Bài toán như sau:

Hai đoàn tàu hỏa chạy trên 2 đường ray song song cạnh nhau, ngược chiều, cùng tốc độ. Người ngoài trên tàu số 1 thấy bạn mình ngồi trên tàu số 2 đi qua trước mặt mình tại thời điểm \(t=0\). Sau 10 giây, người đó thấy bạn mình đã cách 100 mét. Hãy tìm tốc độ chuyển động của mỗi đoàn tàu.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài toán này một cách chi tiết.

Bước 1: Phân tích các yếu tố của bài toán

* Chúng ta có hai đoàn tàu, gọi là tàu 1 và tàu 2.
* Hai tàu chuyển động trên hai đường ray song song, điều này có nghĩa là chúng ta có thể xem xét chuyển động của chúng trên cùng một phương.
* Hai tàu chuyển động ngược chiều nhau.
* Hai tàu có cùng tốc độ. Gọi tốc độ của mỗi đoàn tàu là \(v_1\) và \(v_2\). Theo đề bài, \(v_1 = v_2 = v\).
* Tại thời điểm \(t=0\), hai tàu gặp nhau. Chúng ta có thể coi đây là điểm mốc để đo khoảng cách. Người trên tàu 1 thấy người bạn trên tàu 2 đi ngang qua mình.
* Sau thời gian \(\Delta t = 10s\), khoảng cách giữa hai người bạn là \(d = 100m\).

Bước 2: Xác định hệ quy chiếu và vận tốc

Trong bài toán này, chúng ta có thể xét chuyển động của mỗi tàu đối với mặt đất (hệ quy chiếu đứng yên).

* Gọi \( \vec{v}_{1G} \) là vận tốc của tàu 1 đối với mặt đất.
* Gọi \( \vec{v}_{2G} \) là vận tốc của tàu 2 đối với mặt đất.

Vì hai tàu chuyển động ngược chiều nhau và cùng tốc độ \(v\), nếu ta chọn chiều dương là chiều chuyển động của tàu 1, thì vận tốc của tàu 1 là \( \vec{v}_{1G} \) và vận tốc của tàu 2 sẽ là \( \vec{v}_{2G} = -\vec{v}_{1G} \). Độ lớn vận tốc của cả hai là \( |\vec{v}_{1G}| = |\vec{v}_{2G}| = v \).

Bước 3: Xét chuyển động tương đối

Chúng ta cần tìm khoảng cách giữa hai người bạn sau 10 giây. Điều này có nghĩa là chúng ta cần xét chuyển động của người bạn trên tàu 2 đối với người quan sát trên tàu 1.

Gọi \( \vec{v}_{21} \) là vận tốc của tàu 2 đối với tàu 1. Theo công thức cộng vận tốc, ta có:
\( \vec{v}_{2G} = \vec{v}_{21} + \vec{v}_{1G} \)

Suy ra:
\( \vec{v}_{21} = \vec{v}_{2G} – \vec{v}_{1G} \)

Vì hai tàu chuyển động ngược chiều, nếu ta chọn chiều dương là chiều chuyển động của tàu 1, thì \( \vec{v}_{1G} \) có độ lớn là \(v\) và mang dấu dương, còn \( \vec{v}_{2G} \) có độ lớn là \(v\) và mang dấu âm.
Do đó, vận tốc tương đối \( \vec{v}_{21} \) sẽ là:
\( v_{21} = v_{2G} – v_{1G} \)
\( v_{21} = (-v) – (v) \)
\( v_{21} = -2v \)

Ở đây, vận tốc tương đối \( \vec{v}_{21} \) là một đại lượng vectơ. Dấu âm cho thấy tàu 2 đang di chuyển theo chiều âm (ngược với chiều chuyển động của tàu 1) đối với tàu 1. Tuy nhiên, khi nói về “tốc độ chuyển động khác nhau” hay khoảng cách, chúng ta thường quan tâm đến độ lớn của vận tốc tương đối.

Độ lớn vận tốc tương đối của tàu 2 so với tàu 1 là:
\( |\vec{v}_{21}| = |-2v| = 2v \)

Đây chính là tốc độ mà người trên tàu 1 thấy người bạn trên tàu 2 di chuyển ra xa mình.

Bước 4: Tính toán tốc độ

Tại thời điểm \(t=0\), hai người bạn ở cùng một vị trí (hoặc tàu 2 đi ngang qua tàu 1). Sau \(\Delta t = 10s\), khoảng cách giữa họ là \(d = 100m\).

Khoảng cách này được tính bằng vận tốc tương đối nhân với thời gian:
\( d = |\vec{v}_{21}| \times \Delta t \)
\( d = 2v \times \Delta t \)

Chúng ta thay số vào phương trình:
\( 100m = 2v \times 10s \)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(v\):
\( 100 = 20v \)
\( v = \frac{100}{20} \)
\( v = 5 m/s \)

Vậy, tốc độ của mỗi đoàn tàu là 5 m/s.

Kết luận:

Tốc độ chuyển động của mỗi đoàn tàu là \( 5 m/s \).
Khi hai vật chuyển động ngược chiều với tốc độ bằng nhau, tốc độ tương đối của chúng sẽ gấp đôi tốc độ của mỗi vật.

Các em có câu hỏi nào không? Bài toán này cho chúng ta thấy tầm quan trọng của việc xác định hệ quy chiếu khi xét chuyển động.