Chúng ta có một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa.

• Chu kì dao động: \(T = 0.4\) s.
• \(t_1\): khoảng thời gian lò xo bị nén trong một chu kì.
• \(t_2\): khoảng thời gian ngắn nhất đi từ vị trí lò xo dài nhất đến vị trí lò xo không biến dạng.
• Điều kiện quan trọng: \(t_1 = t_2\).
• Yêu cầu: Tìm quỹ đạo dao động của con lắc (tức là \(2A\), với \(A\) là biên độ).

Đối với con lắc lò xo treo thẳng đứng, vị trí cân bằng (VTCB) không phải là vị trí lò xo không biến dạng. Tại VTCB, lò xo đã bị dãn một đoạn \(\Delta l_0\) do trọng lực của vật nặng. Ta có mối liên hệ:

• Lực đàn hồi tại VTCB cân bằng với trọng lực: \(mg = k\Delta l_0\).
• Chu kì dao động: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}\).

Để giải quyết các bài toán liên quan đến thời gian, chúng ta thường sử dụng phương pháp đường tròn lượng giác (vòng tròn pha) hoặc trục thời gian.

Chọn trục tọa độ \(Ox\) thẳng đứng, gốc \(O\) tại VTCB, chiều dương hướng xuống dưới.

• Vị trí lò xo không biến dạng ứng với tọa độ \(x = -\Delta l_0\).
• Vị trí lò xo dài nhất (biên dưới) ứng với \(x = +A\).
• Vị trí lò xo ngắn nhất (biên trên) ứng với \(x = -A\).
• Lò xo bị nén khi vật đi từ vị trí biên trên (\(x = -A\)) đến vị trí lò xo không biến dạng (\(x = -\Delta l_0\)). Hay nói cách khác, lò xo bị nén khi \(x < -\Delta l_0\).
• Lò xo bị dãn khi \(x > -\Delta l_0\).

Bước 1: Tính độ biến dạng của lò xo tại VTCB (\(\Delta l_0\)).

Từ công thức chu kì, ta có:

\(T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}\)

Bình phương hai vế:

\(T^2 = 4\pi^2\frac{\Delta l_0}{g}\)

Suy ra \(\Delta l_0 = \frac{T^2 g}{4\pi^2}\)

Để đơn giản trong tính toán, ta thường lấy \(g = 10 \text{ m/s}^2\) và \(\pi^2 \approx 10\).
Thay số vào:

\(\Delta l_0 = \frac{(0.4)^2 \times 10}{4 \times 10} = \frac{0.16 \times 10}{40} = \frac{1.6}{40} = 0.04 \text{ m}\)

Đổi sang centimet: \(\Delta l_0 = 4 \text{ cm}\).

Bước 2: Phân tích khoảng thời gian \(t_2\).

\(t_2\) là khoảng thời gian ngắn nhất đi từ vị trí lò xo dài nhất (\(x = +A\)) đến vị trí lò xo không biến dạng (\(x = -\Delta l_0\)).

Sử dụng vòng tròn lượng giác (pha ban đầu tại \(x = +A\) là \(\phi_0 = 0\)).

Vị trí \(x = -\Delta l_0\) tương ứng với góc \(\alpha\) trên vòng tròn, sao cho \(\cos \alpha = \frac{-\Delta l_0}{A}\).

Thời gian \(t_2\) là thời gian để vật quay từ góc \(0\) đến góc \(\alpha\). (Chú ý: \(-\Delta l_0\) nằm ở phía âm của VTCB, nên \(\alpha\) sẽ là góc lớn hơn \(\pi/2\)).

Do đó, góc quét được là \(\alpha\).

\(t_2 = \frac{\alpha}{2\pi}T\), với \(\alpha = \arccos\left(\frac{-\Delta l_0}{A}\right)\).

Bước 3: Phân tích khoảng thời gian \(t_1\).

\(t_1\) là khoảng thời gian lò xo bị nén trong một chu kì. Lò xo bị nén khi vật ở vị trí có tọa độ \(x < -\Delta l_0\).

Trên vòng tròn lượng giác, điều này tương ứng với cung tròn mà hoành độ \(x\) nhỏ hơn \(-\Delta l_0\). Cung này đối xứng qua trục tung.

Giả sử góc mà \(\cos \alpha = \frac{-\Delta l_0}{A}\) là \(\alpha\). Thì lò xo bị nén khi pha dao động nằm trong khoảng từ \(\alpha\) đến \(\pi\) (đi từ \(-\Delta l_0\) lên biên âm \( -A\)) và từ \(-\pi\) đến \(-\alpha\) (đi từ biên âm \( -A\) về lại \(-\Delta l_0\)).

Tổng góc quét trong một chu kì mà lò xo bị nén là \((\pi – \alpha) + (\pi – \alpha) = 2(\pi – \alpha)\).

Do đó, \(t_1 = \frac{2(\pi – \alpha)}{2\pi}T = \frac{\pi – \alpha}{\pi}T\).

Bước 4: Sử dụng điều kiện \(t_1 = t_2\) để tìm mối liên hệ giữa \(A\) và \(\Delta l_0\).

Ta có:

\(\frac{\alpha}{2\pi}T = \frac{\pi – \alpha}{\pi}T\)

Rút gọn \(T\) và \(\pi\):

\(\frac{\alpha}{2} = \pi – \alpha\)

\(\frac{\alpha}{2} = 2\pi – 2\alpha\)

\(\alpha = 4\pi – 4\alpha\)

\(5\alpha = 4\pi\)

\(\alpha = \frac{4\pi}{5}\)

Ồ, thầy có một chút nhầm lẫn trong quá trình biến đổi phía trên. Để thầy làm lại cẩn thận hơn một chút nhé.

Từ phương trình:
\(\frac{\alpha}{2\pi}T = \frac{\pi – \alpha}{\pi}T\)
Chia cả hai vế cho \(T\):
\(\frac{\alpha}{2\pi} = \frac{\pi – \alpha}{\pi}\)
Nhân cả hai vế với \(2\pi\):
\(\alpha = 2(\pi – \alpha)\)
\(\alpha = 2\pi – 2\alpha\)
\(3\alpha = 2\pi\)
\(\alpha = \frac{2\pi}{3}\)

Bây giờ, chúng ta đã có giá trị của \(\alpha\). Thay \(\alpha\) vào công thức \(\cos \alpha = \frac{-\Delta l_0}{A}\):

\(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{-\Delta l_0}{A}\)

Chúng ta biết rằng \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\).

Vậy:
\(-\frac{1}{2} = \frac{-\Delta l_0}{A}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{\Delta l_0}{A}\)
\(A = 2\Delta l_0\)

Bước 5: Tính quỹ đạo dao động.

Chúng ta đã tính được \(\Delta l_0 = 4 \text{ cm}\).

Biên độ dao động \(A = 2\Delta l_0 = 2 \times 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm}\).

Quỹ đạo dao động là tổng quãng đường vật đi được giữa hai biên, tức là \(2A\).

Quỹ đạo \(L = 2A = 2 \times 8 \text{ cm} = 16 \text{ cm}\).

Quỹ đạo dao động của con lắc lò xo là 16 cm.

Đối chiếu với các đáp án đã cho, ta chọn đáp án D. 16 cm.

Các em nhớ, khi gặp bài toán tính thời gian, hãy luôn cố gắng hình dung chuyển động trên vòng tròn lượng giác để xác định góc quét tương ứng. Điều này giúp chúng ta tránh nhầm lẫn và giải quyết bài toán một cách chính xác nhất nhé!