{41,03}{2} \approx 20,515\) m/s

\(v_{0_2} = \frac{-8 – 49,03}{2} = \frac{-57,03}{2} \approx -28,515\) m/s

Vì tàu đang chuyển động theo chiều dương mà chúng ta đã chọn, vận tốc ban đầu phải là một giá trị dương. Do đó, ta chọn \(v_0 \approx 20,515\) m/s.

Bước 4: Tính gia tốc \(a\).

Sử dụng lại Phương trình A: \(a = 80 – 4v_0\)

\(a = 80 – 4(20,515)\)

\(a = 80 – 82,06\)

\(a = -2,06\) m/s\(^2\)

Giá trị gia tốc âm là hoàn toàn hợp lý vì tàu chuyển động chậm dần đều.

Kiểm tra lại (không bắt buộc nhưng giúp tăng độ tin cậy của kết quả):

Tính \(v_{10}\) bằng Phương trình C: \(v_{10} = 4v_0 – 75 = 4(20,515) – 75 = 82,06 – 75 = 7,06\) m/s.

Vì \(v_{10} > 0\), tàu vẫn đang chuyển động khi toa 10 đi qua, điều này phù hợp với mô tả “chuyển động chậm dần đều” (nghĩa là chưa dừng hẳn).

Kết luận:

Vậy, vận tốc ban đầu của tàu là: \(v_0 \approx 20,52\) m/s

Và gia tốc của tàu là: \(a \approx -2,06\) m/s\(^2\)

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách áp dụng các công thức về chuyển động biến đổi đều, cách xây dựng hệ phương trình và giải quyết các bài toán có nhiều thông tin phức tạp. Quan trọng là các em phải xác định đúng các đại lượng vật lý tại các thời điểm khác nhau.

Chúc các em học tốt!

Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn