Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về chuyển động chậm dần đều của đoàn tàu, một dạng bài khá thú vị và đòi hỏi sự tỉ mỉ trong việc thiết lập phương trình. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài:

Một người đứng ở sân ga thấy toa thứ nhất của đoàn tàu đang tiến vào ga qua trước mặt mình trong 5 giây, toa thứ hai trong 45 giây. Khi tàu dừng lại, đầu toa thứ nhất cách người ấy 75m. Coi tàu chuyển động chậm dần đều và chiều dài của các toa tàu bằng nhau. Tính vận tốc tàu và gia tốc tàu.

Phân tích và thiết lập bài toán:

Chúng ta hãy tóm tắt các thông tin đã cho và đặt hệ quy chiếu phù hợp.

• Chọn gốc tọa độ \(x=0\) tại vị trí người quan sát.
• Chọn gốc thời gian \(t=0\) là lúc đầu toa thứ nhất (phần đầu của tàu) đến vị trí người quan sát.
• Gọi vận tốc của tàu tại thời điểm \(t=0\) là \(v_0\). Đây chính là vận tốc ban đầu chúng ta cần tìm.
• Gọi gia tốc của tàu là \(a\). Vì tàu chuyển động chậm dần đều, nên \(a\) phải có giá trị âm (ngược dấu với \(v_0\)). Đây là giá trị gia tốc chúng ta cần tìm.
• Gọi chiều dài của mỗi toa tàu là \(L\). Theo đề bài, các toa tàu có chiều dài bằng nhau.

Phương trình chuyển động của tàu (với gốc tọa độ và gốc thời gian như trên) là:

\(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) (1)

Phương trình vận tốc là:

\(v = v_0 + at\) (2)

Một phương trình khác rất hữu ích khi không biết thời gian là:

\(v^2 – v_0^2 = 2a\Delta x\) (3)

Giải quyết từng giai đoạn chuyển động:

1. Giai đoạn toa thứ nhất đi qua:

Toa thứ nhất có chiều dài \(L\) đi qua trước mặt người trong thời gian \(t_1 = 5\) s.

Trong khoảng thời gian này, đầu toa thứ nhất (ban đầu ở \(x=0\)) đã đi được quãng đường đúng bằng chiều dài của toa, tức là \(x = L\).

Áp dụng phương trình (1) cho giai đoạn này:

\(L = v_0 t_1 + \frac{1}{2}at_1^2\)

\(L = v_0 (5) + \frac{1}{2}a(5^2)\)

\(L = 5v_0 + 12.5a\) (I)

2. Giai đoạn toa thứ hai đi qua:

Đề bài cho biết toa thứ hai đi qua trong 45 giây. Điều này có nghĩa là, sau khi toa thứ nhất đi qua hết (tức là tại \(t=5\)s), toa thứ hai tiếp tục đi qua trong 45 giây nữa.

Vậy, tổng thời gian để cả toa thứ nhất và toa thứ hai đi qua là \(t_{tổng} = t_1 + t_{toa\ 2} = 5\text{ s} + 45\text{ s} = 50\text{ s}\).

Trong thời gian \(t_{tổng} = 50\) s, đầu toa thứ nhất đã đi được quãng đường bằng tổng chiều dài của hai toa, tức là \(x = 2L\).

Áp dụng phương trình (1) cho giai đoạn này:

\(2L = v_0 t_{tổng} + \frac{1}{2}at_{tổng}^2\)

\(2L = v_0 (50) + \frac{1}{2}a(50^2)\)

\(2L = 50v_0 + 1250a\) (II)

3. Thiết lập hệ phương trình với \(L, v_0, a\):

Từ (I) và (II), ta có hệ phương trình:

\(L = 5v_0 + 12.5a\) (I)

\(2L = 50v_0 + 1250a\) (II)

Thế biểu thức của \(L\) từ phương trình (I) vào phương trình (II):

\(2(5v_0 + 12.5a) = 50v_0 + 1250a\)

\(10v_0 + 25a = 50v_0 + 1250a\)

Chuyển các số hạng có \(v_0\) sang một vế và các số hạng có \(a\) sang vế còn lại:

\(10v_0 – 50v_0 = 1250a – 25a\)

\(-40v_0 = 1225a\)

\(40v_0 = -1225a\)

\(v_0 = -\frac{1225}{40}a\)

Rút gọn phân số \(\frac{1225}{40}\) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 5:

\(v_0 = -\frac{245}{8}a\) (III)

Đây là mối liên hệ giữa vận tốc ban đầu và gia tốc của tàu.

4. Giai đoạn tàu dừng lại:

Khi tàu dừng lại, vận tốc cuối cùng của đầu toa thứ nhất là \(v_f = 0\).

Đề bài cho biết đầu toa thứ nhất cách người ấy 75m. Điều này có nghĩa là quãng đường mà đầu toa thứ nhất đã đi được từ lúc \(t=0\) (khi nó ở vị trí người quan sát) đến khi dừng hẳn là \(s = 75\) m.

Áp dụng phương trình (3) cho toàn bộ quá trình từ lúc đầu toa ở vị trí người quan sát đến lúc dừng lại:

\(v_f^2 – v_0^2 = 2as\)

\(0^2 – v_0^2 = 2a(75)\)

\(-v_0^2 = 150a\) (IV)

5. Giải hệ phương trình để tìm \(v_0\) và \(a\):

Chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn \(v_0\) và \(a\):

\(v_0 = -\frac{245}{8}a\) (III)

\(-v_0^2 = 150a\) (IV)

Thế phương trình (III) vào phương trình (IV):

\(-\left(-\frac{245}{8}a\right)^2 = 150a\)

\(-\frac{245^2}{8^2}a^2 = 150a\)

\(-\frac{60025}{64}a^2 = 150a\)

Vì tàu có chuyển động nên \(a \neq 0\), ta có thể chia cả hai vế cho \(a\):

\(-\frac{60025}{64}a = 150\)

Giải tìm \(a\):

\(a = -\frac{150 \times 64}{60025}\)

\(a = -\frac{9600}{60025}\)

Rút gọn phân số \(\frac{9600}{60025}\) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 25:

\(a = -\frac{9600 \div 25}{60025 \div 25}\)

\(a = -\frac{384}{2401}\) m/s\(^2\)

Bây giờ, thay giá trị của \(a\) vào phương trình (III) để tìm \(v_0\):

\(v_0 = -\frac{245}{8}a\)

\(v_0 = -\frac{245}{8} \left(-\frac{384}{2401}\right)\)

\(v_0 = \frac{245 \times 384}{8 \times 2401}\)

Để rút gọn, ta nhận thấy:

\(384 = 8 \times 48\)

\(245 = 5 \times 49\)

\(2401 = 49^2 = 49 \times 49\)

Thay vào biểu thức của \(v_0\):

\(v_0 = \frac{(5 \times 49) \times (8 \times 48)}{8 \times (49 \times 49)}\)

Rút gọn 8 và 49 ở tử và mẫu:

\(v_0 = \frac{5 \times 48}{49}\)

\(v_0 = \frac{240}{49}\) m/s

Kết luận:

Vậy, vận tốc ban đầu của tàu khi đầu toa thứ nhất vừa tới người quan sát là:

\(v_0 = \frac{240}{49}\) m/s (xấp xỉ \(4.898\) m/s)

Gia tốc của tàu là:

\(a = -\frac{384}{2401}\) m/s\(^2\) (xấp xỉ \(-0.160\) m/s\(^2\))

Dấu âm của gia tốc cho thấy tàu đang chuyển động chậm dần đều, phù hợp với đề bài.

Các em có thể kiểm tra lại bằng cách tính chiều dài toa tàu \(L\). Từ phương trình (I):

\(L = 5v_0 + 12.5a = 5\left(\frac{240}{49}\right) + 12.5\left(-\frac{384}{2401}\right)\)

\(L = \frac{1200}{49} – \frac{12.5 \times 384}{2401}\)

\(L = \frac{1200}{49} – \frac{4800}{2401}\)

Để cộng (hoặc trừ) hai phân số này, ta quy đồng mẫu số (mẫu số chung là 2401 vì \(49^2 = 2401\)):

\(L = \frac{1200 \times 49}{49 \times 49} – \frac{4800}{2401}\)

\(L = \frac{58800}{2401} – \frac{4800}{2401}\)

\(L = \frac{54000}{2401}\) m (xấp xỉ \(22.49\) m).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách phân tích và giải quyết bài toán về chuyển động biến đổi đều. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!