Đề bài: Một xi lanh có pit tông đặt nằm ngang. Pit tong có tiết diện \( s = 50 \, \text{cm}^2 \). Xi lanh chứa \( 500 \, \text{cm}^3 \) không khí. Kéo pit tông sang phải một đoạn \( 2 \, \text{cm} \). Tìm lực cần thiết để giữ pit tông đứng yên ở vị trí này, biết áp suất khí quyển là \( 1 \, \text{atm} \).

Phân tích bài toán:

Chúng ta có một lượng khí nhất định trong xi lanh. Khi ta kéo pit tông ra, thể tích của khí sẽ tăng lên, và áp suất bên trong xi lanh sẽ giảm xuống. Để giữ pit tông đứng yên, chúng ta cần tác dụng một lực để cân bằng với sự chênh lệch áp suất giữa bên ngoài và bên trong xi lanh.

Chúng ta sẽ sử dụng định luật Bôi-lơ-Ma-ri-ốt cho quá trình đẳng nhiệt, vì đề bài không nói đến sự thay đổi nhiệt độ của không khí trong xi lanh. Chúng ta giả định nhiệt độ không khí là không đổi.

Các bước giải:

Bước 1: Xác định các thông số ban đầu và cuối cùng của khí.

Ban đầu, thể tích của không khí trong xi lanh là \( V_1 = 500 \, \text{cm}^3 \).

Khi kéo pit tông sang phải một đoạn \( \Delta l = 2 \, \text{cm} \), thể tích của không khí sẽ tăng lên một lượng bằng thể tích được thêm vào.

Thể tích được thêm vào là \( \Delta V = s \times \Delta l \).

Ta có \( s = 50 \, \text{cm}^2 \) và \( \Delta l = 2 \, \text{cm} \).

Vậy \( \Delta V = 50 \, \text{cm}^2 \times 2 \, \text{cm} = 100 \, \text{cm}^3 \).

Thể tích cuối cùng của không khí trong xi lanh là \( V_2 = V_1 + \Delta V = 500 \, \text{cm}^3 + 100 \, \text{cm}^3 = 600 \, \text{cm}^3 \).

Bước 2: Xác định áp suất ban đầu của không khí bên trong xi lanh.

Ban đầu, pit tông được giữ yên, và chúng ta giả định rằng áp suất bên trong xi lanh cân bằng với áp suất khí quyển. Vì đề bài chỉ nói “kéo pit tông sang phải một đoạn 2 cm” và “tìm lực cần thiết để giữ pit tông đứng yên ở vị trí này”, nên ta hiểu rằng trạng thái ban đầu là áp suất bên trong cân bằng với áp suất ngoài.

Áp suất khí quyển là \( P_{atm} = 1 \, \text{atm} \).

Vậy, áp suất ban đầu của không khí bên trong xi lanh là \( P_1 = P_{atm} = 1 \, \text{atm} \).

Bước 3: Áp dụng định luật Bôi-lơ-Ma-ri-ốt để tìm áp suất cuối cùng của không khí bên trong xi lanh.

Định luật Bôi-lơ-Ma-ri-ốt phát biểu rằng với một lượng khí nhất định ở nhiệt độ không đổi, tích của áp suất và thể tích là không đổi.

Ta có: \( P_1 V_1 = P_2 V_2 \).

Từ đó, ta tính được áp suất cuối cùng \( P_2 \):

\( P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} \)
\( P_2 = \frac{1 \, \text{atm} \times 500 \, \text{cm}^3}{600 \, \text{cm}^3} \)
\( P_2 = \frac{5}{6} \, \text{atm} \)

Bước 4: Tính toán lực cần thiết để giữ pit tông đứng yên.

Để giữ pit tông đứng yên ở vị trí mới, lực tác dụng từ bên ngoài lên pit tông phải cân bằng với hợp lực của áp suất khí quyển tác dụng lên mặt ngoài của pit tông và áp suất khí bên trong xi lanh tác dụng lên mặt trong của pit tông.

Lực do áp suất khí quyển tác dụng lên mặt ngoài của pit tông là \( F_{ngoai} = P_{atm} \times s \).

Lực do áp suất khí bên trong xi lanh tác dụng lên mặt trong của pit tông là \( F_{trong} = P_2 \times s \).

Vì pit tông đang ở vị trí mới và chúng ta cần giữ nó đứng yên, ta có thể tưởng tượng có một lực bên ngoài tác dụng để giữ nó. Lực này sẽ cân bằng với sự chênh lệch áp suất nhân với diện tích.

Nếu ta kéo pit tông sang phải, áp suất bên trong giảm. Lực đẩy ra của khí bên trong sẽ nhỏ hơn áp lực của khí quyển đẩy vào.

Lực tổng cộng tác dụng lên pit tông từ bên ngoài (hướng vào trong xi lanh) là \( F_{atm} = P_{atm} \times s \).

Lực tổng cộng tác dụng lên pit tông từ bên trong (hướng ra ngoài xi lanh) là \( F_{khí} = P_2 \times s \).

Để giữ pit tông đứng yên, cần có một lực bên ngoài tác dụng lên pit tông, ví dụ như lực kéo hoặc lực đẩy từ tay ta, để cân bằng hai lực này. Giả sử chúng ta cần tác dụng một lực để giữ pit tông không bị đẩy ra thêm nữa.

Lực cần thiết để giữ pit tông đứng yên sẽ cân bằng với sự chênh lệch áp suất tác dụng lên pit tông.

Lực tổng cộng tác dụng lên pit tông có xu hướng đẩy nó sang phải là \( F_{atm} \times s \).

Lực tổng cộng tác dụng lên pit tông có xu hướng đẩy nó sang trái là \( P_2 \times s \).

Lực mà chúng ta cần tác dụng để giữ pit tông đứng yên sẽ là lực cân bằng với lực “thừa” của áp suất khí quyển đẩy vào so với áp suất khí bên trong đẩy ra.

Lực cần thiết \( F = (P_{atm} – P_2) \times s \).

Chúng ta cần đổi đơn vị áp suất sang Pascal \( Pa \) và diện tích sang mét vuông \( m^2 \) để tính lực theo Newton \( N \).

\( 1 \, \text{atm} \approx 101325 \, \text{Pa} \).

\( P_{atm} = 101325 \, \text{Pa} \).

\( P_2 = \frac{5}{6} \, \text{atm} = \frac{5}{6} \times 101325 \, \text{Pa} = 84437.5 \, \text{Pa} \).

\( s = 50 \, \text{cm}^2 = 50 \times (10^{-2} \, \text{m})^2 = 50 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 = 0.005 \, \text{m}^2 \).

Lực cần thiết để giữ pit tông đứng yên là:

\( F = (101325 \, \text{Pa} – 84437.5 \, \text{Pa}) \times 0.005 \, \text{m}^2 \)
\( F = 16887.5 \, \text{Pa} \times 0.005 \, \text{m}^2 \)
\( F = 84.4375 \, \text{N} \)

Kiểm tra lại:

Ta có thể tính theo đơn vị \( \text{atm} \) và \( \text{cm}^2 \) rồi đổi đơn vị sau.

\( P_{atm} = 1 \, \text{atm} \)

\( P_2 = \frac{5}{6} \, \text{atm} \)

\( s = 50 \, \text{cm}^2 \)

\( F = (P_{atm} – P_2) \times s \) (khi đó lực sẽ có đơn vị là \( \text{atm} \cdot \text{cm}^2 \))

\( F = (1 – \frac{5}{6}) \, \text{atm} \times 50 \, \text{cm}^2 \)

\( F = \frac{1}{6} \, \text{atm} \times 50 \, \text{cm}^2 = \frac{50}{6} \, \text{atm} \cdot \text{cm}^2 = \frac{25}{3} \, \text{atm} \cdot \text{cm}^2 \)

Bây giờ ta đổi đơn vị \( \text{atm} \cdot \text{cm}^2 \) sang \( N \).

\( 1 \, \text{atm} \approx 10^5 \, \text{Pa} \) (làm tròn cho dễ tính)

\( 1 \, \text{cm}^2 = 10^{-4} \, \text{m}^2 \)

\( 1 \, \text{atm} \cdot \text{cm}^2 \approx 10^5 \, \text{Pa} \times 10^{-4} \, \text{m}^2 = 10 \, \text{N} \)

Vậy \( F \approx \frac{25}{3} \times 10 \, \text{N} = \frac{250}{3} \, \text{N} \approx 83.33 \, \text{N} \).

Kết quả này gần với kết quả tính toán chính xác hơn.

Kết luận:

Lực cần thiết để giữ pit tông đứng yên ở vị trí này là khoảng 84.44 N.

Các em thấy đấy, khi ta kéo pit tông ra, thể tích khí tăng và áp suất khí bên trong giảm. Áp suất khí quyển bên ngoài sẽ lớn hơn áp suất khí bên trong, tạo ra một lực đẩy vào pit tông. Để giữ pit tông đứng yên, ta cần tác dụng một lực để cân bằng với sự chênh lệch áp suất này.

Có bạn nào có câu hỏi không?