Chào các em học sinh! Cô rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập Vật lý này. Đây là một bài toán hay về sự kết hợp giữa định luật bảo toàn cơ năng và định luật bảo toàn động lượng, cùng với khái niệm va chạm đàn hồi. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán nhé!

Đề bài: Hai quả cầu nhỏ a và b có khối lượng lần lượt là \(m_a = 0,2 \text{ kg}\) và \(m_b = 0,5 \text{ kg}\) được treo vào hai đầu dây của sợi dây nhẹ không co dãn. Quả cầu a được đưa tới độ cao \(h_a = 0,2 \text{ m}\) so với quả cầu b. Thả cho quả cầu a tới va chạm với quả cầu b đang đứng yên. Coi như va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Xác định độ cao của mỗi quả cầu ngay sau khi va chạm. Cho \(g= 10 \text{ m/s}^2\).

Chúng ta sẽ chia bài toán này thành ba giai đoạn chính:

1. Giai đoạn 1: Quả cầu a rơi tự do từ độ cao \(h_a\) đến khi va chạm với quả cầu b.
2. Giai đoạn 2: Va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa quả cầu a và quả cầu b.
3. Giai đoạn 3: Sau va chạm, mỗi quả cầu sẽ bay lên độ cao tối đa bao nhiêu.

Bắt đầu nào!

PHÂN TÍCH VÀ GIẢI QUYẾT

I. Giai đoạn 1: Quả cầu a rơi tự do trước va chạm

Khi quả cầu a được thả từ độ cao \(h_a = 0,2 \text{ m}\) và rơi xuống va chạm với quả cầu b, nó chuyển động dưới tác dụng của trọng lực. Vì sợi dây nhẹ và không co dãn, chúng ta có thể áp dụng Định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu a trong quá trình này.

Chọn mốc thế năng tại vị trí quả cầu b (tức là vị trí va chạm).

• Tại vị trí ban đầu (độ cao \(h_a\)):
• Vận tốc ban đầu của quả cầu a là \(v_{a0} = 0 \text{ m/s}\) (thả tự do).
• Cơ năng ban đầu của quả cầu a là \(W_{a1} = \frac{1}{2} m_a v_{a0}^2 + m_a g h_a = 0 + m_a g h_a = m_a g h_a\).
• Tại vị trí ngay trước khi va chạm (độ cao 0):
• Gọi vận tốc của quả cầu a ngay trước va chạm là \(v_{a1}\).
• Cơ năng của quả cầu a tại thời điểm này là \(W_{a2} = \frac{1}{2} m_a v_{a1}^2 + m_a g (0) = \frac{1}{2} m_a v_{a1}^2\).

Áp dụng Định luật bảo toàn cơ năng:

\(W_{a1} = W_{a2}\)

\(m_a g h_a = \frac{1}{2} m_a v_{a1}^2\)

Rút gọn \(m_a\) và giải tìm \(v_{a1}\):

\(g h_a = \frac{1}{2} v_{a1}^2\)

\(v_{a1}^2 = 2 g h_a\)

\(v_{a1} = \sqrt{2 g h_a}\)

Thay số liệu vào:

\(v_{a1} = \sqrt{2 \times 10 \text{ m/s}^2 \times 0,2 \text{ m}}\)

\(v_{a1} = \sqrt{4} \text{ m/s}\)

\(v_{a1} = 2 \text{ m/s}\)

Vậy, vận tốc của quả cầu a ngay trước khi va chạm với quả cầu b là \(2 \text{ m/s}\). Quả cầu b ban đầu đứng yên, nên vận tốc của nó là \(v_{b1} = 0 \text{ m/s}\).

II. Giai đoạn 2: Va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa a và b

Va chạm là hoàn toàn đàn hồi, điều này có nghĩa là cả động lượng và động năng của hệ (gồm hai quả cầu a và b) đều được bảo toàn. Chúng ta sẽ sử dụng các định luật bảo toàn này để tìm vận tốc của mỗi quả cầu ngay sau va chạm.

Gọi vận tốc của quả cầu a và b ngay sau va chạm lần lượt là \(v_{a2}\) và \(v_{b2}\).

• Định luật bảo toàn động lượng:

\(m_a v_{a1} + m_b v_{b1} = m_a v_{a2} + m_b v_{b2}\)

Thay \(v_{b1} = 0\):

\(m_a v_{a1} = m_a v_{a2} + m_b v_{b2}\) (1)

• Định luật bảo toàn động năng (hoặc theo công thức va chạm đàn hồi):

Đối với va chạm đàn hồi, ta có một công thức liên hệ vận tốc tương đối:

\(v_{a1} – v_{b1} = -(v_{a2} – v_{b2})\)

Thay \(v_{b1} = 0\):

\(v_{a1} = -v_{a2} + v_{b2}\)

\(v_{b2} = v_{a1} + v_{a2}\) (2)

Bây giờ chúng ta sẽ giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm \(v_{a2}\) và \(v_{b2}\).

Thay (2) vào (1):

\(m_a v_{a1} = m_a v_{a2} + m_b (v_{a1} + v_{a2})\)

\(m_a v_{a1} = m_a v_{a2} + m_b v_{a1} + m_b v_{a2}\)

Chuyển các số hạng chứa \(v_{a1}\) sang một vế, các số hạng chứa \(v_{a2}\) sang vế còn lại:

\(m_a v_{a1} – m_b v_{a1} = m_a v_{a2} + m_b v_{a2}\)

\(v_{a1} (m_a – m_b) = v_{a2} (m_a + m_b)\)

Từ đó, tìm được \(v_{a2}\):

\(v_{a2} = v_{a1} \frac{m_a – m_b}{m_a + m_b}\)

Thay số liệu vào:

\(m_a = 0,2 \text{ kg}\)

\(m_b = 0,5 \text{ kg}\)

\(v_{a1} = 2 \text{ m/s}\)

\(v_{a2} = 2 \text{ m/s} \times \frac{0,2 \text{ kg} – 0,5 \text{ kg}}{0,2 \text{ kg} + 0,5 \text{ kg}}\)

\(v_{a2} = 2 \times \frac{-0,3}{0,7} = 2 \times \left(-\frac{3}{7}\right)\)

\(v_{a2} = -\frac{6}{7} \text{ m/s}\)

Dấu âm của \(v_{a2}\) cho thấy quả cầu a sẽ bật ngược trở lại sau va chạm (chuyển động theo chiều ngược lại so với trước va chạm).

Tiếp theo, tìm \(v_{b2}\) bằng cách thay \(v_{a2}\) vào phương trình (2):

\(v_{b2} = v_{a1} + v_{a2}\)

\(v_{b2} = 2 \text{ m/s} + \left(-\frac{6}{7} \text{ m/s}\right)\)

\(v_{b2} = \frac{14}{7} – \frac{6}{7} = \frac{8}{7} \text{ m/s}\)

Vậy, sau va chạm:

• Vận tốc của quả cầu a là \(v_{a2} = -\frac{6}{7} \text{ m/s}\).
• Vận tốc của quả cầu b là \(v_{b2} = \frac{8}{7} \text{ m/s}\).

III. Giai đoạn 3: Xác định độ cao của mỗi quả cầu sau va chạm

Sau va chạm, mỗi quả cầu sẽ chuyển động lên trên. Chúng ta tiếp tục áp dụng Định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi quả cầu riêng lẻ để tìm độ cao tối đa mà chúng đạt được.

1. Đối với quả cầu a:

• Tại vị trí ngay sau va chạm:
• Vận tốc là \(v_{a2} = -\frac{6}{7} \text{ m/s}\). (Chỉ độ lớn vận tốc quyết định độ cao, nên ta dùng \(\left|v_{a2}\right|\) hoặc \(v_{a2}^2\)).
• Độ cao là 0 (theo mốc thế năng đã chọn).
• Cơ năng là \(W_{a’} = \frac{1}{2} m_a v_{a2}^2 + m_a g (0) = \frac{1}{2} m_a v_{a2}^2\).
• Tại vị trí cao nhất (độ cao \(h_{a’}\)):
• Vận tốc là \(0 \text{ m/s}\).
• Độ cao là \(h_{a’}\).
• Cơ năng là \(W_{a”} = \frac{1}{2} m_a (0)^2 + m_a g h_{a’} = m_a g h_{a’}\).

Áp dụng Định luật bảo toàn cơ năng:

\(W_{a’} = W_{a”}\)

\(\frac{1}{2} m_a v_{a2}^2 = m_a g h_{a’}\)

\(h_{a’} = \frac{v_{a2}^2}{2g}\)

Thay số liệu vào:

\(h_{a’} = \frac{\left(-\frac{6}{7}\right)^2}{2 \times 10}\)

\(h_{a’} = \frac{\frac{36}{49}}{20} = \frac{36}{49 \times 20} = \frac{9}{49 \times 5} = \frac{9}{245} \text{ m}\)

\(h_{a’} \approx 0,0367 \text{ m}\)

2. Đối với quả cầu b:

• Tại vị trí ngay sau va chạm:
• Vận tốc là \(v_{b2} = \frac{8}{7} \text{ m/s}\).
• Độ cao là 0.
• Cơ năng là \(W_{b’} = \frac{1}{2} m_b v_{b2}^2 + m_b g (0) = \frac{1}{2} m_b v_{b2}^2\).
• Tại vị trí cao nhất (độ cao \(h_{b’}\)):
• Vận tốc là \(0 \text{ m/s}\).
• Độ cao là \(h_{b’}\).
• Cơ năng là \(W_{b”} = \frac{1}{2} m_b (0)^2 + m_b g h_{b’} = m_b g h_{b’}\).

Áp dụng Định luật bảo toàn cơ năng:

\(W_{b’} = W_{b”}\)

\(\frac{1}{2} m_b v_{b2}^2 = m_b g h_{b’}\)

\(h_{b’} = \frac{v_{b2}^2}{2g}\)

Thay số liệu vào:

\(h_{b’} = \frac{\left(\frac{8}{7}\right)^2}{2 \times 10}\)

\(h_{b’} = \frac{\frac{64}{49}}{20} = \frac{64}{49 \times 20} = \frac{16}{49 \times 5} = \frac{16}{245} \text{ m}\)

\(h_{b’} \approx 0,0653 \text{ m}\)

KẾT LUẬN

Ngay sau khi va chạm:

• Độ cao mà quả cầu a đạt được là \(\frac{9}{245} \text{ m}\) (khoảng \(0,0367 \text{ m}\)).
• Độ cao mà quả cầu b đạt được là \(\frac{16}{245} \text{ m}\) (khoảng \(0,0653 \text{ m}\)).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ các bước và nguyên lý Vật lý được áp dụng. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại cô nhé!