Một bọt khí nổi lên từ một đáy hồ có độ lớn gấp `1,2` lần khi đến mặt nước . Biế…
\(A. 4m\)
\(B. 3m\)
\(C. 2m\)
\(D. 1m\)
Bài toán: Một bọt khí nổi lên từ đáy hồ có độ lớn gấp \(1,2\) lần khi đến mặt nước. Biết trọng lượng riêng của nước là \(d=10^4\) \(\rm{N/m^{2}}\). Độ sâu của đáy hồ là bao nhiêu?
Phân tích đề bài:
Đề bài cho chúng ta biết mối quan hệ về thể tích của bọt khí ở đáy hồ so với khi ở mặt nước. Chúng ta cũng biết trọng lượng riêng của nước. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm độ sâu của đáy hồ.
Chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về lực đẩy Archimedes và định luật Boyle-Mariotte (hoặc định luật khí lý tưởng ở nhiệt độ không đổi).
Các bước giải chi tiết:
Bước 1: Xác định các đại lượng và mối quan hệ
Gọi \(V_1\) là thể tích của bọt khí ở đáy hồ.
Gọi \(V_2\) là thể tích của bọt khí khi lên đến mặt nước.
Theo đề bài, thể tích bọt khí ở đáy hồ gấp \(1,2\) lần khi đến mặt nước, nên ta có mối quan hệ:
\(V_1 = 1,2 V_2\)
Gọi \(h\) là độ sâu của đáy hồ.
Gọi \(P_1\) là áp suất tuyệt đối tác dụng lên bọt khí ở đáy hồ.
Gọi \(P_2\) là áp suất tuyệt đối tác dụng lên bọt khí ở mặt nước.
Trọng lượng riêng của nước là \(d = 10^4\) \(\rm{N/m^{2}}\).
Bước 2: Tính áp suất tại đáy hồ và tại mặt nước
Áp suất khí quyển tác dụng lên mặt nước là \(P_{atm}\).
Áp suất tại đáy hồ bao gồm áp suất khí quyển và áp suất thủy tĩnh của cột nước có chiều cao \(h\).
Áp suất thủy tĩnh được tính bằng \(p_{thuy tich} = d \times h\).
Vậy, áp suất tuyệt đối tại đáy hồ là:
\(P_1 = P_{atm} + d \times h\)
Áp suất tuyệt đối tại mặt nước là áp suất khí quyển:
\(P_2 = P_{atm}\)
Bước 3: Áp dụng định luật Boyle-Mariotte
Vì bọt khí nổi lên, nhiệt độ của nó gần như không đổi. Do đó, ta có thể áp dụng định luật Boyle-Mariotte, phát biểu rằng tích của áp suất và thể tích của một lượng khí không đổi ở nhiệt độ không đổi là hằng số.
Ta có:
\(P_1 V_1 = P_2 V_2\)
Bước 4: Thay thế các biểu thức và giải phương trình
Thay \(V_1 = 1,2 V_2\), \(P_1 = P_{atm} + d \times h\), và \(P_2 = P_{atm}\) vào phương trình định luật Boyle-Mariotte:
\((P_{atm} + d \times h) \times (1,2 V_2) = P_{atm} \times V_2\)
Chia cả hai vế cho \(V_2\) (vì \(V_2 \neq 0\)):
\((P_{atm} + d \times h) \times 1,2 = P_{atm}\)
Phân phối \(1,2\):
\(1,2 P_{atm} + 1,2 d \times h = P_{atm}\)
Chuyển các số hạng chứa \(P_{atm}\) về một vế:
\(1,2 d \times h = P_{atm} – 1,2 P_{atm}\)
\(1,2 d \times h = -0,2 P_{atm}\)
Lưu ý quan trọng: Ở đây, chúng ta gặp một kết quả có vẻ không hợp lý (một đại lượng dương nhân với h bằng một đại lượng âm). Điều này có nghĩa là có một giả định cần xem xét hoặc cách tiếp cận có thể cần điều chỉnh.
Xem xét lại mối quan hệ thể tích: Đề bài nói “độ lớn gấp 1,2 lần khi đến mặt nước”. Điều này có thể hiểu là thể tích ở đáy nhỏ hơn thể tích ở mặt nước, tức là bọt khí nở ra khi lên cao.
Nếu bọt khí nở ra khi lên cao, nghĩa là áp suất giảm đi. Vậy, thể tích ở đáy hồ phải NHỎ hơn thể tích ở mặt nước. Tuy nhiên, đề bài lại nói “độ lớn gấp 1,2 lần”.
Cách hiểu đúng nhất cho câu “độ lớn gấp 1,2 lần khi đến mặt nước” là:
Thể tích bọt khí ở đáy hồ là \(V_1\). Thể tích bọt khí khi lên đến mặt nước là \(V_2\).
Nếu nói “độ lớn gấp 1,2 lần khi đến mặt nước”, thì \(V_1 = 1,2 V_2\) là đúng.
Tuy nhiên, theo định luật Boyle-Mariotte, khi áp suất giảm (từ đáy lên mặt nước), thể tích phải tăng lên. Do đó, \(V_1\) (ở đáy) phải NHỎ hơn \(V_2\) (ở mặt nước).
Có thể đề bài muốn nói ngược lại: “Thể tích bọt khí khi đến mặt nước gấp 1,2 lần thể tích ban đầu ở đáy hồ”.
Nếu hiểu như vậy, thì: \(V_2 = 1,2 V_1\).
Chúng ta hãy thử lại với giả định này.
Bước 4 (sửa lại): Thay thế các biểu thức và giải phương trình với \(V_2 = 1,2 V_1\)
Ta có: \(P_1 V_1 = P_2 V_2\)
Thay \(V_2 = 1,2 V_1\), \(P_1 = P_{atm} + d \times h\), và \(P_2 = P_{atm}\) vào phương trình:
\((P_{atm} + d \times h) \times V_1 = P_{atm} \times (1,2 V_1)\)
Chia cả hai vế cho \(V_1\) (vì \(V_1 \neq 0\)):
\(P_{atm} + d \times h = P_{atm} \times 1,2\)
Chuyển \(P_{atm}\) sang một vế:
\(d \times h = 1,2 P_{atm} – P_{atm}\)
\(d \times h = 0,2 P_{atm}\)
Bước 5: Tìm áp suất khí quyển \(P_{atm}\)
Trong các bài toán Vật lý ở cấp độ này, nếu không cho biết cụ thể, chúng ta thường lấy giá trị áp suất khí quyển tiêu chuẩn là \(P_{atm} \approx 10^5\) \(\rm{N/m^{2}}\) hoặc \(1\) atm.
Để có đáp án lựa chọn, chúng ta sẽ thử với \(P_{atm} = 10^5\) \(\rm{N/m^{2}}\).
Bước 6: Tính độ sâu \(h\)
Ta có phương trình: \(d \times h = 0,2 P_{atm}\)
Thay các giá trị \(d = 10^4\) \(\rm{N/m^{2}}\) và \(P_{atm} = 10^5\) \(\rm{N/m^{2}}\) vào:
\(10^4 \times h = 0,2 \times 10^5\)
\(10^4 \times h = 2 \times 10^4\)
Chia cả hai vế cho \(10^4\):
\(h = 2\) \(\rm{m}\)
Kiểm tra lại cách hiểu đề bài:
Nếu \(h=2\) m, thì \(P_1 = 10^5 + 10^4 \times 2 = 10^5 + 2 \times 10^4 = 120000\) Pa.
\(P_2 = 10^5\) Pa.
\(P_1/P_2 = 120000 / 100000 = 1,2\).
Theo định luật Boyle-Mariotte, \(V_2/V_1 = P_1/P_2 = 1,2\).
Điều này có nghĩa là thể tích khi lên mặt nước (\(V_2\)) gấp 1,2 lần thể tích ở đáy (\(V_1\)).
Như vậy, cách hiểu “Thể tích bọt khí khi đến mặt nước gấp 1,2 lần thể tích ban đầu ở đáy hồ” là chính xác để có kết quả phù hợp với các lựa chọn.
Kết luận:
Độ sâu của đáy hồ là 2m.
Đáp án:
C. 2m
Chúc các em học tốt!
định luật Boyle-Mariotte:
\((P_(atm)+dh).V_1 =P_(atm) .V_2\)
\(V_2 =1,2 V_1\)
\((P_(atm)+dh).V_1 =P_(atm) .2 V_1\)
\(P_(atm)+dh =P_(atm) .2 \)
\(dh=0,2P_(atm)\)
\(h=(0,2P_(atm))/d\)
\(=(0,2.10^5)/(10^4)=2m\)
\(->C\)
trạng thái 1:
\({(V_1),(P_1=P_0+d.h):}\)
trạng thái 2:
\(\begin{cases} V_{2}=1,2V_1\\P_2=10^5(Pa)\\ \end{cases}\)
áp dụng định luật boyle:
\(V_1.(P_0+d.h)=1,2V_1 . 10^5\)
\(<=>10^5+d.h=1,2.10^5\)
\(<=>10^5+10^4 .h =1,2.10^5\)
\(<=>h=2(m)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment