Bài toán: Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn hình thu được lần lượt là \(i_1=2,4mm\) và \(i_2=1,6mm\). Khoảng cách ngắn nhất giữa các vị trí trên màn có 2 vân sáng trùng nhau là bao nhiêu \(mm\)?

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại kiến thức về điều kiện để có vân sáng và vân sáng trùng nhau.

1. Điều kiện để có vân sáng:

Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng, vân sáng tại một điểm trên màn quan sát được xác định bởi hiệu quang trình \(d_2 – d_1 = k\lambda\), trong đó \(k\) là một số nguyên dương (từ 0 trở lên).

Đối với thí nghiệm Young, vị trí của vân sáng thứ \(k\) của bức xạ có bước sóng \(\lambda\) được tính bằng công thức: \(x_k = \frac{k\lambda D}{a}\), trong đó \(D\) là khoảng cách từ màn giao thoa đến màn ảnh, và \(a\) là khoảng cách giữa hai khe S1 và S2.

Ta định nghĩa khoảng vân \(i = \frac{\lambda D}{a}\). Như vậy, vị trí của vân sáng thứ \(k\) có thể viết gọn là \(x_k = ki\).

2. Điều kiện để có vân sáng trùng nhau:

Khi có hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân lần lượt là \(i_1\) và \(i_2\), một vị trí trên màn sẽ có hai vân sáng trùng nhau nếu vị trí đó là vân sáng của cả hai bức xạ.

Giả sử tại vị trí \(x\) có vân sáng trùng nhau. Khi đó, vị trí này phải là vân sáng thứ \(k_1\) của bức xạ thứ nhất và là vân sáng thứ \(k_2\) của bức xạ thứ hai.

Ta có:

\(x = k_1 i_1\) (với \(k_1\) là số nguyên)

\(x = k_2 i_2\) (với \(k_2\) là số nguyên)

Do đó, để có vân sáng trùng nhau, ta phải có: \(k_1 i_1 = k_2 i_2\).

3. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa các vị trí vân sáng trùng nhau:

Chúng ta cần tìm giá trị \(x\) nhỏ nhất, khác 0, sao cho \(x\) vừa là bội của \(i_1\) vừa là bội của \(i_2\). Nói cách khác, \(x\) phải là bội chung nhỏ nhất của \(i_1\) và \(i_2\).

Ta có \(i_1 = 2,4mm\) và \(i_2 = 1,6mm\).

Ta có thể tìm bội chung nhỏ nhất của \(2,4\) và \(1,6\) theo các bước sau:

Bước 1: Biểu diễn \(i_1\) và \(i_2\) dưới dạng phân số hoặc đưa về cùng một đơn vị thập phân, sau đó quy đồng mẫu số để dễ so sánh.

Ở đây, chúng ta có thể làm việc trực tiếp với số thập phân. Tuy nhiên, để tránh sai sót khi tìm bội chung, ta có thể quy đổi chúng về dạng phân số hoặc đưa về tỉ lệ nguyên.

Ta có tỉ lệ: \(\frac{i_1}{i_2} = \frac{2,4}{1,6} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}\).

Từ tỉ lệ này, ta suy ra \(2i_1 = 3i_2\). Điều này có nghĩa là vị trí vân sáng trùng nhau đầu tiên (khác vị trí trung tâm \(x=0\)) sẽ xuất hiện khi số vân của bức xạ 1 là 3 và số vân của bức xạ 2 là 2.

Bước 2: Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của \(i_1\) và \(i_2\).

Ta có thể làm theo cách tìm BCNN của hai số nguyên. Để làm điều này, ta có thể nhân cả \(i_1\) và \(i_2\) với 10 để mất dấu phẩy: \(i_1′ = 24\), \(i_2′ = 16\).

Phân tích các số này ra thừa số nguyên tố:

\(24 = 2^3 \times 3^1\)

\(16 = 2^4\)

BCNN của 24 và 16 là: \(BCNN(24, 16) = 2^{\max(3,4)} \times 3^{\max(1,0)} = 2^4 \times 3^1 = 16 \times 3 = 48\).

Vì chúng ta đã nhân các khoảng vân với 10, nên BCNN thực tế của \(i_1\) và \(i_2\) sẽ là: \(BCNN(i_1, i_2) = \frac{48}{10} = 4,8\).

Hoặc, theo tỉ lệ đã tìm được ở Bước 1: \(k_1 i_1 = k_2 i_2\). Chúng ta muốn tìm \(x\) nhỏ nhất khác 0.
Ta có: \(k_1 \times 2,4 = k_2 \times 1,6\).
Chia cả hai vế cho 0,8 (ước chung lớn nhất của 2,4 và 1,6):
\(k_1 \times 3 = k_2 \times 2\).
Để \(k_1\) và \(k_2\) là các số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn phương trình này, ta chọn \(k_1 = 2\) và \(k_2 = 3\).

Khi đó, vị trí vân sáng trùng nhau ngắn nhất (khác vị trí trung tâm) là:

\(x_{min} = k_1 i_1 = 2 \times 2,4mm = 4,8mm\).

Hoặc \(x_{min} = k_2 i_2 = 3 \times 1,6mm = 4,8mm\).

Vậy, khoảng cách ngắn nhất giữa các vị trí trên màn có 2 vân sáng trùng nhau là 4,8 mm.

Kết luận: Khoảng cách ngắn nhất giữa các vị trí trên màn có 2 vân sáng trùng nhau được xác định bằng Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai khoảng vân \(i_1\) và \(i_2\).

Ta có: \(i_1 = 2,4mm\), \(i_2 = 1,6mm\).

Tìm BCNN của \(2,4\) và \(1,6\).

Ta thấy: \(2,4 = 3 \times 0,8\) và \(1,6 = 2 \times 0,8\).

BCNN(2,4 ; 1,6) = BCNN(3 ; 2) \(\times\) 0,8 = 6 \(\times\) 0,8 = 4,8mm.

Đáp án: Khoảng cách ngắn nhất giữa các vị trí trên màn có 2 vân sáng trùng nhau là 4,8 mm.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!