Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thực tế và thú vị về cách xác định gia tốc rơi tự do \(g\) bằng con lắc đơn, đồng thời phân tích sai số của phép đo này.

Đề bài: Để tính gia tốc rơi tự do \(g\), người ta có thể dùng công thức tính chu kì của một con lắc đơn gồm một vật nặng có kích thước nhỏ treo vào một dây nhẹ, không co giãn:

\(T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

Trong đó \(T\) là thời gian để vật nặng thực hiện một dao động và \(l\) là chiều dài sợi dây. Trong thí nghiệm với con lắc đơn, người ta đo được \(l=(0,350 \pm 0,005)\text{ m}\) và \(T=(1,18 \pm 0,02)\text{ s}\). Sai số tuyệt đối của phép đo này là bao nhiêu m/s²?

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định công thức tính \(g\) từ công thức chu kì \(T\).

Từ công thức chu kì con lắc đơn:

\(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

Bình phương hai vế, ta được:

\(T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g}\)

\(T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}\)

Rút \(g\) ra, ta có công thức tính \(g\):

\(g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}\)

Bước 2: Tính giá trị trung bình của \(g\).

Giá trị trung bình của \(l\) là \(\bar{l} = 0,350\text{ m}\).

Giá trị trung bình của \(T\) là \(\bar{T} = 1,18\text{ s}\).

Thay các giá trị trung bình vào công thức của \(g\) (lấy \(\pi \approx 3,14159\)):

\(\bar{g} = \frac{4\pi^2 \bar{l}}{\bar{T}^2}\)

\(\bar{g} = \frac{4 \times (3,14159)^2 \times 0,350}{(1,18)^2}\)

\(\bar{g} = \frac{4 \times 9,8696 \times 0,350}{1,3924}\)

\(\bar{g} = \frac{13,81744}{1,3924}\)

\(\bar{g} \approx 9,923\text{ m/s}^2\)

Bước 3: Xác định sai số tuyệt đối của \(g\) (\(\Delta g\)).

Trong chương trình Vật lí 10 (Kết nối tri thức), khi tính toán sai số của phép đo gián tiếp thông qua một hàm số \(Y = f(X_1, X_2, \ldots, X_n)\), chúng ta sử dụng công thức sai số tương đối.

Đối với các phép toán nhân, chia và lũy thừa, sai số tương đối của đại lượng cần tìm bằng tổng các sai số tương đối của các đại lượng thành phần.

Ta có công thức: \(g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}\). Các hằng số (\(4\) và \(\pi^2\)) không có sai số.

Do đó, sai số tương đối của \(g\) được tính theo công thức:

\(\frac{\Delta g}{|\bar{g}|} = \frac{\Delta l}{|\bar{l}|} + 2\frac{\Delta T}{|\bar{T}|}\)

(Lưu ý: số mũ của \(T\) là 2, nên sai số tương đối của \(T\) được nhân với 2. Sai số tuyệt đối của một đại lượng luôn là giá trị dương, nên ta lấy trị tuyệt đối của các giá trị trung bình.)

Tính các sai số tương đối thành phần:

Sai số tuyệt đối của \(l\) là \(\Delta l = 0,005\text{ m}\).

Sai số tương đối của \(l\): \(\frac{\Delta l}{|\bar{l}|} = \frac{0,005}{0,350} \approx 0,0142857\)

Sai số tuyệt đối của \(T\) là \(\Delta T = 0,02\text{ s}\).

Sai số tương đối của \(T\): \(\frac{\Delta T}{|\bar{T}|} = \frac{0,02}{1,18} \approx 0,016949\)

Thay vào công thức sai số tương đối của \(g\):

\(\frac{\Delta g}{|\bar{g}|} = 0,0142857 + 2 \times 0,016949\)

\(\frac{\Delta g}{|\bar{g}|} = 0,0142857 + 0,033898\)

\(\frac{\Delta g}{|\bar{g}|} = 0,0481837\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính sai số tuyệt đối của \(g\) (\(\Delta g\)):

\(\Delta g = |\bar{g}| \times \left( \frac{\Delta g}{|\bar{g}|} \right)\)

\(\Delta g = 9,923 \times 0,0481837\)

\(\Delta g \approx 0,4780\text{ m/s}^2\)

Bước 4: Trình bày kết quả cuối cùng và làm tròn.

Theo quy tắc làm tròn sai số, sai số tuyệt đối (\(\Delta g\)) thường được làm tròn đến một hoặc hai chữ số có nghĩa. Trong trường hợp này, sai số của các phép đo ban đầu (\(\Delta l\) và \(\Delta T\)) chỉ có 1 chữ số có nghĩa, nên chúng ta sẽ làm tròn \(\Delta g\) về 1 chữ số có nghĩa.

\(\Delta g \approx 0,4780 \text{ m/s}^2 \approx 0,5 \text{ m/s}^2\)

Khi \(\Delta g\) được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất (0,5), thì giá trị trung bình \(\bar{g}\) cũng phải được làm tròn đến cùng vị trí thập phân.

\(\bar{g} \approx 9,923 \text{ m/s}^2 \approx 9,9 \text{ m/s}^2\)

Vậy, kết quả của phép đo gia tốc rơi tự do là \(g = (9,9 \pm 0,5)\text{ m/s}^2\).

Đề bài hỏi sai số tuyệt đối của phép đo này là bao nhiêu m/s²?

Trả lời: Sai số tuyệt đối của phép đo này là \(0,5\text{ m/s}^2\).

Hy vọng bài giải này giúp các em nắm vững hơn về cách tính toán sai số trong các phép đo vật lí. Chúc các em học tốt!