Chúng ta cùng phân tích đề bài nhé:

Dữ liệu đề bài cho:

• Khối lượng hợp kim (chì và kẽm): \(m_{hh} = 50g = 0.05kg\)
• Nhiệt độ ban đầu của hợp kim: \(t_{hh} = 136^\circ C\)
• Nhiệt dung của nhiệt lượng kế: \(C_{NLK} = 50 J/K\)
• Khối lượng nước: \(m_{n} = 100g = 0.1kg\)
• Nhiệt độ ban đầu của nước: \(t_{n} = 14^\circ C\)
• Nhiệt độ cân bằng nhiệt: \(t_{cb} = 18^\circ C\)
• Nhiệt dung riêng của nước: \(c_{n} = 4180 J/kg.K\)
• Nhiệt dung riêng của kẽm: \(c_{kẽm} = 337 J/kg.K\)
• Nhiệt dung riêng của chì: \(c_{chì} = 126 J/kg.K\)

Yêu cầu: Tìm tỉ số giữa khối lượng của chì và kẽm trong hợp kim.

Phân tích phương pháp giải:

Khi miếng hợp kim được bỏ vào nhiệt lượng kế chứa nước, hệ thống sẽ diễn ra quá trình trao đổi nhiệt để đạt đến trạng thái cân bằng nhiệt. Theo nguyên lý truyền nhiệt, nhiệt lượng mà vật nóng tỏa ra bằng nhiệt lượng mà vật lạnh thu vào (bỏ qua sự truyền nhiệt ra môi trường bên ngoài).

Trong bài toán này:

• Miếng hợp kim (chì và kẽm) là vật nóng, sẽ tỏa nhiệt.
• Nước và nhiệt lượng kế là vật lạnh, sẽ thu nhiệt.

Chúng ta cần thiết lập phương trình cân bằng nhiệt dựa trên các thông tin đã cho.

Bước 1: Tính nhiệt lượng mà nước thu vào.

Nhiệt lượng nước thu vào để nóng từ \(14^\circ C\) lên \(18^\circ C\) là:

\(Q_{n} = m_{n} \cdot c_{n} \cdot \Delta t_{n}\)

Trong đó: \(\Delta t_{n} = t_{cb} – t_{n} = 18^\circ C – 14^\circ C = 4^\circ C = 4K\).

\(Q_{n} = 0.1kg \cdot 4180 J/kg.K \cdot 4K = 1672 J\)

Bước 2: Tính nhiệt lượng mà nhiệt lượng kế thu vào.

Nhiệt lượng nhiệt lượng kế thu vào để nóng từ \(14^\circ C\) lên \(18^\circ C\) là:

\(Q_{NLK} = C_{NLK} \cdot \Delta t_{NLK}\)

Trong đó: \(\Delta t_{NLK} = t_{cb} – t_{n} = 18^\circ C – 14^\circ C = 4^\circ C = 4K\).

\(Q_{NLK} = 50 J/K \cdot 4K = 200 J\)

Bước 3: Tính tổng nhiệt lượng mà hệ thống lạnh thu vào.

\(Q_{thu} = Q_{n} + Q_{NLK} = 1672 J + 200 J = 1872 J\)

Bước 4: Thiết lập phương trình tỏa nhiệt của hợp kim.

Gọi \(m_{chì}\) là khối lượng của chì và \(m_{kẽm}\) là khối lượng của kẽm trong hợp kim.

Ta có: \(m_{chì} + m_{kẽm} = m_{hh} = 0.05kg\).

Nhiệt độ mà hợp kim tỏa ra là: \(\Delta t_{hh} = t_{hh} – t_{cb} = 136^\circ C – 18^\circ C = 118^\circ C = 118K\).

Nhiệt lượng tỏa ra của chì là: \(Q_{tỏa, chì} = m_{chì} \cdot c_{chì} \cdot \Delta t_{hh}\).

Nhiệt lượng tỏa ra của kẽm là: \(Q_{tỏa, kẽm} = m_{kẽm} \cdot c_{kẽm} \cdot \Delta t_{hh}\).

Tổng nhiệt lượng tỏa ra của hợp kim là: \(Q_{tỏa} = Q_{tỏa, chì} + Q_{tỏa, kẽm}\).

\(Q_{tỏa} = m_{chì} \cdot c_{chì} \cdot \Delta t_{hh} + m_{kẽm} \cdot c_{kẽm} \cdot \Delta t_{hh}\)

\(Q_{tỏa} = (m_{chì} \cdot c_{chì} + m_{kẽm} \cdot c_{kẽm}) \cdot \Delta t_{hh}\)

Bước 5: Áp dụng nguyên lý cân bằng nhiệt.

Theo nguyên lý truyền nhiệt, nhiệt lượng tỏa ra bằng nhiệt lượng thu vào:

\(Q_{tỏa} = Q_{thu}\)
\((m_{chì} \cdot c_{chì} + m_{kẽm} \cdot c_{kẽm}) \cdot \Delta t_{hh} = 1872 J\)

Chúng ta cần tìm tỉ số \(\frac{m_{chì}}{m_{kẽm}}\). Để làm được điều này, chúng ta cần thay thế một trong hai ẩn \(m_{chì}\) hoặc \(m_{kẽm}\) bằng biểu thức liên quan đến ẩn còn lại. Từ \(m_{chì} + m_{kẽm} = 0.05kg\), ta có \(m_{chì} = 0.05 – m_{kẽm}\).

Thay \(m_{chì}\) vào phương trình cân bằng nhiệt:

\(((0.05 – m_{kẽm}) \cdot c_{chì} + m_{kẽm} \cdot c_{kẽm}) \cdot \Delta t_{hh} = 1872\)
\((0.05 \cdot c_{chì} – m_{kẽm} \cdot c_{chì} + m_{kẽm} \cdot c_{kẽm}) \cdot 118 = 1872\)
\((0.05 \cdot 126 – m_{kẽm} \cdot 126 + m_{kẽm} \cdot 337) \cdot 118 = 1872\)
\((6.3 + m_{kẽm} \cdot (337 – 126)) \cdot 118 = 1872\)
\((6.3 + m_{kẽm} \cdot 211) \cdot 118 = 1872\)

Chia cả hai vế cho 118:

\(6.3 + m_{kẽm} \cdot 211 = \frac{1872}{118}\)
\(6.3 + m_{kẽm} \cdot 211 \approx 15.8644\)

Trừ 6.3 khỏi cả hai vế:

\(m_{kẽm} \cdot 211 \approx 15.8644 – 6.3\)
\(m_{kẽm} \cdot 211 \approx 9.5644\)

Tìm \(m_{kẽm}\):

\(m_{kẽm} \approx \frac{9.5644}{211} \approx 0.04533 kg\)

Bước 6: Tìm \(m_{chì}\).

\(m_{chì} = 0.05 – m_{kẽm} \approx 0.05 – 0.04533 = 0.00467 kg\)

Bước 7: Tính tỉ số giữa khối lượng của chì và kẽm.

\(\frac{m_{chì}}{m_{kẽm}} \approx \frac{0.00467 kg}{0.04533 kg}\)

\(\frac{m_{chì}}{m_{kẽm}} \approx 0.1030\)

Để có kết quả chính xác hơn, chúng ta có thể biến đổi phương trình cân bằng nhiệt để tìm tỉ số trực tiếp mà không cần tính từng khối lượng cụ thể.

Từ \(Q_{tỏa} = Q_{thu}\):

\(m_{chì} \cdot c_{chì} \cdot \Delta t_{hh} + m_{kẽm} \cdot c_{kẽm} \cdot \Delta t_{hh} = 1872\)

Chia cả hai vế cho \(m_{kẽm} \cdot c_{kẽm} \cdot \Delta t_{hh}\) (hoặc \(m_{kẽm} \cdot \Delta t_{hh}\) để có tỉ lệ khối lượng):

\(\frac{m_{chì}}{m_{kẽm}} \cdot \frac{c_{chì}}{c_{kẽm}} + 1 = \frac{1872}{m_{kẽm} \cdot c_{kẽm} \cdot \Delta t_{hh}}\). Cách này vẫn cần \(m_{kẽm}\).

Chúng ta hãy quay lại phương trình:

\((m_{chì} \cdot c_{chì} + m_{kẽm} \cdot c_{kẽm}) \cdot \Delta t_{hh} = 1872\)

Thay \(m_{chì} = 0.05 – m_{kẽm}\):

\(( (0.05 – m_{kẽm}) c_{chì} + m_{kẽm} c_{kẽm} ) \cdot 118 = 1872\)

Chia cho 118:

\((0.05 – m_{kẽm}) c_{chì} + m_{kẽm} c_{kẽm} = \frac{1872}{118}\)

0.05 \(c_{chì}\) – \(m_{kẽm} c_{chì}\) + \(m_{kẽm} c_{kẽm}\) = \(\frac{1872}{118}\)

\(m_{kẽm} (c_{kẽm} – c_{chì})\) = \(\frac{1872}{118}\) – 0.05 \(c_{chì}\)

\(m_{kẽm} (337 – 126)\) = \(\frac{1872}{118}\) – 0.05 \(\cdot\) 126

\(m_{kẽm} \cdot 211\) = \(\frac{1872}{118}\) – 6.3

\(m_{kẽm} \cdot 211 \approx 15.8644 – 6.3 = 9.5644\)

\(m_{kẽm} \approx \frac{9.5644}{211} \approx 0.04533 kg\)

Bây giờ, ta tính \(m_{chì}\):

\(m_{chì} = 0.05 – m_{kẽm} \approx 0.05 – 0.04533 = 0.00467 kg\)

Tỉ số cần tìm là:

\(\frac{m_{chì}}{m_{kẽm}} \approx \frac{0.00467}{0.04533} \approx 0.103\)

Để có kết quả đẹp hơn, chúng ta hãy giữ nguyên dạng phân số khi tính toán:

\(Q_{n} = 0.1 \cdot 4180 \cdot 4 = 1672 J\)
\(Q_{NLK} = 50 \cdot 4 = 200 J\)
\(Q_{thu} = 1672 + 200 = 1872 J\)

\((m_{chì} \cdot 126 + m_{kẽm} \cdot 337) \cdot 118 = 1872\)

Chia cả hai vế cho 118:

\(126 m_{chì} + 337 m_{kẽm} = \frac{1872}{118} = \frac{936}{59}\)

Thay \(m_{chì} = 0.05 – m_{kẽm}\):

\(126 (0.05 – m_{kẽm}) + 337 m_{kẽm} = \frac{936}{59}\)

\(6.3 – 126 m_{kẽm} + 337 m_{kẽm} = \frac{936}{59}\)

\(211 m_{kẽm} = \frac{936}{59} – 6.3 = \frac{936}{59} – \frac{6.3 \times 59}{59} = \frac{936 – 371.7}{59} = \frac{564.3}{59}\)

\(m_{kẽm} = \frac{564.3}{59 \times 211} = \frac{564.3}{12449}\)

\(m_{chì} = 0.05 – m_{kẽm} = \frac{5}{100} – \frac{564.3}{12449} = \frac{1}{20} – \frac{564.3}{12449}\)

Để tìm tỉ số \(\frac{m_{chì}}{m_{kẽm}}\), chúng ta có thể làm như sau:

Từ \(126 m_{chì} + 337 m_{kẽm} = \frac{936}{59}\).

Chia cả hai vế cho \(m_{kẽm}\):

\(126 \frac{m_{chì}}{m_{kẽm}} + 337 = \frac{936}{59 m_{kẽm}}\). Cách này vẫn cần \(m_{kẽm}\).

Hãy thử một cách khác. Ta có:

\(m_{chì} + m_{kẽm} = 0.05\)
\(126 m_{chì} + 337 m_{kẽm} = \frac{936}{59}\)

Nhân phương trình đầu với 126:

\(126 m_{chì} + 126 m_{kẽm} = 126 \times 0.05 = 6.3\)

Trừ phương trình này khỏi phương trình thứ hai:

\((126 m_{chì} + 337 m_{kẽm}) – (126 m_{chì} + 126 m_{kẽm}) = \frac{936}{59} – 6.3\)

\(211 m_{kẽm} = \frac{936}{59} – \frac{371.7}{59} = \frac{564.3}{59}\)

Nhân phương trình đầu với 337:

\(337 m_{chì} + 337 m_{kẽm} = 337 \times 0.05 = 16.85\)

Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình này:

\((337 m_{chì} + 337 m_{kẽm}) – (126 m_{chì} + 337 m_{kẽm}) = 16.85 – \frac{936}{59}\)

\(211 m_{chì} = \frac{16.85 \times 59 – 936}{59} = \frac{994.15 – 936}{59} = \frac{58.15}{59}\)

Bây giờ ta có:

\(m_{chì} = \frac{58.15}{59 \times 211}\)
\(m_{kẽm} = \frac{564.3}{59 \times 211}\)

Tỉ số cần tìm là:

\(\frac{m_{chì}}{m_{kẽm}} = \frac{\frac{58.15}{59 \times 211}}{\frac{564.3}{59 \times 211}} = \frac{58.15}{564.3}\)

\(\frac{m_{chì}}{m_{kẽm}} \approx 0.103048\)

Chúng ta có thể làm tròn kết quả. Nếu đề bài yêu cầu tỉ lệ dưới dạng đơn giản nhất, ta cần tìm ước chung lớn nhất hoặc biểu diễn dưới dạng phân số tối giản.

Nhân cả tử và mẫu với 100 để loại bỏ phần thập phân:

\(\frac{5815}{56430}\)

Chia cả tử và mẫu cho 5:

\(\frac{1163}{11286}\)

Kiểm tra lại các bước tính toán. Có vẻ có một chút sai số do làm tròn hoặc cách trình bày. Hãy thử quay lại phương trình:

\(126 m_{chì} + 337 m_{kẽm} = \frac{936}{59}\)

Và \(m_{chì} + m_{kẽm} = 0.05\)

Đặt \(t = \frac{m_{chì}}{m_{kẽm}}\). Suy ra \(m_{chì} = t \cdot m_{kẽm}\).

Thay vào \(m_{chì} + m_{kẽm} = 0.05\):

\(t \cdot m_{kẽm} + m_{kẽm} = 0.05 \implies m_{kẽm} (t+1) = 0.05 \implies m_{kẽm} = \frac{0.05}{t+1}\)

Và \(m_{chì} = t \cdot \frac{0.05}{t+1} = \frac{0.05t}{t+1}\)

Thay vào phương trình cân bằng nhiệt:

\(126 \left( \frac{0.05t}{t+1} \right) + 337 \left( \frac{0.05}{t+1} \right) = \frac{936}{59}\)

Nhân cả hai vế với \((t+1)\):

\(126 \cdot 0.05t + 337 \cdot 0.05 = \frac{936}{59} (t+1)\)

\(6.3t + 16.85 = \frac{936}{59}t + \frac{936}{59}\)

Chuyển các số hạng chứa \(t\) về một vế và các số hạng tự do về vế còn lại:

\(6.3t – \frac{936}{59}t = \frac{936}{59} – 16.85\)

\(t \left( 6.3 – \frac{936}{59} \right) = \frac{936}{59} – 16.85\)

\(t \left( \frac{6.3 \times 59 – 936}{59} \right) = \frac{936 – 16.85 \times 59}{59}\)

\(t \left( \frac{371.7 – 936}{59} \right) = \frac{936 – 994.15}{59}\)

\(t \left( \frac{-564.3}{59} \right) = \frac{-58.15}{59}\)

\(t \cdot (-564.3) = -58.15\)

\(t = \frac{-58.15}{-564.3} = \frac{58.15}{564.3}\)

Đây là kết quả giống với khi ta tính từng khối lượng.

\(t = \frac{5815}{56430} = \frac{1163}{11286}\)

Nếu đề bài muốn tỉ số dưới dạng số thập phân, thì khoảng 0.103 là hợp lý.

Hãy xem lại nhiệt dung riêng của kẽm, có thể có sai số ở đây hoặc cách ghi đề bài. Thông thường nhiệt dung riêng của kẽm là \(90 J/kg.K\) hoặc \(130 J/kg.K\). Tuy nhiên, chúng ta sẽ sử dụng giá trị đề bài cho.

Với các giá trị đề bài cho, tỉ số giữa khối lượng của chì và kẽm là:

\(\frac{m_{chì}}{m_{kẽm}} = \frac{58.15}{564.3} \approx 0.103\)

Kết luận:

Sau khi thực hiện các bước tính toán và áp dụng nguyên lý truyền nhiệt, chúng ta đã tìm ra tỉ số giữa khối lượng của chì và kẽm trong hợp kim. Với các giá trị đề bài cung cấp, tỉ số này xấp xỉ 0.103.

Các em cần lưu ý:

• Đơn vị của các đại lượng vật lý.
• Sự thay đổi nhiệt độ \(\Delta t\) có thể tính theo độ C hoặc Kelvin vì độ lớn của mỗi bậc đều bằng nhau.
• Luôn kiểm tra lại các bước tính toán để tránh sai sót.

Chúc các em học tốt!