Xin chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một bài toán về con lắc lò xo có sự thay đổi trong quá trình dao động. Bài toán này yêu cầu chúng ta tính toán biên độ mới của con lắc sau một tác động đặc biệt.

Bài toán: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hoà với biên độ A và chu kỳ T. Sau khoảng thời gian T/12 kể từ lúc vật qua vị trí cân bằng thì giữ đột ngột điểm chính giữa của lò xo lại. Hỏi biên độ dao động mới của con lắc sau khi bị giữ lại so với biên độ ban đầu?

Phân tích bài toán:

Chúng ta có một con lắc lò xo dao động điều hoà. Lò xo có độ dài ban đầu là L. Khi vật ở vị trí cân bằng, lò xo không bị biến dạng.

Khi giữ đột ngột điểm chính giữa của lò xo lại, chúng ta sẽ chia lò xo thành hai phần bằng nhau. Điều này sẽ ảnh hưởng đến tần số góc và do đó ảnh hưởng đến biên độ dao động của con lắc.

Giải bài toán:

Bước 1: Xác định vị trí của vật và trạng thái của lò xo tại thời điểm giữ đột ngột.

Ban đầu, con lắc dao động với biên độ A và chu kỳ T. Ta có mối liên hệ giữa chu kỳ T và độ cứng k của lò xo cũng như khối lượng m của vật là \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\).

Thời điểm giữ đột ngột là sau khoảng thời gian T/12 kể từ lúc vật qua vị trí cân bằng. Ta chọn mốc thời gian \(t=0\) là lúc vật qua vị trí cân bằng.

Phương trình dao động của vật có dạng \(x = A \cos(\omega t)\) hoặc \(x = A \sin(\omega t)\), với \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

Giả sử chọn \(x = A \sin(\omega t)\) khi vật qua vị trí cân bằng \(x=0\) tại \(t=0\).

Tại thời điểm \(t = \frac{T}{12}\), vị trí của vật là:

\(x = A \sin\left(\omega \frac{T}{12}\right) = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} \frac{T}{12}\right) = A \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{A}{2}\).

Tại thời điểm này, vận tốc của vật là:

\(v = \omega A \cos\left(\omega t\right) = \frac{2\pi}{T} A \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\pi}{T} A \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}\pi A}{T}\).

Lúc này, lò xo bị biến dạng một đoạn là \(x = \frac{A}{2}\) so với vị trí cân bằng ban đầu.

Bước 2: Phân tích sự thay đổi của lò xo khi bị giữ đột ngột.

Ban đầu, lò xo có độ cứng k, chiều dài L. Khi điểm chính giữa của lò xo bị giữ lại, lò xo bị chia thành hai phần bằng nhau, mỗi phần có chiều dài L/2.

Khi hai phần của lò xo được nối lại để tạo thành một lò xo mới có chiều dài L/2, độ cứng của lò xo mới sẽ thay đổi.

Ta biết rằng độ cứng của lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài của nó, với cùng một loại vật liệu. Do đó, nếu chiều dài lò xo giảm đi một nửa, độ cứng của lò xo sẽ tăng lên gấp đôi.

Độ cứng mới của lò xo là \(k’ = 2k\).

Bước 3: Xác định tần số góc mới và chu kỳ mới của dao động.

Tần số góc mới của dao động sẽ là:

\(\omega’ = \sqrt{\frac{k’}{m}} = \sqrt{\frac{2k}{m}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{2} \omega\).

Chu kỳ mới của dao động sẽ là:

\(T’ = \frac{2\pi}{\omega’} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}\omega} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{2\pi}{\omega} = \frac{T}{\sqrt{2}}\).

Bước 4: Xác định biên độ dao động mới.

Sau khi giữ đột ngột điểm chính giữa của lò xo, vị trí và vận tốc của vật tại thời điểm đó không thay đổi. Chúng trở thành điều kiện ban đầu cho dao động mới.

Tại thời điểm giữ đột ngột, vật đang ở vị trí \(x = \frac{A}{2}\) và có vận tốc \(v = \frac{\sqrt{3}\pi A}{T}\).

Sau khi giữ lò xo, con lắc sẽ dao động điều hoà quanh một vị trí cân bằng mới. Tuy nhiên, với cách xử lý của bài toán này, chúng ta hiểu rằng vị trí cân bằng mới của hệ (vật + lò xo đã bị cắt) sẽ là vị trí mà tại đó, ngoại lực từ lò xo cân bằng với lực quán tính. Trong trường hợp này, điểm chính giữa bị giữ lại, và lò xo còn lại có độ cứng gấp đôi. Vị trí cân bằng mới vẫn là vị trí mà lò xo không biến dạng. Khi lò xo bị cắt làm đôi, độ cứng tăng gấp đôi, do đó, vị trí cân bằng mới của con lắc (nếu xem như vật dao động với lò xo mới gắn vào điểm cố định ban đầu) vẫn là vị trí mà lò xo không biến dạng.

Tuy nhiên, cách hiểu đúng hơn của bài toán là khi giữ điểm chính giữa, lò xo còn lại hoạt động với độ cứng mới. Vị trí cân bằng mới của hệ (vật + lò xo có độ cứng k’) sẽ là vị trí mà lực đàn hồi bằng không. Với một lò xo có độ cứng k’ và chiều dài ban đầu (không biến dạng), vị trí cân bằng của hệ vẫn là vị trí mà lò xo không biến dạng.

Biên độ dao động mới \(A’\) của con lắc sẽ được xác định dựa trên năng lượng dao động tại thời điểm giữ đột ngột. Năng lượng này được bảo toàn sau khi lò xo bị thay đổi.

Năng lượng toàn phần của con lắc tại thời điểm giữ đột ngột (với lò xo ban đầu) là:

\(E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2\).

Sau khi giữ lò xo, con lắc dao động với biên độ mới \(A’\) và tần số góc \(\omega’\). Năng lượng toàn phần của con lắc với lò xo mới là:

\(E’ = \frac{1}{2}m(v’)^2 + \frac{1}{2}k'(x’)^2\), trong đó \(v’\) là vận tốc và \(x’\) là li độ so với vị trí cân bằng mới.

Điều quan trọng là năng lượng tại thời điểm giữ đột ngột sẽ được chuyển thành năng lượng dao động mới. Khi điểm chính giữa bị giữ lại, lò xo còn lại có độ cứng \(k’ = 2k\). Vị trí cân bằng mới của dao động vẫn là vị trí mà lò xo không biến dạng (vì ta không thay đổi điểm gắn lò xo vào tường).

Tại thời điểm giữ đột ngột, vật có li độ \(x = \frac{A}{2}\) và vận tốc \(v = \frac{\sqrt{3}\pi A}{T}\).

Năng lượng của hệ tại thời điểm giữ đột ngột, coi như năng lượng toàn phần cho dao động mới:

\(E_{new} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}k_{moi} x_{li} ^2\), trong đó \(k_{moi} = 2k\), và \(x_{li}\) là li độ so với vị trí cân bằng mới. Vị trí cân bằng mới vẫn là gốc tọa độ O (vị trí ban đầu của vật ở cân bằng).

Do đó, năng lượng tại thời điểm giữ đột ngột với hệ mới sẽ là:

\(E_{new} = \frac{1}{2}m\left(\frac{\sqrt{3}\pi A}{T}\right)^2 + \frac{1}{2}(2k)\left(\frac{A}{2}\right)^2\).

Biên độ dao động mới \(A’\) thỏa mãn:

\(E_{new} = \frac{1}{2}k’ (A’)^2 = \frac{1}{2}(2k)(A’)^2\).

Ta có \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) và \(k = m\omega^2\).

Thay \(v\) và \(x\) vào biểu thức năng lượng:

\(E_{new} = \frac{1}{2}m \left(\frac{\sqrt{3}\pi A}{T}\right)^2 + \frac{1}{2}(2k) \left(\frac{A}{2}\right)^2\)
\(E_{new} = \frac{1}{2}m \frac{3\pi^2 A^2}{T^2} + k \frac{A^2}{4}\)

Thay \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) và \(k = m\omega^2\):

\(E_{new} = \frac{1}{2}m \frac{3\pi^2 A^2}{(2\pi/\omega)^2} + m\omega^2 \frac{A^2}{4}\)
\(E_{new} = \frac{1}{2}m \frac{3\pi^2 A^2}{4\pi^2/\omega^2} + m\omega^2 \frac{A^2}{4}\)
\(E_{new} = \frac{1}{2}m \frac{3\omega^2 A^2}{4} + m\omega^2 \frac{A^2}{4}\)
\(E_{new} = \frac{3}{8}m\omega^2 A^2 + \frac{1}{4}m\omega^2 A^2\)
\(E_{new} = \left(\frac{3}{8} + \frac{2}{8}\right) m\omega^2 A^2 = \frac{5}{8} m\omega^2 A^2\).

Bây giờ, ta cho năng lượng này bằng năng lượng toàn phần với biên độ mới \(A’\) và độ cứng \(k’ = 2k\):

\(E_{new} = \frac{1}{2}k'(A’)^2 = \frac{1}{2}(2k)(A’)^2 = k(A’)^2\)

Mà \(k = m\omega^2\), vậy:

\(E_{new} = m\omega^2 (A’)^2\).

Cho hai biểu thức năng lượng bằng nhau:

\(m\omega^2 (A’)^2 = \frac{5}{8} m\omega^2 A^2\)

\((A’)^2 = \frac{5}{8} A^2\)

\(A’ = \sqrt{\frac{5}{8}} A = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} A = \frac{\sqrt{10}}{4} A\).

Kết luận:

Biên độ dao động mới của con lắc sau khi bị giữ lại so với biên độ ban đầu là \(A’ = \frac{\sqrt{10}}{4} A\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách xử lý các bài toán có sự thay đổi đột ngột trong hệ dao động. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em hãy đặt câu hỏi nhé!