Đề bài: Một vật dao động điều hòa với phương trình \( x = 6 \cos( 4 \pi t + \frac{\pi}{3} ) \) cm, t tính bằng giây. Tính quãng đường vật đi được từ lúc \( t = \frac{1}{24} \) s đến thời điểm \( t = \frac{77}{48} \) s.

Phân tích đề bài:

Chúng ta có phương trình dao động điều hòa của vật:

\( x = 6 \cos( 4 \pi t + \frac{\pi}{3} ) \) cm.

Từ phương trình này, ta xác định được:

• Biên độ dao động: \( A = 6 \) cm.
• Pha ban đầu: \( \phi = \frac{\pi}{3} \) rad.
• Tần số góc: \( \omega = 4 \pi \) rad/s.

Chúng ta cần tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \( t_1 = \frac{1}{24} \) s đến \( t_2 = \frac{77}{48} \) s.

Các bước giải:

Bước 1: Tính chu kỳ dao động (T).

Chu kỳ dao động \( T \) được tính bằng công thức: \( T = \frac{2 \pi}{\omega} \).

\( T = \frac{2 \pi}{4 \pi} = \frac{1}{2} \) s.

Bước 2: Tính thời gian chuyển động (\(\Delta t\)).

Thời gian vật chuyển động là:

\( \Delta t = t_2 – t_1 = \frac{77}{48} – \frac{1}{24} \) s.

Để trừ hai phân số, ta quy đồng mẫu số:

\( \Delta t = \frac{77}{48} – \frac{1 \times 2}{24 \times 2} = \frac{77}{48} – \frac{2}{48} = \frac{77 – 2}{48} = \frac{75}{48} \) s.

Ta có thể rút gọn phân số này:

\( \Delta t = \frac{25}{16} \) s.

Bước 3: Xác định số chu kỳ và phần dư của thời gian chuyển động.

Ta so sánh \( \Delta t \) với chu kỳ \( T \):

\( \frac{\Delta t}{T} = \frac{\frac{25}{16}}{\frac{1}{2}} = \frac{25}{16} \times 2 = \frac{25}{8} = 3.125 \).

Điều này có nghĩa là trong khoảng thời gian \( \Delta t \), vật đã thực hiện được 3 chu kỳ dao động đầy đủ và thêm một phần thời gian là \( 0.125 \) chu kỳ.

Số chu kỳ đầy đủ là \( n = 3 \).

Phần thời gian dư là \( \Delta t’ = \Delta t – nT = \frac{75}{48} – 3 \times \frac{1}{2} = \frac{75}{48} – \frac{3}{2} = \frac{75}{48} – \frac{72}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \) s.

Hoặc ta có thể tính phần thời gian dư trực tiếp từ \( 0.125 \) chu kỳ: \( \Delta t’ = 0.125 \times T = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \) s.

Bước 4: Tính quãng đường đi được trong các chu kỳ đầy đủ.

Trong mỗi chu kỳ dao động đầy đủ, vật đi được quãng đường bằng \( 4A \).

Quãng đường đi được trong 3 chu kỳ là: \( S_1 = n \times 4A = 3 \times 4 \times 6 = 72 \) cm.

Bước 5: Tính quãng đường đi được trong phần thời gian còn lại.

Ta cần xác định vị trí và vận tốc của vật tại thời điểm \( t_1 = \frac{1}{24} \) s để tính quãng đường đi được trong khoảng thời gian \( \Delta t’ = \frac{1}{16} \) s.

Tính pha tại thời điểm \( t_1 \):

\( \phi_1 = 4 \pi t_1 + \frac{\pi}{3} = 4 \pi \left( \frac{1}{24} \right) + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \) rad.

Tại thời điểm \( t_1 \), vật đang ở vị trí \( x_1 = 6 \cos(\frac{\pi}{2}) = 6 \times 0 = 0 \) cm. Đây là vị trí cân bằng.

Tính pha tại thời điểm \( t_2 \):

Ta có thể tính pha tại \( t_2 \) bằng cách lấy pha tại \( t_1 \) cộng thêm góc quay tương ứng với thời gian \( \Delta t’ \):

Góc quay trong thời gian \( \Delta t’ \) là \( \Delta \phi = \omega \Delta t’ = 4 \pi \times \frac{1}{16} = \frac{\pi}{4} \) rad.

Pha tại thời điểm \( t_2 \) là \( \phi_2 = \phi_1 + \Delta \phi = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \) rad.

Vị trí tại thời điểm \( t_2 \) là \( x_2 = 6 \cos(\frac{3\pi}{4}) = 6 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3\sqrt{2} \) cm.

Cách khác để tính pha tại \( t_2 \) trực tiếp từ \( t_2 \):

\( \phi_2 = 4 \pi t_2 + \frac{\pi}{3} = 4 \pi \left( \frac{77}{48} \right) + \frac{\pi}{3} = \frac{77 \pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{77 \pi}{12} + \frac{4 \pi}{12} = \frac{81 \pi}{12} \) rad.

Ta rút gọn phân số:

\( \frac{81 \pi}{12} = \frac{27 \pi}{4} \).

Để tìm vị trí, ta bỏ các bội số của \( 2\pi \):

\( \frac{27 \pi}{4} = \frac{24 \pi}{4} + \frac{3 \pi}{4} = 6 \pi + \frac{3 \pi}{4} \).

Vậy pha tương đương là \( \frac{3 \pi}{4} \) rad.

Vị trí tại \( t_2 \) là \( x_2 = 6 \cos(\frac{3\pi}{4}) = 6 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3\sqrt{2} \) cm.

Tính quãng đường đi được trong \( \Delta t’ \):

Tại \( t_1 \), vật ở \( x_1 = 0 \) và đang có pha \( \phi_1 = \frac{\pi}{2} \) rad (tức là đang ở vị trí cân bằng và đi theo chiều dương).

Trong khoảng thời gian \( \Delta t’ = \frac{1}{16} \) s, vật đi được một góc \( \Delta \phi = \frac{\pi}{4} \) rad.

Vì pha ban đầu \( \phi_1 = \frac{\pi}{2} \) và vật đi thêm góc \( \frac{\pi}{4} \), nên vị trí cuối là \( x_2 = 6 \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = 6 \cos(\frac{3\pi}{4}) = -3\sqrt{2} \) cm.

Để tính quãng đường đi được từ vị trí \( x_1 = 0 \) đến vị trí \( x_2 = -3\sqrt{2} \) cm trong khoảng thời gian \( \Delta t’ \), ta cần xem xét đường đi trên trục dao động.

Tại \( t_1 \), pha là \( \frac{\pi}{2} \), vật ở \( x=0 \), đi theo chiều dương.

Trong khoảng thời gian \( \Delta t’ \), vật đi được góc là \( \frac{\pi}{4} \). Pha cuối là \( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).

Pha \( \frac{\pi}{2} \) tương ứng với \( x=0 \).

Pha \( \frac{3\pi}{4} \) tương ứng với \( x = 6 \cos(\frac{3\pi}{4}) = -3\sqrt{2} \).

Do \( \frac{\pi}{4} < \pi \), nên vật chưa đổi chiều chuyển động quá một lần.

Quãng đường đi được trong \( \Delta t’ \) là độ lớn của hiệu khoảng cách:

\( S_2 = |x_2 – x_1| = |-3\sqrt{2} – 0| = 3\sqrt{2} \) cm.

Bước 6: Tính tổng quãng đường đi được.

Tổng quãng đường vật đi được là:

\( S = S_1 + S_2 = 72 + 3\sqrt{2} \) cm.

Kết luận:

Quãng đường vật đi được từ lúc \( t = \frac{1}{24} \) s đến thời điểm \( t = \frac{77}{48} \) s là \( 72 + 3\sqrt{2} \) cm.

Các em có thắc mắc gì không? Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải xác định đúng chu kỳ, chia thời gian thành các chu kỳ đầy đủ và phần còn lại, sau đó tính quãng đường cho từng phần. Quan trọng là phải xác định đúng vị trí và chiều chuyển động của vật tại các thời điểm cần thiết.