Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa. Đề bài cho chúng ta biết biên độ dao động

a=10

(cm) và chu kỳ

t=0,2s

. Chúng ta cần viết phương trình dao động tại các vị trí

x1=5

,

x2=10 cm

,

x3=5 cân 2 cm

và

x4=0

.

1. Xác định các đại lượng cần thiết:

Trước hết, chúng ta cần tính tần số góc \(\omega\). Chu kỳ

T

và tần số góc \(\omega\) có mối liên hệ là

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

.

Thay số vào, ta có:

\(\omega = \frac{2\pi}{0,2} = 10\pi\) rad/s

.

Phương trình dao động điều hòa có dạng tổng quát là

x = A \cos(\omega t + \phi)

, trong đó

A

là biên độ,

\(\omega\)

là tần số góc,

t

là thời gian và

\(\phi\)

là pha ban đầu.

2. Giải từng trường hợp:

a. Tại vị trí \(x1 = 5\) cm:

Ta có

x = 5\) cm

,

A = 10\) cm

,

\(\omega = 10\pi\) rad/s

.

Thay vào phương trình

x = A \cos(\omega t + \phi)\)

:

5 = 10 \cos(10\pi t + \phi)\)

\(\cos(10\pi t + \phi) = \frac{5}{10} = 0.5\)

Điều này có nghĩa là

10\pi t + \phi = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) (với

k

là số nguyên)

.

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu viết phương trình tại một vị trí cụ thể, tức là chúng ta cần tìm

\(\phi\)

ứng với một thời điểm

t

nào đó mà

x=5

. Nếu không có thông tin về thời điểm

t

, chúng ta có thể hiểu là tìm các giá trị

\(\phi\)

có thể có khi vật đi qua

x=5

.

Nếu giả sử tại

t=0

, vật đang ở vị trí

x=5

và chuyển động theo chiều dương, thì ta có:

5 = 10 \cos(\phi)\)

\(\cos(\phi) = 0.5\)

\(\phi = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)

Vì vật chuyển động theo chiều dương tại

x=5

, nên

\(v = -A\omega \sin(\omega t + \phi) > 0\)

. Tại

t=0

,

\(v = -10(10\pi) \sin(\phi) > 0\)

, suy ra

\(\sin(\phi) < 0\)

. Do đó, ta chọn

\(\phi = -\frac{\pi}{3}\)

.

Vậy phương trình dao động là:

x = 10 \cos(10\pi t – \frac{\pi}{3})\)

.

Nếu giả sử tại

t=0

, vật đang ở vị trí

x=5

và chuyển động theo chiều âm, thì ta có:

v = -10(10\pi) \sin(\phi) < 0\)

, suy ra

\(\sin(\phi) > 0\)

. Do đó, ta chọn

\(\phi = \frac{\pi}{3}\)

.

Vậy phương trình dao động là:

x = 10 \cos(10\pi t + \frac{\pi}{3})\)

.

Lưu ý: Nếu đề bài không cho rõ chiều chuyển động tại

x=5

, có hai trường hợp có thể xảy ra. Tuy nhiên, trong các bài tập phổ thông, thường sẽ có thêm thông tin hoặc ngầm định về thời điểm ban đầu.

b. Tại vị trí \(x2 = 10\) cm:

Vị trí

x2 = 10\) cm

chính là biên độ

A

. Khi vật ở biên, vận tốc bằng 0.

Ta có

x = 10\) cm

,

A = 10\) cm

.

10 = 10 \cos(10\pi t + \phi)\)

\(\cos(10\pi t + \phi) = 1\)

10\pi t + \phi = 2k\pi\)

Nếu giả sử tại

t=0

, vật ở biên dương, thì

\(\phi = 0\)

. Phương trình dao động là:

x = 10 \cos(10\pi t)\)

.

Nếu giả sử tại

t=0

, vật ở biên âm, thì

\(\phi = \pi\)

. Phương trình dao động là:

x = 10 \cos(10\pi t + \pi) = -10 \cos(10\pi t)\)

.

Tuy nhiên,

x2 = 10 cm

là một giá trị cụ thể, không phải là một trạng thái dao động. Để viết phương trình, chúng ta cần biết thời điểm vật đạt đến vị trí này.

Nếu câu hỏi có ý là “viết phương trình dao động nếu biết vật đi qua vị trí

x=10 cm

“, thì cần thêm thông tin về thời điểm hoặc chiều chuyển động.

Giả sử ý đề bài là “nếu tại

t=0

, vật ở vị trí

x=10 cm

“. Thì có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Vật đang đứng yên tại biên dương. Khi đó

\(\phi = 0\)

. Phương trình là

x = 10 \cos(10\pi t)\)

.

Trường hợp 2: Vật đang đứng yên tại biên âm. Khi đó

\(\phi = \pi\)

. Phương trình là

x = 10 \cos(10\pi t + \pi)\)

.

c. Tại vị trí \(x3 = 5\sqrt{2}\) cm:

Ta có

x = 5\sqrt{2}\)

,

A = 10\)

,

\(\omega = 10\pi\)

.

5\sqrt{2} = 10 \cos(10\pi t + \phi)\)

\(\cos(10\pi t + \phi) = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

10\pi t + \phi = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi\)

Tương tự như trường hợp a, nếu giả sử tại

t=0

, vật ở vị trí

x=5\sqrt{2}

và chuyển động theo chiều dương:

5\sqrt{2} = 10 \cos(\phi)\)

\(\cos(\phi) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\phi = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi\)

Vận tốc

v = -10(10\pi) \sin(\phi) > 0\)

, suy ra

\(\sin(\phi) < 0\)

. Ta chọn

\(\phi = -\frac{\pi}{4}\)

.

Vậy phương trình dao động là:

x = 10 \cos(10\pi t – \frac{\pi}{4})\)

.

Nếu giả sử tại

t=0

, vật ở vị trí

x=5\sqrt{2}

và chuyển động theo chiều âm:

v = -10(10\pi) \sin(\phi) < 0\)

, suy ra

\(\sin(\phi) > 0\)

. Ta chọn

\(\phi = \frac{\pi}{4}\)

.

Vậy phương trình dao động là:

x = 10 \cos(10\pi t + \frac{\pi}{4})\)

.

d. Tại vị trí \(x4 = 0\):

Vị trí

x4 = 0\)

là vị trí cân bằng.

Ta có

x = 0\)

,

A = 10\)

,

\(\omega = 10\pi\)

.

0 = 10 \cos(10\pi t + \phi)\)

\(\cos(10\pi t + \phi) = 0\)

10\pi t + \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi\)

Nếu giả sử tại

t=0

, vật ở vị trí cân bằng và chuyển động theo chiều dương:

0 = 10 \cos(\phi)\)

\(\cos(\phi) = 0\)

\(\phi = \frac{\pi}{2} + k\pi\)

Vận tốc

v = -10(10\pi) \sin(\phi) > 0\)

, suy ra

\(\sin(\phi) < 0\)

. Ta chọn

\(\phi = -\frac{\pi}{2}\)

.

Vậy phương trình dao động là:

x = 10 \cos(10\pi t – \frac{\pi}{2})\)

. (Hoặc

x = 10 \sin(10\pi t)\)

)

Nếu giả sử tại

t=0

, vật ở vị trí cân bằng và chuyển động theo chiều âm:

v = -10(10\pi) \sin(\phi) < 0\)

, suy ra

\(\sin(\phi) > 0\)

. Ta chọn

\(\phi = \frac{\pi}{2}\)

.

Vậy phương trình dao động là:

x = 10 \cos(10\pi t + \frac{\pi}{2})\)

. (Hoặc

x = -10 \sin(10\pi t)\)

)

Kết luận chung:

Bài toán này cho chúng ta biên độ và chu kỳ, yêu cầu viết phương trình dao động tại các vị trí cụ thể. Điểm mấu chốt là chúng ta cần xác định được pha ban đầu \(\phi\). Để làm được điều này, chúng ta cần thêm thông tin về trạng thái của vật (vị trí và chiều chuyển động) tại một thời điểm nhất định, thường là tại

t=0

. Nếu đề bài không cung cấp đầy đủ thông tin, chúng ta cần đưa ra các trường hợp có thể xảy ra, hoặc làm rõ các giả định của mình.

Hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ hơn về cách viết phương trình dao động điều hòa. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!