Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “mổ xẻ” một bài toán thú vị về dao động điều hoà, liên quan đến tốc độ của chất điểm. Đây là một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Vật lý lớp 11, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức cơ bản và có khả năng hình dung chuyển động trên vòng tròn lượng giác.

Đề bài: Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T=2pi, biên độ A. Khoảng tg ngắn nhất trong 1 chu kì để vật có tốc độ nhỏ hơn 1/6 tốc độ cực đại là?

Chúng ta hãy bắt đầu giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhất nhé!

Phân tích và Giải chi tiết:

1. Tóm tắt các thông tin đã biết:

• Chu kì dao động: \( T = 2\pi \) (giả sử đơn vị là giây)
• Biên độ dao động: \( A \)
• Điều kiện cần tìm: tốc độ của vật \( |v| < \frac{1}{6} v_{max} \)
• Yêu cầu: Tính khoảng thời gian tổng cộng (thường được hiểu là tổng các khoảng thời gian mà điều kiện được thỏa mãn) trong một chu kì mà vật có tốc độ thỏa mãn điều kiện trên.

2. Xác định các công thức cơ bản:

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại các công thức liên quan đến dao động điều hoà:

• Phương trình li độ (giả sử pha ban đầu bằng 0 để dễ hình dung, kết quả cuối cùng không đổi):
  \( x = A \cos(\omega t) \)
• Phương trình vận tốc:
  \( v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t) \)
• Tần số góc:
  \( \omega = \frac{2\pi}{T} \)
• Tốc độ cực đại:
  \( v_{max} = A\omega \)

3. Tính toán Tần số góc (\(\omega\)) và Tốc độ cực đại (\(v_{max}\)):

Dựa vào chu kì \( T = 2\pi \), ta có thể tính tần số góc \( \omega \):
\( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \) rad/s

Tiếp theo, ta tính tốc độ cực đại \( v_{max} \):
\( v_{max} = A\omega = A \cdot 1 = A \)

4. Thiết lập điều kiện về tốc độ theo phương trình dao động:

Theo đề bài, tốc độ của vật phải nhỏ hơn \( \frac{1}{6} \) tốc độ cực đại:
\( |v| < \frac{1}{6} v_{max} \)

Thay \( v_{max} = A \) vào điều kiện trên:
\( |v| < \frac{1}{6} A \)

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức của tốc độ \( v = -A\omega \sin(\omega t) \) vào:
\( |-A\omega \sin(\omega t)| < \frac{1}{6} A \)

Vì \( A > 0 \) và \( \omega > 0 \), ta có thể đơn giản hoá biểu thức này bằng cách chia cả hai vế cho \( A\omega \):
\( |\sin(\omega t)| < \frac{1}{6} \)

Đây chính là điều kiện về pha dao động mà chúng ta cần tìm.

5. Sử dụng Vòng tròn Lượng giác để xác định khoảng thời gian:

Để tìm khoảng thời gian mà điều kiện \( |\sin(\omega t)| < \frac{1}{6} \) được thoả mãn, chúng ta sẽ hình dung chuyển động trên vòng tròn lượng giác. Gọi \( \theta = \omega t \) là pha dao động của chất điểm.

Điều kiện trở thành: \( |\sin(\theta)| < \frac{1}{6} \), hay \( -\frac{1}{6} < \sin(\theta) < \frac{1}{6} \).

Hãy xác định một góc \( \theta_0 \) sao cho \( \sin(\theta_0) = \frac{1}{6} \). Vì \( \frac{1}{6} \) là một giá trị dương và nhỏ hơn 1, \( \theta_0 \) sẽ là một góc nhọn (thuộc góc phần tư thứ nhất, \( 0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2} \)).
\( \theta_0 = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \)

Trên vòng tròn lượng giác, giá trị của \( \sin(\theta) \) tương ứng với toạ độ trên trục tung (trục Oy). Điều kiện \( -\frac{1}{6} < \sin(\theta) < \frac{1}{6} \) có nghĩa là hình chiếu của điểm pha lên trục Oy phải nằm giữa \( -\frac{1}{6} \) và \( \frac{1}{6} \).

Chúng ta biết rằng, tốc độ của vật nhỏ khi vật ở gần hai vị trí biên (\( x = \pm A \)), và tốc độ lớn nhất khi vật qua vị trí cân bằng (\( x=0 \)).

• Khi vật ở biên dương \( x=A \), pha \( \theta = 0 \) hoặc \( \theta = 2\pi k \). Tại đây, \( v=0 \), tốc độ bằng 0.
• Khi vật ở biên âm \( x=-A \), pha \( \theta = \pi \) hoặc \( \theta = (2k+1)\pi \). Tại đây, \( v=0 \), tốc độ bằng 0.

Các vùng mà \( |\sin(\theta)| < \frac{1}{6} \) chính là các vùng xung quanh các vị trí biên.

Trong một chu kì (tương ứng với pha \( \theta \) từ \( 0 \) đến \( 2\pi \)), có bốn khoảng thời gian mà điều kiện này được thoả mãn:

1. Vùng 1 (gần biên dương \( x=A \)): Khi \( \theta \) đi từ \( 0 \) đến \( \theta_0 \). Trong khoảng này, \( 0 \le \sin(\theta) < \frac{1}{6} \). Độ dài góc là \( \theta_0 \).

2. Vùng 2 (gần biên âm \( x=-A \)): Khi \( \theta \) đi từ \( \pi – \theta_0 \) đến \( \pi + \theta_0 \). Trong khoảng này, \( -\frac{1}{6} < \sin(\theta) < \frac{1}{6} \). Độ dài góc là \( (\pi + \theta_0) - (\pi - \theta_0) = 2\theta_0 \).

3. Vùng 3 (gần biên dương \( x=A \) lần nữa): Khi \( \theta \) đi từ \( 2\pi – \theta_0 \) đến \( 2\pi \) (tương ứng với \( 0 \)). Trong khoảng này, \( -\frac{1}{6} < \sin(\theta) < 0 \). Độ dài góc là \( 2\pi - (2\pi - \theta_0) = \theta_0 \).

Tổng độ dài góc mà điều kiện tốc độ nhỏ hơn \( \frac{1}{6} v_{max} \) được thoả mãn trong một chu kì là tổng của các khoảng trên:
\( \Delta\theta_{tổng} = \theta_0 + 2\theta_0 + \theta_0 = 4\theta_0 \)

Thay \( \theta_0 = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \) vào, ta được:
\( \Delta\theta_{tổng} = 4 \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \)

6. Chuyển đổi từ độ dài góc sang thời gian:

Mối quan hệ giữa độ dài góc và thời gian là \( \Delta\theta = \omega \Delta t \). Do đó, khoảng thời gian tương ứng là \( \Delta t = \frac{\Delta\theta}{\omega} \).

Thay \( \Delta\theta_{tổng} \) và \( \omega = 1 \) rad/s vào, ta có:
\( \Delta t_{tổng} = \frac{4 \arcsin\left(\frac{1}{6}\right)}{1} = 4 \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \)

Kết luận:

Khoảng thời gian ngắn nhất (tổng thời gian) trong một chu kì để vật có tốc độ nhỏ hơn 1/6 tốc độ cực đại là \( \mathbf{4 \arcsin\left(\frac{1}{6}\right)} \).

Lưu ý thêm về từ “ngắn nhất”:
Trong các bài toán Vật lý, khi hỏi “khoảng thời gian ngắn nhất để vật có một tính chất nào đó” trong một chu kì, thường được hiểu là tổng thời gian mà tính chất đó được duy trì. Nếu đề bài muốn hỏi khoảng thời gian liên tục ngắn nhất, thì nó sẽ được diễn đạt rõ ràng hơn (ví dụ: “khoảng thời gian liên tục ngắn nhất mà vật có tốc độ…”). Trong trường hợp này, việc tổng hợp các khoảng thời gian là cách hiểu phổ biến nhất và hợp lý nhất.

Hy vọng bài giải này đã giúp các em hiểu rõ hơn về dạng bài tập này nhé! Chúc các em học tập thật tốt!